11.1.2 三角形的高、中線、角平分線

11.1.2三角形的高、中線、角平分線基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列四個(gè)圖形中，線段是△ABC中AC邊的高的是（

）A． B． C． D．2．已知，AE、BD是△ABC的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，則ACA．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm3．能把一個(gè)任意三角形分成面積相等的兩部分是（）A．角平分線 B．中線 C．高 D．A、B、C都可以4．如圖，CD，CE，CF分別是ΔABC的高、角平分線、中線、則下列各式中錯(cuò)誤的是(

)A．CD⊥BE B．AE⊥BE C． D．AB=2BF5．如圖，△ABC中，D，E分別是BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC，則圖中面積相等的三角形有（）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)6．如圖，CM是ΔABC的中線，的周長(zhǎng)比ΔACM的周長(zhǎng)大3cm，BC=8cm，則ACA．3?cm B．4?cm C．5?cm7．如圖，在直角三角形ABC中，點(diǎn)B沿CB所在直線遠(yuǎn)離C點(diǎn)移動(dòng)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．三角形面積隨之增大 B．∠CAB的度數(shù)隨之增大C．BC邊上的高隨之增大 D．邊AB的長(zhǎng)度隨之增大8．等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3A．2cm B．8cm C．2cm或9．如圖，AD是△ABC的中線，△ABD比△ACD的周長(zhǎng)大6cm，則AB與AC的差為()A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，連結(jié)CE，CF，若S△CEF＝5，則△ABC的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．3011．下列敘述正確的是（）①三角形的中線、角平分線都是射線 ②三角形的三條高線交于一點(diǎn)③三角形的中線就是經(jīng)過一邊中點(diǎn)的線段 ④三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)⑤三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形．A．④⑤ B．①②④ C．②④ D．④12．如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，DF是△CDE的中線，若S△DEF=2，則S△ABC等于（）A．16 B．14 C．12 D．1013．用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求三角形各邊的長(zhǎng)．(2)能圍成有一邊的長(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？若能，求出其他兩邊的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．能力提升練14．如圖，已知△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，則AC=（

）A．10 B．725 C．5215．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P為直線AB上一點(diǎn)，連接PC，則線段PC的值不可能是（

）A．4.8 B．6 C．4 D．516．如圖，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，則BC邊上的高AD為（

）A．8 B．9 C．245 17．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，AD、、CF交于一點(diǎn)G，，S△GDC=6，S△GEC=4，則A．1785 B．1985 C．4018．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，使得AF＝CA，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得BD＝2AB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．519．如圖，△ABC的面積為30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，則圖中四邊形EDCF的面積等于（）A．8.5 B．8 C．9.5 D．920．如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)G，若S△21．一個(gè)三角形兩邊上的高線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)正好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)三角形的形狀是______三角形．22．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，那么當(dāng)x=_________時(shí)，△APE的面積等于4cm23．如圖，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足為D，，AC=4，，則AD=______．24．等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為________．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成12cm和15cm兩部分，求△ABC各邊的長(zhǎng)．拓展培優(yōu)練1．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，則S5的值為（）A．18 B．19 C．1102．如圖，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，，得到ΔEF2B；點(diǎn)F328．如圖，在△ABC中，AD是中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，則DEDF4．如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC邊上的高．猜想：PE、PF和BH間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？5．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB=15，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒3個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t=______時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；（2）當(dāng)t=5時(shí)，CP把△ABC分成的兩部分面積之比是S△APC：S△BPC=______（3）當(dāng)t=______時(shí)，△BPC的面積為18.

