人教版年七年級數學上學期期末考點大串講猜想05與數軸、線段、角有關的復雜應用題(解答60題專練)(原卷版+解析)

猜想05與數軸、線段、角有關的復雜應用題（解答60題專練）一．解答題（共60小題）1．（2022秋?重慶期末）閱讀理解：M、N、P為數軸上三點，若點P到M的距離是點P到N的距離的k（k＞0）倍，即滿足PM＝k．PN時，則稱點P關于M、N的“相對關系值”為k．例如，當點M、N、P表示的數分別為0、2、3時，PM＝3PN，則稱點P關于M、N的“相對關系值”為3；PN＝MN，則稱點N關于P、M的“相對關系值”為．如圖，點A、B、C、D在數軸上，它們所表示的數分別為﹣1、2、6、﹣6．（1）原點O關于A、B的“相對關系值“為a，原點O關于B、A的“相對關系值”為b，則a＝，b＝．（2）點E為數軸上一動點，點E所表示的數為x，若x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，且點E關于C、D的“相對關系值”為k，則k的取值范圍是．（3）點F從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒，當經過t秒時，C、D、F三點中恰有一個點關于另外兩點的“相對關系值”為2，求t的值．2．（2022秋?望城區(qū)期末）已知x＝﹣3是關于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的條件下，已知線段AB＝6cm，點C是線段AB上一點，且BC＝kAC，若點D是AC的中點，求線段CD的長．（3）在（2）的條件下，已知點A所表示的數為﹣2，點B所表示的數為4，有一動點P從點A開始以2個單位長度每秒的速度沿數軸向左勻速運動，同時另一動點Q從點B開始以4個單位長度每秒的速度沿數軸向左勻速運動，當時間為多少秒時，有PD＝2QD？3．（2022秋?達川區(qū)期末）數軸是數學學習的一個很重要的工具，利用數軸可以將數與形完美結合．研究數軸我們可發(fā)現許多重要的規(guī)律：①絕對值的幾何意義：一般地，若點A、點B在數軸上表示的數分別為a，b，那么A、B兩點之間的距離表示為|a﹣b|，記作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|則表示數3和1在數軸上對應的兩點之間的距離；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示數3和﹣1在數軸上對應的兩點之間的距離；②若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，那么線段AB的中點M表示的數為．請借用數軸和以上規(guī)律解決下列問題：如圖，已知數軸上有A、B兩點，分別表示的數為﹣10，6，點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒1個單位長度從點B出發(fā)沿數軸向左勻速運動，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）A、B兩點的距離為個單位長度；線段AB的中點M所表示的數為；（2）點P運動t秒后所在位置的點表示的數為；點Q運動t秒后所在位置的點表示的數為．（用含t的式子表示）（3）P、Q兩點經過多少秒會相距5個單位長度？（4）在點P、Q運動過程中，O、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點時，直接寫出此時t的值．4．（2022秋?黃陂區(qū)校級期末）如圖，數軸上A、B兩點表示的有理數分別為a、b，（a+1）2與|a﹣b+10|互為相反數．線段CD在數軸上從A點左側（D最開始與A重合）沿數軸正方向勻速運動（點C在點D的左側），點M，N分別為AC，BD的中點．（1）求AB的長；（2）當CD等于2時，判斷MN的長度是否為定值，若是求出這個值，若不是，請說明理由；（3）設CD＝m，線段CD運動的速度為2個單位長度每秒，則在運動過程中，線段CD從開始運動到完全通過線段MN的時間為（用含m的式子表示）．5．（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，已知點A，B，C是數軸上三點，O為原點，點C對應的數為3，BC＝2，AB＝6．（1）求點A，B對應的數；（2）動點M，N分別同時從AC出發(fā)，分別以每秒3個單位和1個單位的速度沿數軸正方向運動．P為AM的中點，Q在CN上，且CQ＝CN，設運動時間為t（t＞0）．①求點P，Q對應的數（用含t的式子表示）；②t為何值時OP＝BQ．6．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀理解：若A、B、C為數軸上三點，點C到A的距離是點C到B的距離2倍，我們就稱點C是[A，B]的好點．例如，如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為2．表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是[A，B]的好點．知識運用：如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4．（1）線段MN上存在一點是[M，N]的好點，則此點表示的數是；（2）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當運動時間t為何值時，點P、A、B中恰有一個點為其余兩點的好點？（3）在（2）條件下，若點P到達A點后繼續(xù)向左運動，當P為[B，A]的好點時，請直接寫出線段PB的長及此時點P表示的數．7．（2022秋?武漢期末）已知線段AB＝30cm（1）如圖1，點P沿線段AB自點A向點B以2cm/s的速度運動，同時點Q沿線段點B向點A以3cm/s的速度運動，幾秒鐘后，P、Q兩點相遇？（2）如圖1，幾秒后，點P、Q兩點相距10cm？（3）如圖2，AO＝4cm，PO＝2cm，當點P在AB的上方，且∠POB＝60°時，點P繞著點O以30度/秒的速度在圓周上逆時針旋轉一周停止，同時點Q沿直線BA自B點向A點運動，假若點P、Q兩點能相遇，求點Q的運動速度．8．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在數軸上點A表示的數為﹣20，點B表示的數為40，動點P從點A出發(fā)以每秒5個單位的速度沿正方向運動，動點Q從原點出發(fā)以每秒4個單位的速度沿正方向運動，動點N從點B出發(fā)以每秒8個單位的速度先沿負方向運動，到達原點后立即按原速返回，三點同時出發(fā)，當點N回到點B時，三點停止運動．（1）當運動時間為3秒時，點P、點N之間的距離是單位．（2）當QN＝8個單位時，求三個點的運動時間．（3）嘗試借助上面數學問題的解題經驗，建立數軸完成下面的實際問題：碼頭C位于A，B兩碼頭之間，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開往C碼頭后立即調頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中的航速為5海里/時，乙船在靜水中的航速為4海里/時，丙船在靜水中的航速為8海里/時，水流速度為2海里/時，三船同時出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．在整個運動過程中，是否存在某一時刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請求出此時甲船離B碼頭的距離；若不存在，請說明理由．9．（2022秋?豐澤區(qū)校級期末）【概念與發(fā)現】當點C在線段AB上，AC＝nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“AC＝nAB”具有相同的含義．【理解與應用】（1）如圖，點C在線段AB上．若AC＝3，AB＝4，則＝；若，則＝．【拓展與延伸】（2）已知線段AB＝10cm，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．①小王同學發(fā)現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；②t為何值時，．10．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）點C是線段AB上一點，若AC＝nBC（n為大于1的正整數），則我們稱點C是（B，A）的最強CP點．例如，AB＝10，AC＝CD＝DE＝EB＝2，則AE＝3BE，稱E是（B，A）的最強CP點；BD＝2CD，則D是（C，B）的最強CP點．（1）點C在線段AB上，若AB＝14，n＝4，點C是（A，B）的最強CP點，則AC＝．（2）若AB＝14，C是（B，A）的最強CP點，則AC＝．（用n的代數式表示）（3）一直線上有兩點A，B，AB＝30cm，點C從B點出發(fā)，以每秒3cm的速度向A運動，運動到點A時停止．