人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題(原卷版+解析)

專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題的理解！【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)y=x2?2x+c（c為常數(shù)）在?1<x<4的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則cA．?5<c<4 B．0<c<1 C．?5<c<1 D．0<c<42．（2023春·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．若互異二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則這個(gè)互異二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．12 B．14 C．13．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′=n-4；m＜0時(shí)，n′=-n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（-2，3）的限變點(diǎn)是P2′（-2，-3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（

）A．?2≤n′≤2 B．1≤n′≤34．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)稱為“青竹點(diǎn)”．例如：點(diǎn)1,2、?2.5,?5……都是“青竹點(diǎn)”．顯然，函數(shù)y=x2的圖象上有兩個(gè)“青竹點(diǎn)”：0,0和(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)?jiān)跈M線上打“√”，不存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)打“×”．

①y=2x?1________；

②y=?x2+1________；

(2)若拋物線y=?12x2?m+1(3)若函數(shù)y=14x2+b?c+2x+a+c?3的圖象上存在唯一的一個(gè)“青竹點(diǎn)”，且當(dāng)?1≤b≤25．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖像與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x?5(1)函數(shù)y=14x(2)當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，函數(shù)y=(1?a)x2?2(1?a)x+3(a≠0且a≠1)(3)已知點(diǎn)(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)y1=ax2+4ax+c(a>6．（2023春·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┒x：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)一定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式；(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），當(dāng)2≤x≤4時(shí)，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．7．（2023春·浙江·九年級(jí)期末）定義：若拋物線y1=a1x+?2+(1)已知拋物線y1=?14x(2)如圖1，將一副邊長為42的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，E，D的拋物線為y1，經(jīng)過A、B、C的拋物線為y2，請(qǐng)立接寫出y8．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)Ax1,0，B(1)求拋物線y=x(2)求拋物線y=x(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y=x2+4?mtx?4mt的雅禮弦長為l1，拋物線y=?x2+t?nx+nt的雅禮弦長為l2，s=l9．（2023春·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：(1)直接寫出函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)y=?x2+43mx?2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求((3)已知函數(shù)y=12(x?1)(x+4)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C110．（2023春·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2?bx+c（a≠0，任務(wù)：（1）寫出二次函數(shù)y=x（2）二次函數(shù)y=x2+3x?4的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和?4，它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)y=ax2+bx+c（（3）二次函數(shù)y=x2+bx?2021的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和?2021，請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)y=4【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝2．（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)1,1是函數(shù)y=?2x+3的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)y=x2+2(1)若點(diǎn)?1,?1是該二次函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求b的值；(2)若該二次函數(shù)始終存在不動(dòng)點(diǎn)，求b的取值范圍．3．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2(1)若k=2，則“和函數(shù)”y=；(2)若“和函數(shù)”y為y=x2+bx?2，則k=，(3)若該“和函數(shù)”y的頂點(diǎn)在直線y=?x上，求k．4．（2023·北京·模擬預(yù)測）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)Ax1,y1(1)①已知點(diǎn)A?2,1，則d②函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，dO,B=3(2)函數(shù)y=x2?5x+7x≥0的圖象如圖②所示，D是圖象上一點(diǎn)，求5．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┪覀兌x【a，b，c】為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”，如：函數(shù)y=2x2(1)若一個(gè)函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，?4，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；(2)將“特征數(shù)”是【0，?33，(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線x=?3分別交于D、C兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、B、C、D(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，?2b，b2+16．（2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谀┒x：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x?1，它的相關(guān)函數(shù)為y=(1)已知點(diǎn)A（-2，1）在一次函數(shù)y=ax?3的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求a的值．