11.1.2三角形的高、中線、角平分線基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列四個(gè)圖形中，線段是△ABC中AC邊的高的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：線段是△ABC中AC邊的高的圖是選項(xiàng)A．故選：A．2．已知，AE、BD是△ABC的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，則ACA．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】解：∵AE、BD是△ABC的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC∴12即AC=AE×BC故選D．3．能把一個(gè)任意三角形分成面積相等的兩部分是（）A．角平分線 B．中線 C．高 D．A、B、C都可以【答案】B【解析】解：三角形的中線把三角形分成等底等高的兩個(gè)三角形，面積相等，所以，能把一個(gè)任意三角形分成面積相等的兩部分是中線．故選：B．4．如圖，CD，CE，CF分別是ΔABC的高、角平分線、中線、則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．CD⊥BE B．AE⊥BE C． D．AB=2BF【答案】B【解析】∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB=2BF，無(wú)法確定AE⊥故選：B．5．如圖，△ABC中，D，E分別是BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC，則圖中面積相等的三角形有（）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)【答案】A【解析】由已知條件，得△ABD，△ADE，△ACE，3個(gè)三角形的面積都相等，組成了3對(duì)，還有△ABE和△ACD的面積相等，共4對(duì).故選A.6．如圖，CM是ΔABC的中線，的周長(zhǎng)比ΔACM的周長(zhǎng)大3cm，BC=8cm，則ACA．3?cm B．4?cm C．5?cm D．6?cm【答案】C【解析】解：∵CM為△ABC的AB邊上的中線，∴AM=BM，∵△BCM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大3cm，∴（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm，∴BC-AC=3cm，∵BC=8cm，∴AC=5cm，故選：C．7．如圖，在直角三角形ABC中，點(diǎn)B沿CB所在直線遠(yuǎn)離C點(diǎn)移動(dòng)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．三角形面積隨之增大 B．∠CAB的度數(shù)隨之增大C．BC邊上的高隨之增大 D．邊AB的長(zhǎng)度隨之增大【答案】C【解析】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12B、如圖，隨著點(diǎn)B的移動(dòng)，∠CAB的度數(shù)隨之增大．故B正確；C、BC邊上的高是AC，線段AC的長(zhǎng)度是不變的．故C錯(cuò)誤．D、如圖，隨著點(diǎn)B的移動(dòng)，邊AB的長(zhǎng)度隨之增大．故D正確；故選C．8．等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不對(duì)【答案】B【解析】解：設(shè)腰長(zhǎng)為2xcm如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊AC的中點(diǎn)．則或，解得：x=4，x=1，或2，①三角形ABC三邊長(zhǎng)為8、8、5，符合三角形三邊關(guān)系定理；②三角形ABC三邊是2、2、5，2+2<5，不符合三角形三邊關(guān)系定理；故選：B．9．如圖，AD是△ABC的中線，△ABD比△ACD的周長(zhǎng)大6cm，則AB與AC的差為(

)A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm【答案】C【解析】∵AD是△ABC的中線，∴BD=BC.∴△ABD比△ACD的周長(zhǎng)大6cm，即AB與AC的差值為6cm．故選C．10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，連結(jié)CE，CF，若S△CEF＝5，則△ABC的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】解：根據(jù)等底同高的三角形面積相等，可得∵F是BE的中點(diǎn)，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故選：B．11．下列敘述正確的是（）①三角形的中線、角平分線都是射線 ②三角形的三條高線交于一點(diǎn)③三角形的中線就是經(jīng)過一邊中點(diǎn)的線段 ④三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)⑤三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形．A．④⑤ B．①②④ C．②④ D．④【答案】A【解析】①三角形的角平分線和中線都是線段，故①錯(cuò)誤；②三角形的三條高線所在的直線交于一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；③三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線，過三角形一邊的中點(diǎn)的線段不一定是三角形的中線，故③錯(cuò)誤；④三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，故④正確；⑤三角形的中線是三角形一頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等，故⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論是④⑤，故選A．12．如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，DF是△CDE的中線，若S△DEF=2，則S△ABC等于（）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】∵DF是△CDE的中線，∴S△CDE=2S△DEF，∵CE是△ACD的中線，∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，∵△DEF的面積是2，∴S△ABC=2×8=16．故選A13．用一條長(zhǎng)為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求三角形各邊的長(zhǎng)．(2)能圍成有一邊的長(zhǎng)是4cm的等腰三角形嗎？若能，求出其他兩邊的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)三角形三邊的長(zhǎng)為cm、365cm、365【解析】（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為xcm，則腰長(zhǎng)為2xcm，,依題意，得x+2x+2x=18，解得x=18∴2x=36∴三角形三邊的長(zhǎng)為cm、365cm、365（2）若腰長(zhǎng)為4cm，則底邊長(zhǎng)為18-4-4=10cm，而4+4＜10，所以不能圍成腰長(zhǎng)為4cm的等腰三角形，若底邊長(zhǎng)為4cm，則腰長(zhǎng)為18?42此時(shí)能圍成等腰三角形，三邊長(zhǎng)分別為4cm、7cm、7cm．能力提升練14．如圖，已知△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，則AC=（

）A．10 B．725 C．52【答案】A【解析】解：△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，∴S△ABC=12AB?CE=12AC?∴AC==10，故選：A．15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P為直線AB上一點(diǎn)，連接PC，則線段PC的值不可能是（

）A．4.8 B．6 C．4 D．5【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∵當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，Rt△ABC中，由等面積法可得：12AC×BC=12AB×代入數(shù)據(jù)：6×8=10×PC，∴PC=4.8，∵C選項(xiàng)中4<4.8，∴線段PC的值不可能是4．故選C．16．如圖，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，則BC邊上的高AD為（