點D從點A出發(fā)，以每秒5cm的速度沿射線AB運動，t為多少時，點B，C，D恰好有一個點是其余2個點的最強CP點．（用n的代數式表示）11．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，數軸上點A表示數a，點B表示數b，且a、b滿足|a+2|+（b﹣8）2＝0．（1）點A表示的數為；點B表示的數為；（2）若數軸上有兩動點M，N，點M以2個單位/秒從A向右運動，同時點N以3個單位/秒從點B向左運動，問經過幾秒M，N相遇？（3）在（2）的條件下，動點M、N出發(fā)經過多少秒，能使MA＝3NO？12．（2022秋?橋西區(qū)期末）如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC，∠COE＝140°，將一直角三角板AOB的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒20°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．（1）當直角三角板旋轉到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，求此時∠BOC的度數；（2）若射線OC的位置保持不變，在旋轉過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出t的取值，若不存在，請說明理由；（3）若在三角板開始轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒25°的速度逆時針旋轉一周，從旋轉開始多長時間，射線OC平分∠BOD．直接寫出t的值．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）13．（2022秋?洪山區(qū)校級期末）已知∠COD在∠AOB的內部，∠AOB＝120°，∠COD＝30°．（1）如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；（2）如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大??；（3）如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉，當與射線OB重合后，再以每秒12°的速度繞點O逆時針旋轉；同時射線OD以每秒20°的速度繞點O順時針旋轉．設射線OD，OC運動的時間是t秒（0＜t≤19），當∠COD＝90°時，直接寫出t的值．14．（2022秋?思明區(qū)校級期末）如圖，已知A、B、C是數軸上的三點，點C表示的數為7，BC＝4，AB＝16，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以每秒5個單位的速度沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒2個單位的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CQ＝3CN．設運動的時間為t（t＞0）秒．（1）點A表示的數為，點B表示的數為（2）當t＜6時，求MN的長（用含t的式子表示）；（3）t為何值時，原點O恰為線段PQ的中點．15．（2022秋?管城區(qū)校級期末）如圖1，O為直線DE上一點，過點O在直線DE上方作射線OC，∠EOC＝140°．將直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點放在點O處，一條邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞點O按每秒6°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．（1）如圖2，當t＝4時，∠AOC＝，∠BOE＝，∠BOE﹣∠AOC＝；（2）當三角板旋轉至邊AB與射線OE相交時（如圖3），試猜想∠AOC與∠BOE的數量關系，并說明理由；（3）在旋轉過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA、OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請直接寫出t的取值，若不存在，請說明理由．16．（2022秋?泗陽縣校級期末）【感受新知】如圖1，射線OC在∠AOB在內部，圖中共有3個角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一個角的度數是另一個角度數的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“和諧線”．[注：本題研究的角都是小于平角的角．]（1）一個角的角平分線這個角的“和諧線”．（填是或不是）（2）如圖1，∠AOB＝60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，求∠AOC的度數．【運用新知】（3）如圖2，若∠AOB＝90°，射線OM從射線OA的位置開始，繞點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉，同時射線ON從射線OB的位置開始，繞點O按順時針方向以每秒7.5°的速度旋轉，當一條射線回到出發(fā)位置的時候，整個運動隨之停止，旋轉的時間為t（s），問：當射線OM、ON旋轉到一條直線上時，求t的值．【解決問題】（4）在（3）的條件下，請直接寫出當射線ON是∠BOM的“和諧線”時t的值．17．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖1，平面上順時針排列射線OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且為鈍角，∠AOB：∠COD＝6：7，射線OM，ON分別平分∠AOC，∠AOD（題目中所出現的角均小于180°且大于0°）．（1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝，∠CON＝；（2）6∠CON﹣∠AOM的值是否隨著∠AOD的變化而變化？若不變，求出該定值；若要變，請說明理由；（3）在（1）的條件下，將∠AOB繞點O以每秒2°的速度順時針旋轉得到∠A1OB1（OA，OB的對應邊分別是OA1，OB1），若旋轉時間為t秒（0＜t＜180），當∠A1OC+6°＝∠B1OD時，求出t的值．18．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知數軸上，點O為原點，點A對應的數為9，點B對應的數為b，點C在點B右側，長度為2個單位的線段BC在數軸上移動．（1）如圖1，當線段BC在O、A兩點之間移動到某一位置時恰好滿足線段AC＝OB，求此時b的值；（2）當線段BC在數軸上沿射線AO方向移動的過程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此時滿足條件的b值；（3）當線段BC在數軸上移動時，滿足關系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，則此時的b的取值范圍是．19．（2022秋?仙游縣校級期末）已知有理數a，b，c在數軸上對應的點分別為A，B，C，其中b是最小的正整數，a，c滿足|a+2|+（c﹣5）2＝0．（1）填空；a＝，b＝，c＝．（2）現將點A，點B和點C分別以每秒4個單位長度，1個單位長度和1個單位長度的速度在數軸上同時向右運動，設運動時間為t秒．①求經過多長時間，AB的長度是BC長度的兩倍．②定義，已知M，N為數軸上任意兩點．將數軸沿線段MN的中點Q進行折疊，點M與點N剛好重合，所以我們又稱線段MN的中點Q為點M和點N的折點．試問：當t為何值時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點？20．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）已知數軸上A，B兩點表示的數分別為a，b，且a，b滿足|a+9|+（b﹣6）2＝0．點P沿數軸從A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動．（1）則a＝，b＝．（2）若點P到點A的距離是點P到點B距離的2倍，求點P運動的時間．（3）若點Q在點P運動2秒后，從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動．當P，Q兩點相遇后，再同時都向右運動（速度不變）．試求在整個運動過程中，當P點運動時間為多少秒時，P，Q兩點之間的距離為1？并求出此時Q點所對應的數．21．（2022秋?順慶區(qū)校級期末）如圖，數軸上有三個點A、B、C，表示的數分別是﹣4、﹣2、3，請回答：（1）若使C、B兩點的距離與A、B兩點的距離相等，則需將點C向左移動個單位；（2）點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，運動t秒鐘過后：①點A、B、C表示的數分別是、、（用含t的代數式表示）；②若點B與點C之間的距離表示為d1，點A與點B之間的距離表示為d2．試問：d1﹣d2的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出d1﹣d2值．22．（2022秋?市北區(qū)校級期末）已知如圖，在數軸上有A，B兩點，所表示的數分別為﹣10，﹣4，點A以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時點B以每秒3個單位長度的速度也向右運動，如果設運動時間為t秒，解答下列問題：（1）運動前線段AB的長為；運動1秒后線段AB的長為；（2）求t為何值時，點A與點B恰好重合；（3）在上述運動的過程中，是否存在某一時刻t，使得線段AB的長為5，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．23．（2022秋?廣陽區(qū)期末）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究：①數軸上表示5和2的兩點之間的距離是．②數軸上表示﹣1和﹣5的兩點之間的距離是．③數軸上表示﹣3和4的兩點之間的距離是．（2）歸納：一般的，數軸上表示數a和數b的兩點之間的距離等于．（3）應用：①若數軸上表示數a的點位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示數軸上的一個有理數，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝．③若a表示數軸上的一個有理數，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示數軸上的一個有理數，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數a的取值范圍是．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數軸上的兩點，A點對應的數為﹣20，B點對應的數為100．若當電子螞蟻P從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運動，求經過多長時間兩只電子螞蟻在數軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的數．24．（2022秋?武侯區(qū)校級期末）已知b是最小的正整數，a，b滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分別對應數軸上的點A，B，C．（1）請直接寫出a，b，c的值：a＝，b＝，c＝．（2）若點P為一動點，從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向右運動，則點P運動幾秒后，點P到點A的距離是點P到點C的距離的2倍？（3）點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．假設運動時間為ts，BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．25．（2021秋?紅河州期末）數軸上點A表示的數為10，點M，N分別以每秒a個單位長度，每秒b個單位長度的速度沿數軸運動，a，b滿足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．（1）請直接寫出a＝，b＝；（2）如圖1，點M從A出發(fā)沿數軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動，同時點N從原點O出發(fā)沿數軸向左運動，運動時間為t，點P為線段ON的中點若MP＝MA，求t的值；（3）如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t時M運動到點A的右側，若此時以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為142，求此時點M對應的數．26．（2021秋?恩施市期末）如圖1，長方形OABC的邊OA在數軸上，O為原點，長方形OABC的面積為12，OC邊長為3．（1）數軸上點A表示的數為．（2）將長方形OABC沿數軸水平移動，移動后的長方形記為O′A′B′C′，移動后的長方形O′A′B′C′與原長方形OABC重疊部分（如圖2中陰影部分）的面積記為S．①當S恰好等于原長方形OABC面積的一半時，數軸上點A′表示的數為．②設點A的移動距離AA′＝x．?。擲＝4時，x＝；ⅱ．D為線段AA′的中點，點E在線段OO′上，且OE＝OO′，當點D，E所表示的數互為相反數時，求x的值．27．（2021秋?紫陽縣期末）如圖，數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是；當點P運動到AB的中點時，它所表示的數是；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)，當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？28．（2022秋?金臺區(qū)校級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）如圖2，將圖1中的三角形繞點O逆時針旋轉，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中三角板繞點O逆時針旋轉，使得ON在∠AOC的內部，探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，此時三角板繞點O旋轉的時間是多少秒？29．（2021秋?思明區(qū)校級期末）如圖，已知∠MAN＝90°，射線AP在∠MAN內部，點B在射線AN上，在線段AB的延長線上截取BC＝AB，動點D從點A的位置出發(fā)，沿射線AN的方向運動，與此同時，射線AQ從與射線AM重合的位置開始繞點A順時針旋轉（點D到達點C時，兩者都停止運動）．設運動時間為t秒，∠MAQ的角度為α，線段CD的長為l．且α，l，t的關系如下：l＝20﹣2t，α＝mt．（l，m的單位分別為cm和°）（1）若動點D運動到終點C，求t的值；（2）當∠MAP＝2∠PAN時，①若m＝6，動點D運動到點B的位置，射線AQ是哪個角的平分線？②在AQ旋轉的同時，射線AP也繞點A逆時針旋轉，旋轉速度是每秒7°，射線AP旋轉后的對應射線記為AP′，若∠P′AQ＝18°，m，t均為正整數，求m，t的值．30．（2021秋?南潯區(qū)期末）如圖1，將兩塊直角三角板（一塊含有30°、60°角，另一塊含45°角）擺放在直線MN上，三角板ODC繞點O以每秒15°的速度逆時針旋轉．當OD第一次與射線OM重合時三角板ODC停止轉動，設旋轉時間為t秒．（1）當t＝2s時，求∠BOC和∠AOD的度數；（2）如圖2，若兩塊三角板同時旋轉，三角板OAB以每秒20°的速度繞點O順時針旋轉，當OA第一次與射線ON重合時三角板OAB立即停止轉動．①用含t的代數式表示射線OA和射線OD重合前∠BOC和∠AOD的度數；②整個旋轉過程中，當滿足|∠AOD﹣∠BOC|＝5°時，求出相應的t的值．31．（2021秋?盤州市期末）已知二項式﹣m3n2﹣2中，含字母的項的系數為a，多項式的次數為b，常數項為c．且a、b、c分別是點A、B、C在數軸上對應的數．（1）求a、b、c的值，并在數軸上標出A、B、C．（2）若甲、乙、丙三個動點分別從A、B、C三點同時出發(fā)沿數軸負方向運動，它們的速度分別是、2、（單位長度/秒），當乙追上丙時，乙與甲相距多遠？（3）在數軸上是否存在一點P，使P到A、B、C的距離之和等于10？若存在，請直接指出點P對應的數；若不存在，請說明理由．32．（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，直線l上依次有三個點A、B、C，AB＝16cm，BC＝14cm．點M從點A出發(fā)，沿直線l以每秒6cm的速度向點C運動，到達點C后立即原速返回到點A；同時，點N從點B出發(fā)，沿直線l以每秒2cm的速度向點C運動，到達點C后停止．運動過程中，若AB＝nMN（n為大于1整數），則稱是MN是AB的“n分時刻”．設點M的運動時間為ts．（1）當t＝2時，MN是AB的“分時刻”；（2）若MN是AB的“8分時刻”，求t的值；（3）進一步探究發(fā)現，對于每一個不同的n的取值，符合條件的t的個數也在變化，請直接寫出t的個數及對應的n的取值范圍．33．（2021秋?文山市期末）已知線段AB＝30cm．（1）如圖1，點P沿線段AB自點A向點B以2cm/s的速度運動，同時點Q沿線段BA自點B向點A以3cm/s的速度運動，幾秒鐘后，P、Q兩點相遇？