(2)已知二次函數(shù)y=?x2+4x?12．當(dāng)點(diǎn)B（m7．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形M與圖形N互為“雙聯(lián)圖形”，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”．(1)若直線y=?x+b與拋物線y=x2+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=?x+b不是雙曲線y=(2)如圖2，已知A?2,0，B4,0，C1,3三點(diǎn)．若二次函數(shù)y=ax+128．（2023春·北京·九年級(jí)北京市第三中學(xué)校考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）①點(diǎn)A（1，3）的“坐標(biāo)差”為；②拋物線y＝﹣x2+3x+3的“特征值”為；（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為1，點(diǎn)B（m，0）與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年級(jí)人大附中?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M>0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1?4<x≤2(2)已知函數(shù)y=2x2+bx+c(3)將函數(shù)y=2x2?1≤x≤k,k≥0的圖象向下平移k個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，直接寫出k10．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校考期中）若定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“明德函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“明德點(diǎn)”，例如：“明德函數(shù)”y=x+1，其“明德點(diǎn)”為（1，2）．(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3__________“明德函數(shù)”（填“是”或“不是”）；②函數(shù)y=x(2)若拋物線y=m?1x2(3)若函數(shù)y=x2+(m?k+2)x+n4?k2的圖像上存在唯一的一個(gè)“明德點(diǎn)”，且當(dāng)【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·四川綿陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)C2,0，則互異二次函數(shù)y=x?m2?m與正方形OABC有交點(diǎn)時(shí)m的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．5?172，-1 C．4，0 D．2．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對(duì)稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請(qǐng)寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B′、C′，連接BC、CC′、①當(dāng)四邊形BB′C②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．3．（2023春·北京門頭溝·九年級(jí)大峪中學(xué)校考期中）定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點(diǎn)Pa,b和拋物線y=x2+ax+b，我們稱Pa,b是拋物線y=x2+ax+b的相伴點(diǎn)，拋物線y=x（1）點(diǎn)A的相伴拋物線的解析式為______；過A，B兩點(diǎn)的拋物線y=x（2）設(shè)點(diǎn)Pa,b在直線AC①點(diǎn)Pa,b的相伴拋物線的頂點(diǎn)都在同一條拋物線Ω上，求拋物線Ω②當(dāng)點(diǎn)Pa,b的相伴拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出a4．（2023春·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義：如圖1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上(P點(diǎn)與A．B兩點(diǎn)不重合)，如果△ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一邊是另一邊2（1）命題：P(0，3)是拋物線y=?x（2）如圖2，已知拋物線C:y=ax2+bx(a<0)（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線C上，求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點(diǎn)(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo)．5．（2023·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線y=-23（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．6．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：在線段MN上存在點(diǎn)P、Q將線段MN分為相等的三部分，則稱P、Q為線段MN的三等分點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，且A、C為線段MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊）．（1）直接寫出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，試求此二次函數(shù)的解析式；②過點(diǎn)A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點(diǎn)，在此拋物線O、C之間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF交OC于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)P使得AP＝BE？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？若不存在，試說明理由；（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動(dòng)到△O'A'B'（點(diǎn)A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當(dāng)S＝387．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）求點(diǎn)A（2，1）的“坐標(biāo)差”和拋物線y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函數(shù)＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式．（3）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求p的取值范圍．8．（2023·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．（1）初步嘗試如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，請(qǐng)將它分成兩個(gè)三角形，使它們成為偏等積三角形．（2）理解運(yùn)用如圖2，已知△ACD為直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD為邊向外作正方向ACFB和正方形ADGE，連接BE，求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形．