）A．8 B．9 C．245 【答案】C【解析】∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，則由面積公式可知，S△ABC＝12ABAC＝1∴AD＝24517．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，AD、、CF交于一點(diǎn)G，，S△GDC=6，S△GEC=4，則A．1785 B．1985 C．40【答案】B【解析】解：設(shè)S△AEG=x，∵，∴S△∴S△ABD=2S△ACD，即y+12=2∵S△∴x+y12+6+4=x4根據(jù)①②算出x=165，∴S△故選：B．18．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，使得AF＝CA，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得BD＝2AB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】如圖，連接AE，CD，設(shè)△ABC的面積為m，∵BD=2AB，∴S△BCD=2S△ABC=2m，∴S△ACD=S△BCD+S△ABC=3m，∵AC=AF，∴S△ADF=S△ACD=3m，∵EC=3BC，∴S△ECA==3S△ABC=3m，∴S△EDC=3S△BCD=6m，∵AC=AF，∴S△AEF=S△EAC=3m，∴S△DEF=S△ABC+S△BCD+S△EDC+S△ECA+S△AEF+S△ADF=m+2m+6m+3m+3m+3m=18m=36，∴m=2，∴△ABC的面積為2，故選：A．19．如圖，△ABC的面積為30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，則圖中四邊形EDCF的面積等于（）A．8.5 B．8 C．9.5 D．9【答案】B【解析】解：連接CE．∵△ABC的面積為30cm∴S△ABD=20

cm2，S△ADC=10

cm2，S△∴S△EDC=5

c∴S△BEC=15

c∴S△ABE:S△BEC=2:3∴△ABE與△BEC邊上高之比為2:3∴S△AEF:S△EFC=2:3∵S△AEC=S△ADC-S△EDC=5

c∴S△AEF=5×∴四邊形EDCF的面積為S△ADC-S△AEF=8

cm故選：B．20．如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)G，若S△【答案】4【解析】解：∵CF是中線，∴S同理可得：∴∵S△ACF由中線性質(zhì)，可得AG=2GD，則S△∴陰影部分的面積為4；故答案為：4.21．一個(gè)三角形兩邊上的高線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)正好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)三角形的形狀是______三角形．【答案】直角【解析】解：∵三角形兩邊上的高線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)正好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，∴這個(gè)三角形一定是直角三角形．故答案為：直角．22．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，那么當(dāng)x=_________時(shí)，△APE的面積等于4cm【答案】83【解析】【詳解】分析：分為三種情況：畫出圖形，根據(jù)三角形的面積求出每種情況即可．詳解：①如圖1，當(dāng)P在AB上時(shí)，∵△APE的面積等于4，∴12x=83②當(dāng)P在BC上時(shí)，∵△APE的面積等于4，∴S長(zhǎng)方形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=4，∴3×4-12（3+4-x）×2-12×2×3-x=6；③當(dāng)P在CE上時(shí)，∴12x=193故答案為8323．如圖，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足為D，，AC=4，，則AD=______．【答案】2.4【解析】解：∵AB⊥AC，AD⊥∴1∵，AC=4，，∴AD=ABAC故答案諀：2.424．等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為________．【答案】8cm【解析】設(shè)腰長(zhǎng)為2x，一腰的中線為y，則（2x+x）-（5+x）=3或（5+x）-（2x+x）=3，解得：x=4，x=1，∴2x=8或2，①三角形ABC三邊長(zhǎng)為8、8、5，符合三角形三邊關(guān)系定理；②三角形ABC三邊是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系定理；故答案為：8cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難度不大，關(guān)鍵是求出x的值后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成12cm和15cm兩部分，求△ABC各邊的長(zhǎng)．【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm【解析】解：設(shè)AB＝xcm，BC＝y(tǒng)cm．則有以下兩種情況：(1)當(dāng)AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm時(shí)，x+12x=12(2)當(dāng)AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm時(shí)，x+12x=15拓展培優(yōu)練1．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，則S5的值為（）A．18 B．19 C．110【答案】D【解析】如圖1，連接OC,由BE1、AD1分別將邊BC、AC2等份，SΔAD所以SΔAOE1+S如圖2，連接OC,OD1，OE2,由圖（1）的方法可得SΔBO所以S2同樣的方法可求得S3=12．如圖，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，，得到ΔEF2B；點(diǎn)F3【答案】2【解析】解：∵，∴ΔABE面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為2+1=3∵點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，∴∴SΔBSΔD∴SΔE∵點(diǎn)F2是C∴SΔB且DF∴S∴SΔE同理可以計(jì)算出：SΔB且DF∴SΔD∴SΔE故ΔEF1B、ΔEF2觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合2n，分子規(guī)律為2∴ΔEFnB故答案為：2n28．如圖，在△ABC中，AD是中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，則DEDF【答案】5【解析】解：∵△ABC中，AD為中線，∴BD=DC．∴S△ABD=S△ADC．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB