《任意角的三角函數(shù)》第一課時(shí)

《任意角的三角函數(shù)》第一課時(shí)一、教材分析三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，有非常廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)的定義是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學(xué)過的“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內(nèi)容的整體學(xué)習(xí)至關(guān)重要，是其他所有知識的出發(fā)點(diǎn)。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個(gè)寶貴的源泉，可以自然地導(dǎo)出本章的具體內(nèi)容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、圖象和性質(zhì)等。

三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過定義的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內(nèi)容的學(xué)習(xí)作必要的準(zhǔn)備。三角函數(shù)知識還是物理學(xué)、高等數(shù)學(xué)、天文學(xué)的重要基礎(chǔ)。

三角函數(shù)定義必然是學(xué)好全章內(nèi)容的關(guān)鍵，如果學(xué)生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，由三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點(diǎn)就是定義本身。

二、學(xué)情分析本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的，因此在教學(xué)過程中要發(fā)展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。另外，高一學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導(dǎo)下才能進(jìn)行。三、教學(xué)目標(biāo)1.能借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體角的各三角函數(shù)值；能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號。2.經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的過程，體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程.

領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。

3.通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀.四、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。難點(diǎn)：理解任意角三角函數(shù)的定義。

五、教學(xué)方法與策略：教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，教師要充分發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流。根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容及高一學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學(xué).六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課數(shù)學(xué)是什么？在北京航空航天大學(xué)李尚志教授看來，數(shù)學(xué)可以如中國詩詞般，是美的。他曾寫過這樣一首描述三角函數(shù)的詩：東升西落照蒼穹,影短影長角不同。晝夜循環(huán)潮起伏,冬春更替草枯榮。太陽東升西落晝夜循環(huán)、潮漲潮落、冬去春來、草枯草綠，都是自然界重要的周期現(xiàn)象。今天我們要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)就是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)意圖：由詩引入，吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生對三角函數(shù)可描述周期現(xiàn)象有初步的印象。（二）提出問題，探求新知問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)．如圖（課件中）：已知銳角α，如何求角α的正弦、余弦和正切值？構(gòu)造直角三角形。在Rt△POM中，也就是說，銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．問題2：在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．為此，組織學(xué)生討論以下問題。如圖,將銳角放入直角坐標(biāo)系，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,那么它的終邊落在第一象限.則的終邊上點(diǎn)P可用坐標(biāo)表示。問題3：在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？（學(xué)生代表回答）

線段OP長為點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離，記為.線段的長度為x,線段的長度為y.則.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的銳角三角函數(shù)入手，先在平面直角坐標(biāo)系中利用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。問題4：如果改變點(diǎn)Ｐ在終邊上的位置，這三個(gè)比值會改變嗎？不會，由相似三角形的知識可以保證。既然點(diǎn)P位置并不影響三角函數(shù)值，數(shù)學(xué)講究簡潔美，我們可以將點(diǎn)P取在使線段的長的特殊位置上，這樣銳角三角函數(shù)形式進(jìn)一步簡化為：滿足長為1的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，這個(gè)圓我們稱為單位圓。所以點(diǎn)P可看作是圓與角α終邊的交點(diǎn)。到此，我們借助于單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出了銳角三角函數(shù)，顯然此種表示方法已不受直角三角形的約束。受此啟發(fā)，我們也可以借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義。定義生成：如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.思考:在上述三角函數(shù)定義中,自變量是什么?函數(shù)值又是什么?根據(jù)定義能否寫出各三角函數(shù)的定義域？（學(xué)生回答）注意：（1）正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，的終邊在軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以無意義,除此情況外，對于確定的值，上述三各值都是唯一確定的實(shí)數(shù).定義運(yùn)用：例1：求的正弦、余弦和正切值.設(shè)計(jì)意圖：從最簡單的問題入手，讓學(xué)生掌握利用定義求三角函數(shù)值的問題，進(jìn)而加深對定義的理解，加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想。在此問題的基礎(chǔ)上思考：如果已知不是角的大小，而是終邊上一點(diǎn)，能否求出角的各三角函數(shù)值呢？（小組討論）設(shè)計(jì)意圖：一方面加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想；另一方面，通過思考使學(xué)生認(rèn)識任意角的三角函數(shù)與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)，引出任意角三角函數(shù)的另一種表達(dá)形式：利用角的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)的比值來表示三角函數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，已知角α終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)也可求出三角函數(shù)值，這意味著任意角的三角函數(shù)與點(diǎn)在終邊上的位置也無關(guān)，為更清楚認(rèn)識這一點(diǎn)，我們用幾何畫板來進(jìn)行驗(yàn)證。（幾何畫板驗(yàn)證）從演示結(jié)果來看，任意角的三角函數(shù)只與α大小有關(guān)，而與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，我們可以直接用角的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)的比值來表示三角函數(shù)。一般的，設(shè)是一個(gè)任意角，P（x，y）是終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離為,則任意角的三角函數(shù)可表示為：具體證明作為課后思考留給學(xué)生鞏固練習(xí)：練習(xí)1、已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角α的正弦、余弦和正切值。設(shè)計(jì)意圖：通過本題的求解，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉上述結(jié)論。練習(xí)2、已知角α的終邊上一點(diǎn)??(3??,4??)(??∈??且??≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值。（展示學(xué)生解題過程）設(shè)計(jì)意圖：通過本題練習(xí)，使學(xué)生體會分類討論的思想，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，。（三）分析思考，加深理解當(dāng)角終邊所在象限不同時(shí)，對應(yīng)三角函數(shù)值的符號也有差異，那么三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號有什么特點(diǎn)呢？請同學(xué)們小組合作，完成探究部分的內(nèi)容。合作探究：確定三種函數(shù)的值在各象限的符號。設(shè)計(jì)意圖：通過定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結(jié)合的思想。實(shí)例分析：例2：求證：當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角θ為第三象限角.反之也對.證明：因?yàn)閟inθ＜0成立，那么角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與軸的非負(fù)半軸重合；因?yàn)閠anθ＞0，所以角的終邊可能位于第一或第三象限；因?yàn)閮墒蕉汲闪ⅲ驭冉侵荒芪挥诘谌笙?于是θ為第三象限角。反之顯然成立.思考：如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。用符號語言表示為：強(qiáng)化訓(xùn)練：例3：確定下列三角函數(shù)值的符號：設(shè)計(jì)意圖：通過應(yīng)用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶三角函數(shù)值的符號、公式一，加強(qiáng)對三角函數(shù)概念的理解。（四）課堂小結(jié)1.內(nèi)容總結(jié)：①三角函數(shù)的定義.②三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號.③公式一.2.體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸的思想.設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容．師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，教師整理完善。（五）作業(yè)設(shè)計(jì)教科書P.24習(xí)題1.2A組第5、6、7題．課本17頁閱讀與思考結(jié)束語：用李尚志教授另一首詩結(jié)束本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與詩歌的和諧統(tǒng)一。教學(xué)反思：上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過程我有以下幾點(diǎn)反思：1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。教學(xué)中我運(yùn)用了“技術(shù)支持的發(fā)現(xiàn)與解決問題”，使用幾何畫板可以發(fā)現(xiàn)，已知角α終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)也可求出三角函數(shù)值，這意味著任意角的三角函數(shù)與點(diǎn)在終邊上的位置也無關(guān)，為更清楚認(rèn)識這一點(diǎn)，用幾何畫板來進(jìn)行演示驗(yàn)證。一方面加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想；另一方面，通過思考使學(xué)生認(rèn)識任意角的三角函數(shù)與終