（2）幾秒后，點P、Q兩點相距10cm？（3）如圖2，AO＝PO＝4cm，∠POB＝60°，現點P繞著點O以30°/秒的速度逆時針旋轉一周停止，同時點Q沿直線B自B點向A點運動，假若點P、Q兩點能相遇，求點Q的運動速度．34．（2022秋?荊門期末）如圖，已知數軸上兩點A、B對應的數分別為a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0．動點P從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）寫出數軸上點A表示的數為，點B表示的數為，點P表示的數為（用含t的式子表示）；（2）動點Q從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向左勻速運動，動點M從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，且點P，Q，M同時出發(fā)．①當t為何值時，點P、Q兩點到點A的距離相等？②式子mBQ﹣2MP的值不隨時間t的變化而變化，求m的值．35．（2022秋?市中區(qū)期末）數軸上點A表示﹣12，點B表示12，點C表示24，如圖，將數軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”．在“折線數軸”上，把兩點所對應的兩數之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離，那么我們稱點A和點C在折線數軸上的和諧距離為36個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿著折線數軸的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，過點B后繼續(xù)以原來的速度向正方向運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點C出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著“折線數軸”的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄^點O后繼續(xù)以原來的速度向負方向運動．設運動的時間為t秒．（1）當t＝3秒時，求M、N兩點在折線數軸上的和諧距離；（2）當M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度時，求運動時間t的值；（3）當點M運動到點C時，立即以原速返回，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?；當點N運動到點A時，點M、N立即停止運動．是否存在某一時刻t使得M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等？若存在，請直接寫出t的取值；若不存在，請說明理由．36．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，數軸上有A，B，C三個點，分別表示數﹣20，﹣8，16，有兩條動線段PQ和MN（點Q與點A重合，點N與點B重合，且點P在點Q的左邊，點M在點N的左邊），PQ＝2，MN＝4，線段MN以每秒1個單位的速度從點B開始向右勻速運動，同時線段PQ以每秒3個單位的速度從點A開始向右勻速運動．當點Q運動到點C時，線段PQ立即以相同的速度返回；當點Q回到點A時，線段PQ、MN同時停止運動．設運動時間為t秒（整個運動過程中，線段PQ和MN保持長度不變）．（1）當t＝20時，點M表示的數為，點Q表示的數為．（2）在整個運動過程中，當CQ＝PM時，求出點M表示的數．（3）在整個運動過程中，當兩條線段有重合部分時，速度均變?yōu)樵瓉淼囊话?，當重合部分消失后，速度恢復，請直接寫出當線段PQ和MN重合部分長度為1.5時所對應的t的值．37．（2022秋?臨縣期末）如圖，在數軸上從左往右依次有四個點A，B，C，D，其中點A，B，C表示的數分別是0，3，10，且CD＝2AB．（1）點D表示的數是；（直接寫出結果）（2）線段AB以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時線段CD以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，設運動時間是t（秒），當兩條線段重疊部分是2個單位長度時．①求t的值；②線段AB上是否存在一點P，滿足BD﹣PA＝3PC？若存在，求出點P表示的數x；若不存在，請說明理由．38．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，已知數軸上點A表示的數為10，點B位于點A左側，AB＝15．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t秒．（1）當點P在A、B兩點之間運動時，①用含t的代數式表示PB的長度；②若PB＝2PA，求點P所表示的數；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，當點Q到達點A后立即原速返回．若P，Q兩點同時出發(fā)，其中一點運動到點B時，兩點停止運動．求在這個運動過程中，P，Q兩點相遇時t的值．39．（2021秋?南關區(qū)校級期末）如圖，數軸上有A、B、C三個點，分別表示數﹣18、﹣10、20，有兩條動線段PQ和MN（點Q與點A重合，點N與點B重合，且點P總在點Q的左邊，點M總在點N的左邊），PQ＝2，MN＝5，線段MN以每秒1個單位的速度從點B開始一直向右勻速運動，同時線段PQ以每秒3個單位的速度從點A開始向右勻速運動．當點Q運動到點C時，線段PQ立即以相同的速度返回；當點P運動到點A時，線段PQ、MN立即同時停止運動．設運動時間為t秒（整個運動過程中，線段PQ和MN保持長度不變）．（1）當t＝2時，點Q表示的數為，點M表示的數為．（2）當開始運動后，t＝秒時，點Q和點C重合．（3）在整個運動過程中，求點Q和點N重合時t的值．（4）在整個運動過程中，當線段PQ和MN重合部分長度為1時，請直接寫出此時t的值．40．（2021秋?青島期末）數軸上點A表示﹣8，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數軸”．在“折線數軸”上，把兩點所對應的兩數之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數軸上的和諧距離為|﹣8﹣18|＝26個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設運動的時間為t秒．（1）當t＝2秒時，M、N兩點在折線數軸上的和諧距離|MN|為；（2）當點M、N都運動到折線段O﹣B﹣C上時，O、M兩點間的和諧距離|OM|＝（用含有t的代數式表示）；C、N兩點間的和諧距離|CN|＝（用含有t的代數式表示）；t＝時，M、N兩點相遇；（3）當t＝時，M、N兩點在折線數軸上的和諧距離為4個單位長度；當t＝時，M、O兩點在折線數軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數軸上的和諧距離相等．41．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，數軸上有A，B，C三個點，點B對應的數是﹣4，點A，C對應的數分別為a，c，且a，c滿足|a+12|+（c﹣3）2＝0．（1）直接寫出a，c的值；（2）若數軸上有兩個動點P，Q分別從A，B兩點出發(fā)沿數軸同時出發(fā)向右勻速運動，點P速度為3單位長度/秒，點Q速度為1單位長度/秒，若運動時間為t秒，運動過程中，是否存在線段AP的中點M到點Q的距離為4，若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，另外兩個動點E，F分別隨著P，Q一起運動，且始終保持線段EP＝2，線段FQ＝3（點E在P的左邊，點F在Q的左邊），當點P運動到點C時，線段EP立即以相同的速度返回，當點P再次運動到點A時，線段EP和FQ立即同時停止運動，在整個運動過程中，是否存在使兩條線段重疊部分為EP的一半，若存在，請直接寫出此時點P表示的數，并把求其中一個點P表示的數的過程寫出來；若不存在，請說明理由．42．（2022秋?益陽期末）已知：b是最小的正整數，且a、b滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0，請回答問題（1）請直接寫出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在0到2之間運動時（即0≤x≤2時），請化簡式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（請寫出化簡過程）（3）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．