（3）綜合探究如圖3，二次函數(shù)y=12x2–32x–5的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)D，使△ABC與△ABD是偏等積三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)9．（2023春·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我們給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果一條拋物線平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點(diǎn)，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線．如下圖，拋物線F2都是拋物線F1的過頂拋物線，設(shè)F1的頂點(diǎn)為A，F(xiàn)2的對(duì)稱軸分別交F1、F2于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．（1）如圖1，如果拋物線y=x2的過頂拋物線為y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，那么四邊形ABCD為（）A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如圖2，拋物線y=ax2+c的過頂拋物線為F2，B（2，c－1）．求四邊形ABCD的面積．（3）如果拋物線y=13x2?10．（2023春·江西贛州·九年級(jí)校考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝m交于點(diǎn)A、C（點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊）將拋物線y＝ax2+bx+c沿直線y＝m翻折，翻折前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D．我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形ABCD稱為驚喜四邊形，對(duì)角線BD與AC之比稱為驚喜度（Degreeofsurprise），記作|D|＝（1）圖①是拋物線y＝x2﹣2x﹣3沿直線y＝0翻折后得到驚喜線．則點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，驚喜四邊形ABCD屬于所學(xué)過的哪種特殊平行四邊形，|D|為（2）如果拋物線y＝m(x?1)2（3）如果拋物線y＝(x?1)2﹣6m沿直線y＝m翻折后所得的驚喜線在m﹣1≤x≤m+3時(shí)，其最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為16，求m的值并直接寫出驚喜度|D|．專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題的理解！【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)y=x2?2x+c（c為常數(shù)）在?1<x<4的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則cA．?5<c<4 B．0<c<1 C．?5<c<1 D．0<c<4【答案】D【分析】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點(diǎn)在直線y=2x上，由?1<x<4可得二倍點(diǎn)所在線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點(diǎn)求解．【詳解】解：由題意可得二倍點(diǎn)所在直線為y=2x，將x=?1代入y=2x得y=?2，將x=4代入y=2x得y=8，設(shè)A(?1,?2)，B(4,8)，如圖，聯(lián)立y=2x與y=x2?2x+c即x∵拋物線與直線y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=4解得c<4，當(dāng)直線x=?1和直線x=4與拋物線交點(diǎn)在點(diǎn)A，B上方時(shí)，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，把x=?1代入y=x2?2x+c把x=4代入y=x2?2x+c∴3+c>?28+c>8解得c>0，∴0<c<4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．2．（2023春·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．若互異二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則這個(gè)互異二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．12 B．14 C．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸和互異二次函數(shù)的特點(diǎn)計(jì)算即可；【詳解】由題可知：此函數(shù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，且對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），設(shè)此函數(shù)為y=ax∴?b2a=1∴此函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為14故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′=n-4；m＜0時(shí)，n′=-n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（-2，3）的限變點(diǎn)是P2′（-2，-3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（

）A．?2≤n′≤2 B．1≤n′≤3【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時(shí)，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3時(shí)，得到-2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0時(shí)，得到-2≤n′≤3，即可得到限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時(shí)，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，-2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴當(dāng)-1≤m＜0時(shí)，-2＜n′≤3，綜上，當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是-2≤n′≤3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．4．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)稱為“青竹點(diǎn)”．例如：點(diǎn)1,2、?2.5,?5……都是“青竹點(diǎn)”．顯然，函數(shù)y=x2的圖象上有兩個(gè)“青竹點(diǎn)”：0,0和(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)?jiān)跈M線上打“√”，不存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)打“×”．

①y=2x?1________；

②y=?x2+1________；

