安徽省2024屆普通高中學(xué)業(yè)水平合格考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

2024年安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平合格考試數(shù)學(xué)模擬試題考試時(shí)間：90分鐘滿(mǎn)分：100分第Ⅰ卷（選擇題54分）一、選擇題（本大題共18小題，每小題3分，滿(mǎn)分54分，每小題4個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定義直接求解.【詳解】∵集合，，∴.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第二象限.故選：B3.某學(xué)校高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取18人參加全市主題研學(xué)活動(dòng)，則應(yīng)從高三抽?。ǎ〢.5人 B.6人 C.7人 D.8人【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣的規(guī)則求解.【詳解】采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)中抽取18人，已知高一、高二、高三分別有600人、500人、700人，則應(yīng)從高三抽取的人數(shù)為.故選：C.4.“”是“”的什么條件（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可得結(jié)論.【詳解】若，則由“”不能推出“”，故充分性不成立；若，則由“”不能推出“”，故必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.已知，，且，則x等于（）A.4 B.-4 C.2 D.-2【答案】C【解析】【分析】直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】∵，，且，∴，解得x＝2，故選：C．6.已知角的始邊在軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由已知得，.故選：D.7.下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯(cuò)誤的是（）A.棱柱的側(cè)棱互相平行B.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C.正三棱錐各個(gè)面都是正三角形D.棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線(xiàn)會(huì)交于一點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故B正確；正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯(cuò)誤；棱臺(tái)是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線(xiàn)必交于一點(diǎn)，D正確.故選：C

8.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)（）A.61 B.53 C.58 D.64【答案】A【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】將降水量從小到大排列：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，，該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為.故選：A9.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式直接運(yùn)算即可.【詳解】，所以，所以.故選：B10.拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出總的基本事件，列舉出點(diǎn)數(shù)之和是6的基本事件，再由古典概率求解即可.【詳解】拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有個(gè)，其中點(diǎn)數(shù)之和是6的有共5個(gè)，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的概率為.故選：C.11.在中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法和減法法則，計(jì)算可得答案.【詳解】由，可得，，整理可得，.故選：A12.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“0”、“1”分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，即，所以.故選：B.13.在中，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.若≥，則【答案】D【解析】【分析】AB選項(xiàng)，可舉出反例；C選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式推出；D選項(xiàng)，由正弦定理和大邊對(duì)大角得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，無(wú)意義，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由大邊?duì)大角得，D正確.故選：D14.已知某圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4，高為，則圓錐的全面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由勾股定理得出，進(jìn)而由面積公式得出全面積.【詳解】由題意可知，該圓錐的底面半徑為，則圓錐的全面積為.故選：B15.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系,列式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù),所以,解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,抓住圖象的開(kāi)口方向以及對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和冪函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋驗(yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)樵谏线f增，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以C正確，對(duì)于D，的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，故選：C17.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是（）A.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”B.“恰好有1個(gè)紅球”與“恰好有1個(gè)黑球”C.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D.“都是紅球”與“都是黑球”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念分析可得.【詳解】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的袋子內(nèi)任取2個(gè)球，可能的結(jié)果為：1紅1黑?2紅?2黑，對(duì)于A：“至少有1個(gè)紅球”包括1紅1黑?2紅，與“都是黑球”是對(duì)立事件，不符合；對(duì)于B：“恰好有1個(gè)紅球”和恰好有1個(gè)黑球”是同一個(gè)事件，不符合題意；對(duì)于C：“至少有1個(gè)黑球”包括1紅1黑?2黑，“至少有1個(gè)紅球”包括1紅1黑?2紅，這兩個(gè)事件不是互斥事件，不符合題意；對(duì)于D：“都是紅球”與“都是黑球”是互斥事件而不是對(duì)立事件，符合題意；故選：D.18.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性與單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，則，故，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化得解.第Ⅱ卷（非選擇題46分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿(mǎn)分16分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在相應(yīng)橫線(xiàn)上）19.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再用模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】,所以.故答案為：.20.已知為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】由列等式求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得，得，得.故答案為：121.已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則與的夾角為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂直條件，得到數(shù)量積為0，結(jié)合及夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?所以，即,所以,因?yàn)?所以，因?yàn)?所以.故答案為：.22.在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】先求出這個(gè)人身高平均數(shù)，然后根據(jù)方差公式計(jì)算.【詳解】依題意得，題干中人身高的平均數(shù)為：，根據(jù)方差公式，總體的方差為：故答案為：三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，滿(mǎn)分30分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明及演算步驟）23.已知函數(shù)是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案；（2）由基本不等式求解即可.小問(wèn)1詳解】設(shè)（），由，得，由，得，整理，得，則，解得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因?yàn)閤＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.24.如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，點(diǎn)F為側(cè)棱PC上一點(diǎn)．（1）若PF＝FC，求證：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求證：平面BDF⊥平面PBC．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，所以PA∥OF，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）由題意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，則BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，連OF，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且O為AC中點(diǎn)，PF＝FC，所以PA∥OF，又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BD⊥PC，又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.25.已知.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC面積的最大值.【答