43．（2022秋?新豐縣期末）已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數是；當點P運動到AB的中點時，它所表示的數是．（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：①當點P運動多少秒時，點P追上點Q？②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？44．（2022秋?衡山縣期末）已知數軸上的點A，B對應的數分別是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2＝0，點P為數軸上從原點出發(fā)的一個動點，速度為30單位長度/秒．（1）求點A，B兩點之間的距離；（2）若點A向右運動，速度為10單位長度/秒，點B向左運動，速度為20單位長度/秒，點A，B和P三點同時開始運動，點P先向右運動，遇到點B后立即掉后向左運動，遇到點A再立即掉頭向右運動，如此往返，當A，B兩點相距30個單位長度時，點P立即停止運動，求此時點P移動的路程為多少個單位長度？（3）若點A，B，P三個點都向右運動，點A，B的速度分別為10單位長度/秒，20單位長度/秒，點M、N分別是AP、OB的中點，設運動的時間為t（0＜t＜10），在運動過程中①的值不變；②的值不變，可以證明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．45．（2020春?重慶期末）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數軸上數x對應的點與原點的距離；即|x|＝|x﹣0|；這個結論可以推廣為|x1﹣x2|表示在數軸上數x1，x2對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：例1：解方程|x|＝4．容易得出，在數軸上與原點距離為4的點對應的數為±4，即該方程的解x＝±4；例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數軸上與﹣1和2的距離之和為5的點對應的x的值．在數軸上，﹣1和2的距離為3，滿足方程的x對應的點在2的右邊或在﹣1的左邊．若x對應的點在2的右邊，如圖1可以看出x＝3；同理，若x對應點在﹣1的左邊，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．例3：解不等式|x﹣1|＞3．在數軸上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距離為3的點對應的數為﹣2，4，如圖2，在﹣2的左邊或在4的右邊的x值就滿足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解為x＜﹣2或x＞4．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x+3|＝5的解為；（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解為；（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范圍．46．（2022秋?商河縣校級期末）已知OE是∠BOC的平分線．（1）操作發(fā)現：如圖①，∠COD＝90°，①若∠AOC＝40°，則∠DOE＝°．②若∠AOC＝50°，則∠DOE＝°．③若∠AOC＝α，則∠DOE＝．（用含α的代數式表示）（2）操作探究：將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉到圖2的位置，其他條件不變，③中的結論是否成立？試說明理由．（3）如圖3，已知OD⊥AB，∠COD＝60°，邊OC、邊OD分別繞著點O以每秒10°、每秒5°的速度順時針旋轉（當其中一邊與OB重合時都停止旋轉），求：運動多少秒后，∠COD＝20°．47．（2022秋?長春期末）鐘面上的數學【基本概念】鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角．如圖1，∠AOB即為某一時刻的鐘面角，一般地，0°≤∠AOB≤180°．【簡單認識】時針和分針在繞點O一直沿著順時針方向旋轉，時針每小時轉動的角度是30°，分針每小時轉動一周，角度為360°．由此可知：（1）時針每分鐘轉動°，分針每分鐘轉動°；【初步研究】（2）已知某一時刻的鐘面角的度數為α，在空格中寫出一個與之對應的時刻：①當α＝90°時，；②當α＝180°時，；（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點04分，此時鐘面角∠AOB＝°；【深入思考】（4）在某一天的下午2點到3點之間（不包括2點整和3點整），假設這一時刻是2點m分，請用含有m的代數式表示出此時刻鐘面角（直接寫出結論）．48．（2021秋?荊門期末）點A、B、C、D在數軸上的位置如圖1所示，已知AB＝3，BC＝2，CD＝4．（1）若點C為原點，則點A表示的數是；（2）若點A、B、C、D分別表示有理數a，b，c，d，則|a﹣c|+|d﹣b|﹣|a﹣d|＝；（3）如圖2，點P、Q分別從A、D兩點同時出發(fā)，點P沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向右運動，到達B點后立即按原速折返；點Q沿線段CD以每秒2個單位長度的速度向左運動，到達C點后立即按原速折返．當P、Q中的某點回到出發(fā)點時，兩點同時停止運動．①當點停止運動時，求點P、Q之間的距離；②設運動時間為t（單位：秒），則t為何值時，PQ＝5？49．（2021秋?修水縣期末）已知：a、b、c滿足a＝﹣b，|a+1|+（c﹣4）2＝0，請回答問題：（1）請求出a、b、c的值；（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，P為數軸上一動點，其對應的數為x，若點P在線段BC上時，請化簡式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|（請寫出化簡過程）；（3）若點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，試探究當點P運動多少秒時，PC＝3PB？50．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，O是數軸的原點，A、B是數軸上的兩個點，A點對應的數是﹣1，B點對應的數是8，C是線段AB上一點，滿足．（1）求C點對應的數；（2）動點M從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，當點M到達C點后停留2秒鐘，然后繼續(xù)按原速沿數軸向右勻速運動到B點后停止．在點M從A點出發(fā)的同時，動點N從B點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數軸勻速向左運動，一直運動到A點后停止．設點N的運動時間為t秒．①當MN＝4時，求t的值；②在點M，N出發(fā)的同時，點P從C點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，當點P與點M相遇后，點P立即掉頭按原速沿數軸向右勻速運動，當點P與點N相遇后，點P又立即掉頭按原速沿數軸向左勻速運動到A點后停止．當PM＝2PN時，請直接寫出t的值．51．（2021秋?紫金縣期末）如圖，已知數軸上的點A表示的數為6，點B表示的數為﹣4，點C到點A、點B的距離相等，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，設運動時間為t（t大于0）秒．（1）點C表示的數是．（2）求當t等于多少秒時，點P到達點A處？（3）點P表示的數是（用含字母t的式子表示）（4）求當t等于多少秒時，P、C之間的距離為2個單位長度．52．（2021秋?江北區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分線．（1）如圖1，若∠AOD＝∠AOB，則∠DOE＝；（2）如圖2，若OF是∠AOD的角平分線，求∠AOE﹣∠DOF的值；（3）在（1）的條件下，若射線OP從OE出發(fā)繞O點以每秒12°的速度逆時針旋轉，射線OQ從OD出發(fā)繞O點以每秒8°的速度順時針旋轉，若射線OP、OQ同時開始旋轉t秒（0＜t＜）后得到∠COP＝∠AOQ，求t的值．53．（2021秋?惠山區(qū)期末）【探索新知】如圖1，點C將線段AB分成AC和BC兩部分，若BC＝πAC，則稱點C是線段AB的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC＝3，則AB＝；（2）若點D也是圖1中線段AB的圓周率點（不同于C點），則ACDB；（填“＝”或“≠”）【深入研究】如圖2，現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置．