(2)若拋物線y=?12x2?m+1(3)若函數(shù)y=14x2+b?c+2x+a+c?3的圖象上存在唯一的一個(gè)“青竹點(diǎn)”，且當(dāng)?1≤b≤2【答案】(1)×；√；×(2)m<3(3)c=【分析】（1）根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于m的不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）解：①令2x?1=2x，方程無解，∴函數(shù)y=2x?1圖像上不存在“青竹點(diǎn)”，故答案為：×；②令?x解得：x1=?1+2∴函數(shù)y=?x2+1圖像上存在“青竹點(diǎn)”?1+③令x2∴函數(shù)y=x（2）解：由題意得?1整理，得x2∵拋物線y=?12x∴Δ=解得m<3；（3）解：由題意得1整理，得x∵函數(shù)y=1∴Δ整理，得a=∴當(dāng)b=c時(shí)，a的最小值為3?c，∵當(dāng)?1≤b≤2時(shí)，a的最小值為c，∴3?c=c∴c=3【點(diǎn)睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．5．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖像與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x?5(1)函數(shù)y=14x(2)當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，函數(shù)y=(1?a)x2?2(1?a)x+3(a≠0且a≠1)(3)已知點(diǎn)(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)y1=ax2+4ax+c(a>【答案】(1)y=3(2)a=1(3)當(dāng)m=?4或m=0時(shí)，p=q；當(dāng)m<?4或m>0時(shí)，p>q【分析】（1）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=1（2）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=(1?a)x（3）先根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y1=ax2+4ax+c的友好同軸二次函數(shù)，再把兩點(diǎn)代入p,q【詳解】（1）設(shè)友好同軸二次函數(shù)為y=ax由函數(shù)y=1對(duì)稱軸為直線x=??22×14=4∴a=1?14=34∴b=?6，∴友好同軸二次函數(shù)為y=3（2）由函數(shù)y=(1?a)x2?2(1?a)x+3該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=ax①當(dāng)a>0時(shí)，x=4時(shí)，ymax解得：a=1②當(dāng)a<0時(shí)，x=1時(shí)，ymax解得：a=?2；綜上所述，a=1（3）由函數(shù)y1該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y2把(m,p),(m,q)分別代入y1p=am2+4am+c則p?q=am∵a>1∴(2a?1)>0，①當(dāng)p?q>0時(shí)，p>q，即(2a?1)mm2解得：m<?4或②當(dāng)p?q<0時(shí)，p<q，即(2a?1)mm2解得：?4<m<0；③當(dāng)p?q=0時(shí)，p=q，即(2a?1)mm2解得：m=?4或綜上所述，當(dāng)m=?4或m=0時(shí)，當(dāng)m<?4或m>0時(shí)，當(dāng)?4<m<0時(shí)，p<q．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及新定義問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及研究手段，準(zhǔn)確根據(jù)題意求出符合要求的友好同軸二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┒x：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)一定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式；(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），當(dāng)2≤x≤4時(shí)，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．【答案】(1)是定弦拋物線，理由見解析(2)y=?3(3)b＝﹣4或?【分析】（1）令y＝0，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷；（2）分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對(duì)稱軸可求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，用相似求出與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得答案；（3）根據(jù)對(duì)稱軸和所給范圍分情況討論即可．【詳解】（1）解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，則|x1-x2|＝4，即該拋物線是定弦拋物線；（2）：當(dāng)該拋物線開口向下時(shí)，如圖所示．∵該定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，設(shè)C則n?m解得：m∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED為直角三角形∴由題意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，3）設(shè)該定弦拋物線表達(dá)式為y=把E（0，3）代入求得a∴該定弦拋物線表達(dá)式為y=?當(dāng)該拋物線開口向上時(shí)，同理可得該定弦拋物線表達(dá)式為y=∴綜上所述，該定弦拋物線表達(dá)式為y=?33（3）解：若?b2≤2，則在2≤當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最小值．∴l(xiāng)6+4b+c-(4+2b+c)＝?b解得：b＝﹣4，∵?b∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若2≤?b2≤3，則在2≤當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝?b∴16+4b+c﹣4c?b解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤?b∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若3<?b2≤4，則在2≤當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝?b∴4+2b+c﹣4c?b解得：b＝﹣5±17∵3<?b∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5±17若?b2＞4，則在2≤當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝?b解得：b＝-283∵?b∴b＜﹣8，∴b＝﹣283∴綜上所述b＝﹣4或?28【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，包括與x軸交點(diǎn)問題，最值問題，以及和相似的結(jié)合，準(zhǔn)確地理解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·九年級(jí)期末）定義：若拋物線y1=a1x+?2+(1)已知拋物線y1=?14x(2)如圖1，將一副邊長為42的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，E，D的拋物線為y1，經(jīng)過A、B、C的拋物線為y2，請(qǐng)立接寫出y【答案】(1)y(2)y1=?18x2+8【分析】（1）將y2=x2?2x?3化作頂點(diǎn)式，可求出a2，?和k2的值，根據(jù)“共軛拋物線”的定義可求出a（2）根據(jù)七巧板各個(gè)圖形之間的關(guān)系可求出各個(gè)圖形的邊長，進(jìn)而可表示點(diǎn)A，B，C，D，E的坐標(biāo)，分別求出y1和y【詳解】（1）解：y2∴a2=1，?=?1，∵拋物線y1=?1∴a1=a2?4y1（2）解：如圖，由題意得，DF=AF=42，則AG=GF=DG=GF=4，EG=2，HG=2，BC=4，OF=2∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴BO=OC=2，∴B?2,0，C2,0，A?4,6，D∴可設(shè)拋物線y1=a∴?16a1+6=8，?4+2?4?2a∴拋物線y1拋物線y2∴a1=?18，?=0，k1=8，∵?18×∴滿足a2=?4a∴y1、y【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的新定義類問題，主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，一般式及交點(diǎn)式三種方式的變換，熟知相關(guān)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．