完全平方公式

1.6完全平方公式（1）回顧與思考

對于一般的兩個二項式的積,看準有無相等的“項”和符號相反的“項”;

僅當把兩個二項式的積變成公式標準形式后，才能使用平方差公式.

在解題過程中要準確確定a和b、對照公式原形的兩邊,做到不弄錯符號、當?shù)谝?二)數(shù)是乘積且被平方時要注意添括號,是運用平方差公式進行多項式乘法的關鍵.完全平方公式

一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加b

米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖1—6).圖1—6

用不同的形式表示實驗田的總面積,并進行比較.abba法一直接求總面積=(a+b)；2法二間接求總面積=a2+ab+ab+b2.你發(fā)現(xiàn)了什么?探索:(a+b)2=a2+ab+b2.2公式:完全平方公式(1)你能用多項式的乘法法則來說明它成立嗎?(2)小穎寫出了如下的算式:(a?b)2=[a+(?b)]2她是怎么想的?你能繼續(xù)做下去嗎?(a+b)2=a2+2ab+b2;a2?2ab+b2.

(a?b)2=

(a+b)2=推證

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;利用兩數(shù)和的完全平方公式

推證公式

(a?b)2=[a+(?b)]2=

2

+

2

+

2

aa(?b)(?b)=a22ab?b2.+

初識完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a?b)2=a2?2ab+b2.結構特征:左邊是的平方;二項式右邊是a2+b2a2+b2(兩數(shù)和)(差)a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a+ba?b兩數(shù)的平方和+加上?(減去)2ab2ab這兩數(shù)乘積的兩倍.用自己的語言敘述上面的公式語言表述:兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的兩倍.22(差)(減去)aabba2ababb2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b2幾何解釋(a+b)2=a2+2ab+b2a2b2abab

aba+b

a+bab

a2ababb2(a+b)2

a+2ab+b22=(a-b)2a-2ab+b22=aaa-bba-bb(a-b)2b2abab

a2ababb2(a-b)2=a22ab+b2例題解析

例1利用完全平方公式計算：(1)(2x?3)2

；(2)(4x+5y)2;(3)(mn?a)2

使用完全平方公式與平方差公式的使用一樣,

注意

先把要計算的式子與完全平方公式對照,明確個是a,哪個是

b.第一數(shù)4x22x的平方,()2減去第一數(shù)與第二數(shù)?2x3?乘積的2倍,?2加上+第二數(shù)3的平方.2=?12x+9

;解：(1)(2x?3)2

做題時要邊念邊寫：

=隨堂練習(1)(x?2y)2

；

(2)(2xy+x)2

；1、計算：(3)

(n+1)2?n2.本課小結本節(jié)課你學到了什么?注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．結果不同：完全平方公式的結果是三項，即(a

b)2＝a2

2ab+b2;平方差公式的結果是兩項，即(a+b)(a?b)＝a2?b2.有時需要進行變形，使變形后的式子符合應用完全平方公式的條件，即為“兩數(shù)和(或差)的平方”，然后應用公式計算.在解題過程中要準確確定a和b、對照公式原形的兩邊,做到不丟項、不弄錯符號、2ab時不少乘2；第一(二)數(shù)是乘積被平方時要注意添括號,是運用完全平方公式進行多項式乘法的關鍵.本課小結糾錯練習指出下列各式中的錯誤，并加以改正：(1)(2a?1)2＝2a2?2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2+1；(3)(

a?1)2＝

a2?2a?1.解:(1)第一數(shù)被平方時,未添括號;第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍少乘了一個2;應改為:(2a?1)2＝(2a)2?2?2a?1+1;

(2)少了第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍(丟了一項);應改為:(2a+1)2＝(2a)2+2?2a?1

+1;

(3)第一數(shù)平方未添括號,第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍錯了符號;第二數(shù)的平方這一項錯了符號;應改為:(

a?1)2＝(

a)2?2?(

a)?1+12;