（3）若點M、N均為線段OC的圓周率點，求線段MN的長度．（4）在圖2中，若點D在射線OC上，且線段CD與圖中以O、C、D中某兩點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，直接寫出D點所表示的數．54．（2021秋?城關區(qū)期末）已知數軸上兩點A、B對應的數分別為﹣1、3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．（1）若點P為AB的中點，直接寫出點P對應的數；（2）數軸的原點右側是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為8？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；（3）現在點A、點B分別以每秒2個單位長度和每秒0.5個單位長度的速度同時向右運動，同時點P以每秒6個單位長度的速度從表示數1的點向左運動．當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點P所對應的數是多少？55．（2021秋?臨江市期末）如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角．（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（1）如圖1所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，則∠AOD垂角為和；（2）如果一個角的垂角等于這個角的補角的，求這個角的度數；（3）如圖2所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射線OC繞點O以9/s的速度逆時針旋轉，射線OD繞點O以6°/s的速度順時針旋轉，兩條射線OC、OD同時運動，運動時間為ts（0＜t＜20），試求當t為何值時，∠AOC和∠AOD互為垂角？56．（2020秋?青羊區(qū)校級期末）如果兩個角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個角互為“伙伴角”，其中一個角叫做另一個角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，則∠1和∠2互為“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．（1）如圖1，O為直線AB上一點，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，則∠AOE的“伙伴角”是；（2）如圖2，O為直線AB上一點，∠AOC＝30°，將∠BOC繞著點O以每秒1°的速度逆時針旋轉得∠DOE，同時射線OP從射線OA的位置出發(fā)繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，當射線OP與射線OB重合時旋轉同時停止，若設旋轉時間為t秒，求當t為何值時，∠POD與∠POE互為“伙伴角”；（3）如圖3，∠AOB＝160°，射線OI從OA的位置出發(fā)繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉，旋轉時間為t秒（0＜t＜），射線OM平分∠AOI，射線ON平分∠BOI，射線OP平分∠MON，問：是否存在t的值使得∠AOI與∠POI互為“伙伴角”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．57．（2020秋?新豐縣期末）如圖，已知數軸上點A表示的數為8，B是數軸上位于點A左側一點，且AB＝22，動點P從A點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）數軸上點B表示的數；點P表示的數（用含t的代數式表示）（2）若M為AP的中點，N為BP的中點，在點P運動的過程中，線段MN的長度是．（3）動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問多少秒時P、Q之間的距離恰好等于2？（4）動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問點P運動多少秒時追上點Q？58．（2020秋?香河縣期末）數軸上A點對應的數為﹣5，B點在A點右邊，電子螞蟻甲、乙在B分別以2個單位/秒、1個單位/秒的速度向左運動，電子螞蟻丙在A以3個單位/秒的速度向右運動．（1）若電子螞蟻丙經過5秒運動到C點，求C點表示的數；（2）若它們同時出發(fā)，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B點表示的數；（3）在（2）的條件下，設它們同時出發(fā)的時間為t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．59．（2020秋?龍巖期末）若點C在直線AB上，且AC＝2BC或BC＝2AC，我們就稱點C是點A，B的“倍分點”；若點A是點C，B的“倍分點”，同時點C是點A，B的“倍分點”，而點B不是點A，C的“倍分點”，我們就稱點A，C互為“伴生倍分點”．（1）數軸上點A表示數﹣1，點B表示數1，點C1，C2，C3，C4分別表示數﹣，0，2，3，那么點C1，C2，C3，C4中是點A，B的“倍分點”的是；（2）數軸上點M表示數﹣5，點N表示數15，點K是數軸上一點，點K表示數x；若點K在點N的左側，且點K是點M，N的“倍分點“，求數x；若點K在點N的右側，則點M，N，K中，是否存在”伴生倍分點”？若存在，求出數x；若不存在，請說明理由．60．（2021秋?陽谷縣期末）如圖，P是線段AB上一點，AB＝12cm，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上），運動的時間為ts．（1）當t＝1時，PD＝2AC，請求出AP的長；（2）當t＝2時，PD＝2AC，請求出AP的長；（3）若C、D運動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請求出AP的長；（4）在（3）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的長．

猜想05與數軸、線段、角有關的復雜應用題（解答60題專練）一．解答題（共60小題）1．（2022秋?重慶期末）閱讀理解：M、N、P為數軸上三點，若點P到M的距離是點P到N的距離的k（k＞0）倍，即滿足PM＝k．PN時，則稱點P關于M、N的“相對關系值”為k．例如，當點M、N、P表示的數分別為0、2、3時，PM＝3PN，則稱點P關于M、N的“相對關系值”為3；PN＝MN，則稱點N關于P、M的“相對關系值”為．如圖，點A、B、C、D在數軸上，它們所表示的數分別為﹣1、2、6、﹣6．（1）原點O關于A、B的“相對關系值“為a，原點O關于B、A的“相對關系值”為b，則a＝，b＝2．（2）點E為數軸上一動點，點E所表示的數為x，若x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，且點E關于C、D的“相對關系值”為k，則k的取值范圍是≤k≤3．（3）點F從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒，當經過t秒時，C、D、F三點中恰有一個點關于另外兩點的“相對關系值”為2，求t的值．【分析】（1）根據“相對關系值”的定義解答即可；（2）由x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，求出x的取值范圍，再確定|EC|和|ED|的取值范圍，根據確定k的取值范圍；（3）設F點表示的數為y，分點C關于另外兩點的“相對關系值”為2，點D關于另外兩點的“相對關系值”為2，分點F關于另外兩點的“相對關系值”為2共6種情況，分別算出y的值，再求出t即可．【解答】解：（1）由題可知，|OA|＝1，|OB|＝2∵原點O關于A、B的“相對關系值“為a，∴|OA|＝a|OB|，即1＝2a，解得：a＝，∵原點O關于B、A的“相對關系值”為b，∴|OB|＝b|OA|，即2＝b×1，解得：b＝2，故答案為：，2；（2）由題意可得，|EC|＝|x﹣6|，|ED|＝|x+6|，∵x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，∴，解得：﹣3≤x≤2，∴4≤|EC|≤9，3≤|ED|≤8，∵點E關于C、D的“相對關系值”為k，∴，∴≤k≤3，故答案為：≤k≤3；（3）設點F表示的數為y，①若|FC|＝2|FD|，|6﹣y|＝2|y+6|，解得：y＝﹣2或﹣18，∴t＝＝4或t＝＝20，②若|FD|＝2|FC|，|y+6|＝2|6﹣y|，解得：y＝2（舍去，與點B重合）或﹣18，③若|CF|＝2|CD|，|6﹣y|＝24，解得：y＝﹣18或30（舍去），④若|CD|＝2|CF|，12＝2|6﹣y|，解得：y＝0或12（舍去），∴t＝＝2，⑤若|DC|＝2|DF|，12＝2|y+6|，解得：y＝0或﹣12，∴t＝＝14，⑥若|DF|＝2|DC|，|y+6|＝24，解得y＝﹣30或18（舍去），∴t＝，綜上，t＝4或20或2或14或32．