8．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)Ax1,0，B(1)求拋物線y=x(2)求拋物線y=x(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y=x2+4?mtx?4mt的雅禮弦長為l1，拋物線y=?x2+t?nx+nt的雅禮弦長為l2，s=l【答案】(1)4(2)2(3)m=2，n=2或m=4，n=1【分析】（1）根據(jù)定義求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求得AB=(n+1)2（3）根據(jù)題意，分別求得l1,l2，根據(jù)s=l12?l22，求得出s與t【詳解】（1）解：x2x?3x+1∴x1=3∴雅禮弦長AB=4；（2）x2+(n+1)x?1=0，∴AB=|x∵Δ=(n+1)2+4>0∴AB=(n+1∵1≤n<3，∴當(dāng)n=1時(shí)，AB最小值為22當(dāng)n=3時(shí)，AB最大值小于25∴22（3）由題意，令y=x∴x1+則l1同理l2s=(mt+4)∵m∴要不論t為何值，S≥0恒成立，即：(m由題意得：m2?1>0，解得：(mn?4)2≤0∵m，n為正整數(shù)，且m≠1，則m=2，n=2或m=4，n=1．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：(1)直接寫出函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)y=?x2+43mx?2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求((3)已知函數(shù)y=12(x?1)(x+4)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；(2)1(3)見解析【分析】（1）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；（2）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，根據(jù)負(fù)數(shù)奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，可得答案；（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A1，B1，C1，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．【詳解】（1）解：由y=x2-3x-2函數(shù)可知a1＝1，b1＝-3，c1＝?2．由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．函數(shù)y＝x2＋3x?2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝-x2-3x＋2；（2）由y=?x2+43mx?2與y＝x得?2n＝43m，?2＋解得n＝2，m＝?3．當(dāng)m＝2，n＝?3時(shí)，(m+n)2020＝（2?3）2020＝（?1）2020＝1；（3）∵當(dāng)y＝0時(shí)，12(x?1)(x+4)=0，解得x＝?1，∴A（?1，0），B（4，0）．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝12×（?4）＝-2，即C由點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（?4，0），C1（0，2）．設(shè)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y＝a(x+1)x?4，將C1解得a=?1∴過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y=?12而y=∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對(duì)新定義的理解能力．10．（2023春·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2?bx+c（a≠0，任務(wù)：（1）寫出二次函數(shù)y=x（2）二次函數(shù)y=x2+3x?4的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和?4，它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)y=ax2+bx+c（（3）二次函數(shù)y=x2+bx?2021的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和?2021，請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)y=4【答案】（1）y=x2?3x?4；（2）4和-1；互為相反數(shù)；（3）二次函數(shù)y=4x2?2bx?2021【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x（2）利用“親密函數(shù)”建立y=0時(shí)方程，解方程，得出“親密函數(shù)”與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，與原函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)比較，得出規(guī)律即可；（3）先將函數(shù)變形，發(fā)現(xiàn)與“親密函數(shù)”類似，根據(jù)原函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)得出“親密函數(shù)”與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用2x等于交點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出x得出所求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y=x2+3x?4故答案為：y=x（2）x2?3x?4=0，解得它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4和-1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（b2?4ac>0故答案為4和-1；互為相反數(shù)；（3）y=4x∵二次函數(shù)y=x2+bx?2021的圖像與x∴二次函數(shù)y=x2?bx?2021的圖像與x∴y=4x2?2bx?2021=2x2∴2x=-1,2x=2021，∴x=?12，∴二次函數(shù)y=4x2?2bx?2021的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)，仔細(xì)閱讀題目，抓住實(shí)質(zhì)，拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)和一元二次方程的根，利用“親密函數(shù)”變形得出新函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝【答案】y=【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)y=ax【詳解】解：由題意得﹣解得a∴函數(shù)y=ax2?3x+a+1故答案為：y=﹣【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義“本源函數(shù)”．2．（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)1,1是函數(shù)y=?2x+3的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)y=x2+2(1)若點(diǎn)?1,?1是該二次函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求b的值；(2)若該二次函數(shù)始終存在不動(dòng)點(diǎn)，求b的取值范圍．【答案】(1)1+3或(2)b≥?