糾錯練習拓展練習下列等式是否成立?說明理由．(1)(

4a+1)2=(1?4a)2；(2)(

4a?1)2=(4a+1)2；(3)(4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2；(4)(4a?1)(

1?4a)＝(4a?1)(4a+1).(1)

由加法交換律

4a+l＝l?4a.成立理由:(2)

∵

4a?1＝

(4a+1)，成立∴(

4a?1)2＝[

(4a+1)]2＝(4a+1)2.不成立．不成立．(3)∵(1?4a)＝?(

1+4a)即(1?4a)＝

(4a?1)＝

(4a?1)，∴(4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[

(4a?1)]＝

(4a?1)(4a?1)＝

(4a?1)2.(4)右邊應為:

(4a?1)(4a+1).拓展練習1.6完全平方公式（2）教學目標、重點、難點教學目標1、熟記完全平方公式，說出公式的結構特征．2、會用完全平方公式推出三項式的完全平方的結果．3、會在多項式、單項式的混合運算中，正確運用完全平方公式計算．此外，在推導三項式的完全平方公式的過程中，感悟換元變換的思想方法.提高靈活應用公式的能力．重點：運用完全平方公式、平方差公式、多項式乘法等進行運算．難點：幾個公式的綜合運用．完全平方公式共有

個：這2個公式的區(qū)別是

；聯(lián)系是

．2a2+

2ab+

b2;

(a+b)2=(a?b)2=a2?

2ab+

b2;

左邊括號內與右邊第二項的符號不同左右兩邊的結構分別相同、第二項的符號與左邊括號內的符號相同.

兩個公式中的字母都表示什么?(數(shù)或代數(shù)式)

根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計算多個數(shù)的和或差的平方嗎?完全平方公式在計算化簡中有些什么用?這節(jié)課我們就來研究這個問題.回顧與思考

例1：有一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們.來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖，來三個，就給每人三塊糖……(1)第一天有a個男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？a2(2)第二天有b個女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？b2第三天多;多2ab.(a+b)2?

(a2+

b2)=讀一讀(3)第三天這(a+b)個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(a+b)2(4)這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？∵(a+b)2=a2+

2ab+

b2讀一讀例題解析例2

：利用完全平方公式計算：(1)1022;

(2)1972.完全平方公式(a±b)2=a2±

2ab+

b2的左邊的底數(shù)是兩數(shù)的和或差.把1022改寫成(a+b)2還是(a?b)2?a、b怎樣確定？解：(1)1022＝(100＋2)2

＝1002＋2×100×2＋22

＝10000＋400＋4

＝10404公式的綜合運用

例3

計算：(2)(a+b+3)(a+b?3);若不用一般的多項式乘以多項式,

怎樣用公式來計算?因為兩多項式不同,即不能寫成()2,分析故不能用完全平方公式來計算,只能用平方差公式來計算.三項能看成兩項嗎?

平方差公式中的相等的項(a)、符號相反的項(b)

在本題中分別是什么？解:(a+b+3)(a+b?3)[(a+b)+3][(a+b)?3]=+3(a+b)(a+b)=()2?()2a+b3=a2+2ab+b2?9.公式的綜合運用例3

計算：(1)(x+3)2?x2;(3)(x+5)2?(x?2)(x?3).本例兩個小題的計算,可能用到哪些公式?