【點評】本題考查了一元一次方程在數軸上的動點問題中的應用，理清題中的數量關系并正確列式是解題的關鍵．2．（2022秋?望城區(qū)期末）已知x＝﹣3是關于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的條件下，已知線段AB＝6cm，點C是線段AB上一點，且BC＝kAC，若點D是AC的中點，求線段CD的長．（3）在（2）的條件下，已知點A所表示的數為﹣2，點B所表示的數為4，有一動點P從點A開始以2個單位長度每秒的速度沿數軸向左勻速運動，同時另一動點Q從點B開始以4個單位長度每秒的速度沿數軸向左勻速運動，當時間為多少秒時，有PD＝2QD？【分析】（1）把x＝﹣3代入方程，即可求出k；（2）先求出AC的長，再求出CD的長即可；（3）設經過x秒時，有PD＝2QD．分別表示出x秒時P與Q在數軸上表示的數，分兩種情況進行討論：①D在PQ之間；②Q在PD之間．【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，解得：k＝2；（2）當k＝2時，BC＝2AC，AB＝6cm，∴AC＝2cm，BC＝4cm，當C在線段AB上時，如圖，∵D為AC的中點，∴CD＝AC＝1cm．即線段CD的長為1cm；（3）在（2）的條件下，∵點A所表示的數為﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，∴D點表示的數為﹣1，B點表示的數為4．設經過x秒時，有PD＝2QD，則此時P與Q在數軸上表示的數分別是﹣2﹣2x，4﹣4x．分兩種情況：①當點D在PQ之間時，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝；②當點Q在PD之間時，∵PD＝2QD，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝．答：當時間為或秒時，有PD＝2QD．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，兩點間的距離公式，理解題意利用數形結合分情況進行討論是解此題的關鍵．也考查了一元一次方程的解，線段的中點等知識．3．（2022秋?達川區(qū)期末）數軸是數學學習的一個很重要的工具，利用數軸可以將數與形完美結合．研究數軸我們可發(fā)現許多重要的規(guī)律：①絕對值的幾何意義：一般地，若點A、點B在數軸上表示的數分別為a，b，那么A、B兩點之間的距離表示為|a﹣b|，記作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|則表示數3和1在數軸上對應的兩點之間的距離；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示數3和﹣1在數軸上對應的兩點之間的距離；②若數軸上點A、點B表示的數分別為a、b，那么線段AB的中點M表示的數為．請借用數軸和以上規(guī)律解決下列問題：如圖，已知數軸上有A、B兩點，分別表示的數為﹣10，6，點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒1個單位長度從點B出發(fā)沿數軸向左勻速運動，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）A、B兩點的距離為16個單位長度；線段AB的中點M所表示的數為﹣2；（2）點P運動t秒后所在位置的點表示的數為﹣10+2t；點Q運動t秒后所在位置的點表示的數為6﹣t．（用含t的式子表示）（3）P、Q兩點經過多少秒會相距5個單位長度？（4）在點P、Q運動過程中，O、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點時，直接寫出此時t的值．【分析】（1）利用數軸上兩點之間的距離公式，數軸上線段的中點計算公式可得答案；（2）數軸上點向右移動終點對應的數等于起點對應的數加上移動距離，數軸上點向左移動終點對應的數等于起點對應的數減去移動距離，從而可得答案；（3）由t秒后，點P表示的數﹣10+2t，點Q表示的數為6﹣t，表示PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，再構建絕對值方程，再解方程即可；（4）分①當0＜t≤5時，O是線段PQ的中點，②當5＜t≤時，P為線段OQ的中點，③當＜t≤6時，Q為線段OP的中點，④當6＜t≤8時，O為線段PQ的中點，再利用中點對應的數的計算方法構建方程，再解方程即可．【解答】解：（1）A、B兩點的距離為6﹣（﹣10）＝16；線段AB的中點M所表示數為．故答案為：16，﹣2；（2）點P運動t秒后所在位置的點表示的數為﹣10+2t；點Q運動t秒后所在位置的點表示的數為6﹣t．故答案為：﹣10+2t，6﹣t；（3）∵t秒后，點P表示的數﹣10+2t，點Q表示的數為6﹣t，∴PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，又P、Q兩點相距5個單位長度，∴|3t﹣16|＝5，解得：或t＝7，∴P、Q兩點經過s或7s時相距5個單位長度；（4）①當O是線段PQ的中點，且P點在原點左側，Q點在原點右側，此時0＜t≤5，由題意得，解得t＝4．②當P為線段OQ的中點，P點在原點和Q點之間，當P、Q兩點重合時，2t+t＝6﹣（﹣10），即t＝，∴此時5＜t≤，由題意得，解得；③當Q為線段OP的中點，Q點在原點和P點之間，此時＜t≤6，由題意得，解得；④當O為線段PQ的中點，且Q點在原點左側，P點在原點右側，此時t＞6，由題意得，解得t＝4（不合題意，舍去），綜上所述：t＝4或或．【點評】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，數軸上的動點問題，數軸上線段的中點對應的數的計算方法，熟練的構建方程解題是關鍵．4．（2022秋?黃陂區(qū)校級期末）如圖，數軸上A、B兩點表示的有理數分別為a、b，（a+1）2與|a﹣b+10|互為相反數．線段CD在數軸上從A點左側（D最開始與A重合）沿數軸正方向勻速運動（點C在點D的左側），點M，N分別為AC，BD的中點．（1）求AB的長；（2）當CD等于2時，判斷MN的長度是否為定值，若是求出這個值，若不是，請說明理由；（3）設CD＝m，線段CD運動的速度為2個單位長度每秒，則在運動過程中，線段CD從開始運動到完全通過線段MN的時間為5+m（用含m的式子表示）．【分析】（1）由題意可直接得到A，B兩點表示的有理數分別為﹣6和4，即可求解AB；（2）設AC＝k，則BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，由點M、N分別為AC、BD的中點，可得出CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，所以MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）思路和過程同（1）中過程，可直接求出DC走的路程，根據速度可求出運動時間．【解答】解：（1）∵（a+1）2與|a﹣b+10|互為相反數，∴（a+61）2+|a﹣b+10|＝0，∵（a+1）2≥0，|a﹣b+10|≥0，∴，∴，∴A，B兩點表示的有理數分別為﹣1和9，∴AB＝9﹣（﹣1）＝10；（2）MN的長度是定值，設AC＝k，則BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，∵點M、N分別為AC、BD的中點，∴CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，∴MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（3）當點C到達點B時，則CD完全通過MN，∴CD走的路程為10+2m，∴CD運動的時間為＝5+m，故答案為：5+m．【點評】本題主要考查數軸上點的運動，掌握線段的和差運算，線段中點的定義等內容，根據圖形得出線段之間的和差關系是解題的關鍵．5．（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，已知點A，B，C是數軸上三點，O為原點，點C對應的數為3，BC＝2，AB＝6．（1）求點A，B對應的數；（2）動點M，N分別同時從AC出發(fā)，分別以每秒3個單位和1個單位的速度沿數軸正方向運動．P為AM的中點，Q在CN上，且CQ＝CN，設運動時間為t（t＞0）．