【分析】（1）根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)”定義，建立方程求解即可；（2）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義求出函數(shù)，再根據(jù)判別式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依題意把點(diǎn)?1,?1代入解析式y(tǒng)=x得?1=1?2b+2+b2，化簡得：（2）解：設(shè)點(diǎn)t,t是函數(shù)y=x則有t=t2+2∵關(guān)于t的方程有實(shí)數(shù)解，∴Δ=2b+32【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“不動(dòng)點(diǎn)”應(yīng)用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情況與判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解并利用新定義解決問題．3．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2(1)若k=2，則“和函數(shù)”y=；(2)若“和函數(shù)”y為y=x2+bx?2，則k=，(3)若該“和函數(shù)”y的頂點(diǎn)在直線y=?x上，求k．【答案】(1)x2(2)?5，?12．(3)k=3或?1．【分析】（1）將k=2代入函數(shù)y1=2kx+k中得出函數(shù)y1（2）y的解析式為y=y1+y2（3）先得出和函數(shù)y=y1+y2【詳解】（1）解：當(dāng)k=2時(shí)，y1∵函數(shù)y2=x∴y=4x+2+x故答案為：x2（2）解：∵函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2∴和函數(shù)y的解析式為y=y∵和函數(shù)y的解析式為y=x∴b=2k?2，k+3=?2，∴k=?5，b=?12，故答案為：?5，?12．（3）解：由題意得和函數(shù)為y=y=（∴和函數(shù)的頂點(diǎn)為（1?k∵和函數(shù)的頂點(diǎn)在y=?x上，∴?k整理得k2解得k1=3，故答案為：k=3或?1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·北京·模擬預(yù)測）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)Ax1,y1(1)①已知點(diǎn)A?2,1，則d②函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，dO,B=3(2)函數(shù)y=x2?5x+7x≥0的圖象如圖②所示，D是圖象上一點(diǎn)，求【答案】(1)①3，②1,2(2)3，2,1【分析】（1）①根據(jù)公式dA,B=x1?x2+y1?y2直接計(jì)算即可；②根據(jù)函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均非負(fù)，可得（2）函數(shù)y=x2?5x+7化為頂點(diǎn)式為：y=x?522+34，即可得y≥34，x≥0，根據(jù)點(diǎn)【詳解】（1）①∵A?2,1，O∴dO,A故答案為：3；②∵點(diǎn)B是函數(shù)y=?2x+40≤x≤2∵函數(shù)y=?2x+40≤x≤2∴xB≥0，yB∵dO,B∴0?x∴xB∵yB∴yB解得：xB∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：1,2，（2）函數(shù)y=x2?5x+7∴y=x?∵x≥0，點(diǎn)D是圖象上一點(diǎn)，∴yD≥34，∴dO,D∴dO,D∴dO,D∴當(dāng)xD=2時(shí)，dO,D∴yD∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：2,1，即最小值為3，D點(diǎn)坐標(biāo)為2,1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義的兩點(diǎn)間距離：dA,B5．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┪覀兌x【a，b，c】為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”，如：函數(shù)y=2x2(1)若一個(gè)函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，?4，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；(2)將“特征數(shù)”是【0，?33，(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線x=?3分別交于D、C兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、B、C、D(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，?2b，b2+1【答案】(1)【1，0，?2】(2)y=?(3)圖見解析；面積為2(4)?【分析】（1）由已知可知y=x2?4x+1（2）由已知可知函數(shù)為y=?33x?1（3）令x=0，求出A(0,?1)，B(0,1)，令x=?3，求出D?3，0，C（4）由已知可得y=x2?2bx+b2+12=【詳解】（1）解：∵函數(shù)的特征數(shù)是【1，?4，1】，∴函數(shù)為y=x將函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=x∴函數(shù)y=x2?2故答案為：【1，0，?2】．（2）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，?33，∴y=?3∵函數(shù)圖象向上平移2個(gè)單位，∴平移后函數(shù)為y=?3故答案為：y=?3（3）解：令x=0，則A(0,?1)，B(0,1∴AB=2，令x=?3，則D?3∴CD=2，AO=1,DO=3∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AO∴四邊形ABCD是菱形．S四邊形（4）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，?2b，b2∴y=x∴由函數(shù)圖象得：函數(shù)與AD邊無交點(diǎn)，∴函數(shù)與BC邊有交點(diǎn)，將B(0,1)代入函數(shù)y=x將C?3，2代入函數(shù)∴?3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合、新定義，函數(shù)的平移，理解定義，能將定義與所學(xué)函數(shù)知識(shí)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谀┒x：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x?1，它的相關(guān)函數(shù)為y=(1)已知點(diǎn)A（-2，1）在一次函數(shù)y=ax?3的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求a的值．(2)已知二次函數(shù)y=?x2+4x?12．當(dāng)點(diǎn)B（m【答案】(1)a=-1；(2)m=2-6或m=3或m=1．【分析】（1）函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)為y=?ax+3(x<0)ax?3(x≥0)，將點(diǎn)A（-2，1）代入y=-ax（2）當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12=52，可求得m的值；當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-(1)解：函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)為y=?ax+3(x<0)ax?3(x≥0)將點(diǎn)A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；(2)解：二次函數(shù)y=-x2+4x-12的相關(guān)函數(shù)為y=x①當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，52）代入y=x2-4x+12得m2-4m+12解得：m=2+6（舍去）或m=2-6；②當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，52）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12解得：m=3或m=1．