觀察

&

思考

(x+3)2?x2的計算你能用幾種方法?試一試.法二:平方差公式單項式乘多項式.解:(1)法一完全平方公式合并同類項(見教材);(x+3)2?x2=(x+3+

x)(x+3?x)=(2x+3)?3=6x+9;

閱讀

44例3(3).思考本題的計算有哪幾點值得注意?運算順序;(x?2)(x?3)展開后的結果要添括號.隨堂練習p27(1)962

；

(2)(a?b?3)(a?b+3).1、利用計算整式乘法公式：1、用完全平方公式計算:1012，982；2、⑴x2?(x?3)2;⑵(a+b+3)(a?b+3)課內練習

如果把完全平方公式中的字母“a”換成“m+n”，公式中的“b”換成“p”，那么

(a+b)2變成怎樣的式子?(a+b)2變成(m+n+p)2.怎樣計算(m+n+p)2呢?(m+n+p)2=[(m+n)+p]2逐步計算得到：=(m+n)2+2(m+n)p+p2=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np擴展練習

把所得結果作為推廣了的完全平方公式，試用語言敘述這一公式：

三個數(shù)和的完全平方等于這三個數(shù)的平方和，再加上每兩數(shù)乘積的2倍.仿照上述結果，你能說出(a?b+c)2所得的結果嗎?擴展練習53典型例題

例運用完全平方公式計算:(1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2;(3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).解析(1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2=a2+6ab+9b2.(2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2·3y·x+x2=9y2-6xy+x2.(3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9.題型一

乘法公式的變形應用例1已知(a+b)2=25,ab=6,求a2+b2,(a-b)2的值.解析因為(a+b)2=25,ab=6,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=25-2×6=13,(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2×6=1.點撥在利用完全平方公式進行計算時,經(jīng)常會遇到公式的如下變形:(1)(a

+b)2-2ab=a2+b2;(2)(a-b)2+2ab=a2+b2;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)(a+b)2-(a-b)2

=4ab.題型二

運用完全平方公式進行簡便運算例2計算:1022.解析1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.易錯點

運用完全平方公式時弄錯符號例計算:(-2a-3b)2.錯解原式=4a2-12ab+9b2.正解原式=[-(2a+3b)]2=(2a+3b)2=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2.錯解提示只注意了中間的符號為“-”,就盲目套用公式是出錯的根本

原因.知識點

完全平方公式1.下列各式正確的是

()A.(2a-1)2=4a2-1

B.

=x2+x+

C.(3m+n)2=9m2+n2

D.(-x-1)2=x2-2x+1答案

B

=x2+2x×

+

=x2+x+

.故選B.2.如圖1-6-1所示,該幾何圖形的面積可以表示的公式是()

圖1-6-1A.a2-b2=a(a-b)+b(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2-b2=a(a+b)-b(a+b)答案

C由圖形的整體面積等于各部分的面積之和,得(a+b)(a+b)=(a+b)2

=ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,即(a+b)2=a2+2ab+b2.故選C.3.運用完全平方公式計算89.82的最佳選項是

()A.(89+0.8)2

B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2

D.(100-10.2)2

答案

C對90與0.2進行平方計算與乘積計算比其他選項更加方便.4.運用完全平方公式計算:(1)(-2x+5)2;(2)(-m-2n)2;(3)

.解析(1)原式=(2x-5)2=(2x)2-2·2x·5+52=4x2-20x+25.(2)原式=(m+2n)2=m2+2·m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(3)原式=

-2·

x·

y+

=

x2-xy+

y2.5.計算:(1)9992;(2)

.解析(1)9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+1=1000000-2000+1=998001.(2)

=

=1002-2×100×

+

=10000-50+

=9950

.1.如果ax2+2x+

=

+m,則a,m的值分別是

()A.2,0

B.4,0C.2,

D.4,

答案

D∵ax2+2x+

=4x2+2x+

+m,∴a=4,

+m=

,∴m=

.故選D.2.已知x+y=-5,xy=6,則x2+y2=

.答案13解析∵x+y=-5,∴(x+y)2=25,∴x2+2xy+y2=25.∵xy=6,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=25-12=13.3.整式A與m2-2mn+n2的和是(m+n)2,則A=

.答案4mn解析已知兩數(shù)的和與其中一個加數(shù),求另一個加數(shù),用減法.A=(m+n)2-(m2-

2mn+n2)=m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn.4.計算:(1)(2a+5b)2;(2)

;(3)(-4a+3b)2;(4)(-x-y)2.解析(1)原式=4a2+20ab+25b2.(2)原式=

x2+4y2-2xy.(3)原式=16a2-24ab+9b2.(4)(-x-y)2=x2+2xy+y2.1.一個正方形的邊長增加了2cm,面積相應增加了32cm2,則這個正方形的

邊長為

.答案7cm解析設該正方形的邊長為acm,則有(a+2)2-a2=32,化簡,得4a+4=32,解得a=7,即這個正方形的邊長為7cm.2.若4a2-(k-1)a+9是一個完全平方式,則k=

.答案13或-11解析因為4a2-(k-1)a+9是一個完全平方式,所以k-1=±12,解得k=13或-11.3.計算:(2a+3b)(2a-3b)-(a-3b)2=

.答案3a2+6ab-18b2

解析原式=4a2-9b2-(a2+9b2-6ab)=3a2+6ab-18b2.4.計算:(1)(3x-2y)2-(3x+2y)2;(2)(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b);(3)(a+b)2(a-b)2.解析(1)原式=(9x2-12xy+4y2)-(9x2+12xy+4y2)=-24xy.(2)原式=a2-(2b-1)2-(a2-4b2)=a2-4b2+4b-1-a2+4b2=4b-1.(3)原式=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4.1.已知(2x+m)2=4x2+nx+9,則n的值為

()A.±6

B.±12C.±18

D.±36答案

B∵(2x+m)2=4x2+4xm+m2=4x2+nx+9,∴4m=n,m2=9,∴m=±3,n=±12,

故選B.2.已知a-b=3,則代數(shù)式a2-b2-6b的值為

()A.3

B.6

C.9

D.12答案

C由a-b=3,得a=b+3,則原式=(b+3)2-b2-6b=b2+6b+9-b2-6b=9,故選C.3.已知a-b=5,ab=4,求:(1)3a2+3b2的值;(2)(a+b)2的值.解析(1)因為a-b=5,所以(a-b)2=25,所以a2+b2-2ab=25,又ab=4,所以a2+b2=33,所以3a2+3b2=3(a2+b2)=3×33=99.(2)(a+b)2=a2+b2+2ab=33+2×4=41.一、選擇題1.(2019廣東梅州伯聰學校質檢,3,★☆☆)如果9x2+kx+25是一個完全平方

式,那么k的值是

()A.30

B.±30

C.15

D.±15答案

B

k=±30時,原式=9x2±30x+25=(3x±5)2.2.(2019安徽安慶二十三校聯(lián)考,8,★★☆)已知a+b=3,ab=2,則a-b的值是

()A.-1

B.1C.±1

D.以上選項都不對答案

C∵a+b=3,ab=2,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=32-4×2=9-8=1.∴a-b=±1.3.(2017江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)期中,13,★☆☆)若(2a-3b)2=(2a+3b)2-N,則N表示

的代數(shù)式是

.二、填空題答案24ab解析因為(2a-3b)2=(2a+3b)2-N,所以N=(2a+3b)2-(2a-3b)2=4a2+12ab+9b2-(4a2-12ab+9b2)=24ab.4.(2019江蘇連云港海州期中,21,★☆☆)先化簡,再求值:(x-1)(3x+1)-(x+2)2+5,其中x2-3x-1=0.三、解答題解析原式=3x2+x-3x-1-x2-4x-4+5=2x2-6x.因為x2-3x-1=0,所以x2-3x=1,原式=2(x2-3x)=2×1=2.1.(2019江蘇東臺第二聯(lián)盟期中,7,★☆☆)下列式子中,計算正確的是

(

)A.(-a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+2)(a-2)=a2-2C.(a+5)(a-2)=a2+3a-10D.3a3·2a2=6a6

答案

C

A.原式=a2+2ab+b2;B.原式=a2-4;D.原式=6a5.2.(2018山東淄博臨淄一中期中,7,★★☆)設(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,則A=

()A.30ab

B.60abC.15ab

D.12ab答案

B(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,(5a-3b)2+A=25a2-30ab+9b2+A,∴A=60ab.3.(2017江蘇儀征第三中學周考,21,★☆☆)已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+

1)2+1的值.解析原式=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1=x2-5x+1,將x2-5x=14代入,得原式=14+1=15.一、選擇題1.(2019陜西中考,5,★☆☆)下列計算正確的是

()A.2a2·3a2=6a2

B.(-3a2b)2=6a4b2C.(a-b)2=a2-b2

D.-a2+2a2=a2

答案

D

A.原式=6a4;B.原式=9a4b2;C.原式=a2-2ab+b2.2.(2019廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)中考,6,★☆☆)下列運算正確的是

()A.(ab3)2=a2b6B.2a+3b=5abC.5a2-3a2=2D.(a+1)2=a2+1答案

A2a與3b不是同類項,不能合并,B錯誤;5a2-3a2=2a2,C錯誤;(a+1)2=a2+2a+1,D錯誤.故選A.3.(2019四川資陽中考,9,★★☆)4張長為a、寬為b(a>b)的長方形紙片按如

圖1-6-2的方式拼成一個邊長為(a+b)的正方形,圖中空白部分的面積為S1,

陰影部分的面積為S2.若S1=2S2,則a、b滿足

()

圖1-6-2A.2a=5b

B.2a=3bC.a=3b

D.a=2b答案

D

S1=

b(a+b)×2+

ab×2+(a-b)2=a2+2b2,S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)=2ab-b2,∵S1=2S2,∴a2+2b2=2(2ab-b2),整理,得(a-2b)2=0,∴a-2b=0,∴a=2b,故選D.4.(2019吉林長春中考,15,★★☆)先化簡,再求值:(2a+1)2-4a(a-1),其中a=

.二、解答題解析原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1,當a=

時,原式=8a+1=2.1.(2019四川內江中考,6,★☆☆)下列運算正確的是

()A.m2·m3=m6

B.(m4)2=m6C.m3+m3=2m3

D.(m-n)2=m2-n2

答案

C

2.(2019四川達州中考,3,★☆☆)下列計算正確的是

()A.a2+a3=a5B.a8÷a4=a4C.(-2ab)2=-4a2b2D.(a+b)2=a2+b2

答案

B

A.a2與a3不是同類項,不能合并,故此選項錯誤;B.a8÷a4=a4,故此選項正確;C.(-2ab)2=4a2b2,故此選項錯誤;D.(a+b)2=a2+2ab+b2,故此選項錯誤.故選B.3.(2019貴州安順中考,4,★☆☆)下列運算中,計算正確的是

()A.(a2b)3=a5b3

B.(3a2)3=27a6C.a6÷a2=a

D.(a+b)2=a2+b2

答案

B

A.(a2b)3=a6b3,故選項A不合題意;B.(3a2)3=27a6,故選項B符合題意;C.a6÷a2=a4,故選項C不合題意;D.(a+b)2=a2+2ab+b2,故選項D不合題意.故選B.1.已知:a2-b2=(a-b)(a+b);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a4-b4=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3);……,按此規(guī)律,回答下列問題:(1)a5-b5=(a-b)(

);(2)若a-

=2,你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式a3-

的值嗎?解析(1)a4+a3b+a2b2+ab3+b4.(2)當a-

=2時,a3-

=

=

=

=2×(4+3)=2×7=14.2.圖1-6-3(a)是一個長為2m,寬為2n(m>n)的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分

成四個小長方形,然后按圖1-6-3(b)的方式拼成一個正方形.

圖1-6-3(1)按要求填空:①圖1-6-3(b)中陰影部分的正方形的邊長等于

;②請用兩種不同的方法表示圖1-6-3(b)中陰影部分的面積.方法1:

;方法2:

;③觀察圖1-6-3(b),請寫出(m+n)2,(m