①求點P，Q對應的數（用含t的式子表示）；②t為何值時OP＝BQ．【分析】（1）根據點C所表示的數，以及BC、AB的長度，即可寫出點A、B表示的數；（2）①根據數軸的特點求得點P、Q對應的數（用含t的式子表示）；②根據OP＝BQ列出關于t的方程并解方程即可．【解答】解：（1）∵點C對應的數為3，BC＝2，∴點B對應的數為3﹣2＝1，∵AB＝6，∴點A對應的數為1﹣6＝﹣5．（2）①∵動點M，N分別同時從A、C出發(fā)，分別以每秒3個單位和1個單位的速度沿數軸正方向運動，且運動時間為t∴AM＝3t，CN＝t∵P為AM的中點，Q在CN上，且CQ＝CN，∴AP＝t，CQ＝t∵點A對應的數為﹣5，點C對應的數為3∴點P對應的數為﹣5+t，點Q對應的數為3+t．②∵OP＝BQ．∴|0﹣（﹣5+t）|＝|3+t﹣1|．解得：t＝或t＝6．【點評】本題考查一元一次方程的應用、數軸等知識，解題的關鍵是理解數軸的定義，在原點左邊的數表示負數，原點表示0，原點右邊的數表示正數，學會利用方程解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀理解：若A、B、C為數軸上三點，點C到A的距離是點C到B的距離2倍，我們就稱點C是[A，B]的好點．例如，如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為2．表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是[A，B]的好點．知識運用：如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4．（1）線段MN上存在一點是[M，N]的好點，則此點表示的數是2；（2）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻P從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當運動時間t為何值時，點P、A、B中恰有一個點為其余兩點的好點？（3）在（2）條件下，若點P到達A點后繼續(xù)向左運動，當P為[B，A]的好點時，請直接寫出線段PB的長及此時點P表示的數．【分析】（1）根據好點的定義解答即可；（2）分四種情況：當P為[A，B]好點時，當P為[B，A]好點時，當A為[B，P]好點時，當B為[A，P]好點時，分別列方程即可；（3）當P為[B，A]的好點時，PB＝2PA，可得2t＝2|60﹣2t|，再解方程即可．【解答】解：（1）設此點表示的數是x，則（x+2）＝2（4﹣x），解得x＝2，故答案為：2；（2）t秒時，點P表示的數是40﹣2t，①當P為[A，B]好點時，PA＝2PB，∴40﹣2t+20＝2×2t，解得t＝10；②當P為[B，A]好點時，PB＝2PA，∴2（40﹣2t+20）＝2t，解得t＝20；③當A為[B，P]好點時，AB＝2AP，∴60＝2（60﹣2t），解得t＝15；④當B為[A，P]好點時，AB＝2PB，∴60＝2×2t，解得t＝15．綜上，當t的值是10或20或15時，點P、A、B中恰有一個點為其余兩點的好點；（3）當P為[B，A]的好點時，PB＝2PA，∴2t＝2|60﹣2t|，解得t＝20或60，當t＝60時，PB＝2t＝120，點P表示的數是40﹣2t＝﹣80；當t＝20時，PB＝2t＝40，點P表示的數是40﹣2t＝0；綜上，當t＝60時，PB＝120，點P表示的數是﹣80或0．【點評】本題考查一元一次方程是實際應用，找到等量關系列出方程是解題關鍵，注意要分類討論．7．（2022秋?武漢期末）已知線段AB＝30cm（1）如圖1，點P沿線段AB自點A向點B以2cm/s的速度運動，同時點Q沿線段點B向點A以3cm/s的速度運動，幾秒鐘后，P、Q兩點相遇？（2）如圖1，幾秒后，點P、Q兩點相距10cm？（3）如圖2，AO＝4cm，PO＝2cm，當點P在AB的上方，且∠POB＝60°時，點P繞著點O以30度/秒的速度在圓周上逆時針旋轉一周停止，同時點Q沿直線BA自B點向A點運動，假若點P、Q兩點能相遇，求點Q的運動速度．【分析】（1）設經過t秒點P、Q兩點能相遇，由題意得：P點t秒的運動距離+Q點t秒的運動距離＝30cm，根據題意可得方程；（2）設經過xs，P、Q兩點相距10cm，分相遇前和相遇后兩種情況建立方程求出其解即可；（3）由于點P，Q只能在直線AB上相遇，而點P旋轉到直線AB上的時間分兩種情況，所以根據題意列出方程分別求解．【解答】解：（1）設經過ts后，點P、Q相遇．依題意，有2t+3t＝30，解得：t＝6．答：經過6秒鐘后，點P、Q相遇；（2）設經過xs，P、Q兩點相距10cm，由題意得2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，解得：x＝4或x＝8．答：經過4秒鐘或8秒鐘后，P、Q兩點相距10cm；（3）點P，Q只能在直線AB上相遇，則點P旋轉到直線AB上的時間為：＝4（s）或＝10（s），設點Q的速度為ycm/s，則有4y＝30﹣2，解得：y＝7；或10y＝30﹣6，解得y＝2.4，答：點Q的速度為7cm/s或2.4cm/s．【點評】此題考查的知識點是一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，熟練掌握速度、路程、時間的關系．8．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在數軸上點A表示的數為﹣20，點B表示的數為40，動點P從點A出發(fā)以每秒5個單位的速度沿正方向運動，動點Q從原點出發(fā)以每秒4個單位的速度沿正方向運動，動點N從點B出發(fā)以每秒8個單位的速度先沿負方向運動，到達原點后立即按原速返回，三點同時出發(fā)，當點N回到點B時，三點停止運動．（1）當運動時間為3秒時，點P、點N之間的距離是21單位．（2）當QN＝8個單位時，求三個點的運動時間．（3）嘗試借助上面數學問題的解題經驗，建立數軸完成下面的實際問題：碼頭C位于A，B兩碼頭之間，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船從A碼頭順流駛向B碼頭，乙船從C碼頭順流駛向B碼頭，丙船從B碼頭開往C碼頭后立即調頭返回B碼頭．已知甲船在靜水中的航速為5海里/時，乙船在靜水中的航速為4海里/時，丙船在靜水中的航速為8海里/時，水流速度為2海里/時，三船同時出發(fā)，每艘船都行駛到B碼頭停止．在整個運動過程中，是否存在某一時刻，這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等？若存在，請求出此時甲船離B碼頭的距離；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據路程＝速度×時間即可求解；（2）Q、N相遇的時間為秒，Q到B的時間為10秒，N到O的時間為5秒，N到B的時間為10秒．N到O前，P所表示的數為﹣20+5t；Q所表示的數為4t；N所表示的數為40﹣8t．分三種情況：①Q、N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分別根據QN＝8列出方程；（3）建立如圖所示的數軸A所表示的數為﹣20；C所表示的數為0；B所表示的數為40．分四種情況：①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根據這三艘船中的一艘恰好在另外兩船之間，且與兩船的距離相等列出方程．【解答】解：（1）三個動點運動t（0＜t＜5）秒時，則P、Q、N三點在數軸上所表示的三個數分別為﹣20+5t，4t，40﹣8t，當t＝3時，P、N兩點在數軸上所表示的三個數分別為﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16，∴PN＝16﹣（﹣5）＝21，故答案為：21；（2）Q、N相遇的時間為秒，Q到B的時間為10秒，N到O的時間為5秒，N到B的時間為10秒．N到O前，P所表示的數為﹣20+5t；Q所表示的數為4t；N所表示的數為40﹣8t．①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t＝，②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4，③Q、N相遇后，N到O后：P所表示的數為﹣20+5t；Q所表示的數為4t；N所表示的數為8（t﹣5），4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8，綜上所述：當QN＝8個單位時，三個點的運動時間t＝或4或8；（3）建立如圖所示的數軸A所表示的數為﹣20；C所表示的數為0；B所表示的數為40．甲到C的時間為秒，甲到B的時間為秒，乙到B的時間為秒，丙到C的時間為秒，丙到B的時間為秒，甲遇丙的時間為秒，乙遇丙的時間為秒，甲追乙的時間為20（舍），丙追甲的時間為（舍）．丙到C前，甲所表示的數為﹣20+7t；乙所表示的數為6t；丙所表示的數為4