綜上所述：m=2-6或m=3或m=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，理解互為相關(guān)函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形M與圖形N互為“雙聯(lián)圖形”，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”．(1)若直線y=?x+b與拋物線y=x2+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=?x+b不是雙曲線y=(2)如圖2，已知A?2,0，B4,0，C1,3三點(diǎn)．若二次函數(shù)y=ax+12【答案】(1)b的取值范圍是3(2)?3<a<?18【分析】（1）已知直線y=?x+b與拋物線y=x∴將y=?x+b代入拋物線y=xx配方得，(x+∵方程有實(shí)數(shù)解，∴b?34又直線y=?x+b不是雙曲線y=1∴直線y=?x+b與雙曲線y=1即當(dāng)x=1時(shí)，y=?x+b≤1代入得，?1+b≤1，即b≤2，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是34（2）∵y=ax+1∴a≠0∵二次函數(shù)y=ax+12+3∴當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)y=ax+12+3∴a>0不成立；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)y=ax+12+3∴①當(dāng)拋物線與AC和AB相交時(shí)，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得b=4k+b=3∴b=4k=?1∴y=-x+4，∵拋物線與BC不想交，∴ax+12+3=?x+4，即ax2+(2a+1)x∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<?1又當(dāng)x=?2時(shí)，要滿足y>0，相當(dāng)于a+3>0，所以a>?3；∴?3<a<?1②當(dāng)拋物線與AC和BC相交時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，要滿足y>0，相當(dāng)于25a+3>0，所以，a>?3∴?3綜上，a的取值范圍為：?3<a<?188．（2023春·北京·九年級(jí)北京市第三中學(xué)?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）①點(diǎn)A（1，3）的“坐標(biāo)差”為；②拋物線y＝﹣x2+3x+3的“特征值”為；（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為1，點(diǎn)B（m，0）與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②3?22或3+2【分析】（1）①由題中所給“坐標(biāo)差”的定義即可得到點(diǎn)A（1，3）的坐標(biāo)差.②由坐標(biāo)差的定義可得：二次函數(shù)y＝－x2＋3x＋4圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)差為：y－x＝－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4，將此關(guān)系式配方即可求得y－x的最大值，從而得到拋物線y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.（2）①由題意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.②由m＝－c可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－c，0），把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.（c≠0）的特征值為1可得：b?124+c=1，兩者即可解得b【詳解】解：（1）①根據(jù)圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，點(diǎn)A（1，3）的“坐標(biāo)差”為3－1＝2，故答案為2；②拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為－x2＋3x＋4－x－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，所以拋物線y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”為5.故答案為5；（2）①∵點(diǎn)C是此二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)，∴C（0，c）,∵B（m，0），點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等．∴c-0=0-m∴m=-c,故答案為：m＝－c.②∵m＝－c∴B（－c，0）將其代入y＝－x2＋bx＋c中，得－c2－bc＋c＝0∵c≠0∴－c－b＋1＝0∴b＝－c＋1①∴其“坐標(biāo)差”為：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.∴y－x＝－x2＋（b－1）x＋c=-[x-（b?12）]2+∵“特征值”為1.∴b?12將①代入②中，c解得c＝±22當(dāng)c=22?2，當(dāng)c=?22?2，【點(diǎn)睛】本題考查新定義“坐標(biāo)差”“特征值”，仔細(xì)閱讀，掌握新定義的特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，解題的解題關(guān)鍵是能夠正確利用題意進(jìn)行計(jì)算，正確利用“特征值”的定義計(jì)算．9．（2023春·北京·九年級(jí)人大附中?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M>0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1?4<x≤2(2)已知函數(shù)y=2x2+bx+c(3)將函數(shù)y=2x2?1≤x≤k,k≥0的圖象向下平移k個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，直接寫出k【答案】(1)7(2)2(3)0≤k≤12【分析】（1）先分別代入解析式，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)有界函數(shù)的定義確定邊界值即可．（2）根據(jù)新定義可得當(dāng)n?m最大時(shí)y=2x2+bx+c的頂點(diǎn)在y=?（3）分k>2，0≤k≤2兩種情況根據(jù)新定義分析即可．【詳解】（1）解：解析式為y=2x+1?4<x≤2當(dāng)x=?4時(shí)，y=2x+1=?8+1=?7；當(dāng)x=2時(shí)，y=2x+1=4+1=5；因?yàn)?7<y≤5，根據(jù)定義可得?7≤y≤7所以函數(shù)y=2x+1?4＜x≤2（2）解：∵函數(shù)y=2x∴y=2x如圖，當(dāng)n?m最大時(shí)，y=2x2+bx+c的頂點(diǎn)在y設(shè)y=2x當(dāng)y=3時(shí)，6=2x??解得：x=?±3∴n?m=?+3即n?m的最大值為23（3）解：∵函數(shù)y=2x2?1≤x≤k,k≥0所以解析式為y=2x當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值為y=?k，是函數(shù)的最小值，當(dāng)k>2時(shí)，函數(shù)值為y=?k<?2，所以邊界值t>2，與32所以k>2不成立；當(dāng)k≤2時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=2x2=0當(dāng)x=?1時(shí)，函數(shù)y=2當(dāng)函數(shù)向下平移k個(gè)單位后，兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?,?k，?1,2?k，∵函數(shù)的邊界值是t滿足32∴32≤2?k≤2解得0≤k≤12或故當(dāng)0≤k≤12或13+1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、有界函數(shù)的定義以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是理解新定義，列出不等式．10．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校考期中）若定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“明德函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“明德點(diǎn)”，例如：“明德函數(shù)”y=x+1，其“明德點(diǎn)”為（1，2）．(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3__________“明德函數(shù)”（填“是”或“不是”）；②函數(shù)y=x(2)若拋物線y=m?1x2(3)若函數(shù)y=x2+(m?k+2)x+n4?k2的圖像上存在唯一的一個(gè)“明德點(diǎn)”，且當(dāng)【答案】(1)①不是；②（2，4）(2)m>5+52或(3)k=?3?5【分析】（1）根據(jù)定義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)拋物線y=m?1x2+mx+1（3）若函數(shù)y=x2+(m?k+2)x+n4?k【詳解】（1）①∵2x=2x+3∴y=2x+3②根據(jù)定義2x=x解得：x1=2，∴明德點(diǎn)是（2，4）；（2）∵拋物線y=m?1∴2x=整理得：m?1x∵拋物線y=m?1∴Δ=即m?5解得：m>5+52∵m?1≠0∴m≠1∴m的取值范圍為m>5+52或（3）∵函數(shù)y=x∴2x=x2∴m?k即m?k2∴n=n是關(guān)于m的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為m=k，①若k≤?1，則當(dāng)m=?1，時(shí)，n有最小值k，∴?1?k2+2k=k解得：k=?3?52②若k≥3，則當(dāng)m=3時(shí)，n有最小值k，∴3?k2+2k=k∵Δ=∴方程沒有實(shí)數(shù)根；③若?1<k<3，則當(dāng)m=k時(shí)，n有最小值k，∴2k=k解得k=0，綜上可知：k=?3?52【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，將新定義與所學(xué)二次函數(shù)，一元二次方程的知識(shí)相結(jié)合，熟練掌握跟與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·四川綿陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)C2,0，則互異二次函數(shù)y=x?m2?m與正方形OABCA．4，-1 B．5?172，-1 C．4，0 D．【答案】D【分析】分別討論當(dāng)對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對(duì)稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)y=x?m2?m當(dāng)m≤0時(shí)，則當(dāng)A點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有m≤0m解得：?1≤m<0；當(dāng)0<m≤1時(shí)，則當(dāng)C點(diǎn)在拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有0<m≤12?m解得：0<m≤1；當(dāng)1<m≤2時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)位于拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有1<m≤2m解得：1<m≤2；當(dāng)m>2時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)在拋物線上或下方且B點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們才有交點(diǎn)，此時(shí)有m>2m解得：2<m≤5+綜上可得：m的最大值和最小值分別是5+172，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與正方形的交點(diǎn)問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點(diǎn)情況，并進(jìn)行分類討論，本題綜合性較強(qiáng)，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對(duì)學(xué)生的思維要求較高，本題蘊(yùn)含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對(duì)稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請(qǐng)寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B′、C′，連接BC、CC′、①當(dāng)四邊形BB′C②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝23；②34≤a≤1或﹣14≤【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；（2）先化成頂點(diǎn)式，再求“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式；（3）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由對(duì)稱軸求出點(diǎn)B'，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求a；②先由對(duì)稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后針對(duì)拋物線L開口的不同進(jìn)行分類討論．【詳解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），由y2＝﹣（x﹣1）2+2知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同軸對(duì)稱拋物線”的解析式為：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線x＝??4a∴點(diǎn)B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四邊形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝23②拋物線L的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1﹣4a），∵L與“同軸對(duì)稱拋物線”關(guān)于x軸對(duì)稱，∴整點(diǎn)數(shù)也是關(guān)于x軸對(duì)稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點(diǎn)可以是3個(gè)或5個(gè)，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)或3個(gè)，（i）當(dāng)a＞0時(shí)，∵L開口向上，與y軸交于點(diǎn)（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有4個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：34≤a（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，∵L開口向下，與y軸交于點(diǎn)（0，1），∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有3個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)x＝2時(shí)，1＜1﹣4a≤2，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，5a+1＜0，解得：?1綜上所述：34≤a≤1或﹣14≤a＜﹣【點(diǎn)睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找頂點(diǎn)坐標(biāo)，及新定義“同軸對(duì)稱拋物線”．3．（2023春·北京門頭溝·九年級(jí)大峪中學(xué)?？计谥校┒x：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點(diǎn)Pa,b和拋物線y=x2+ax+b，我們稱Pa,b是拋物線y=x2+ax+b的相伴點(diǎn)，拋物線y=x（1）點(diǎn)A的相伴拋物線的解析式為______；過A，B兩點(diǎn)的拋物線y=x（2）設(shè)點(diǎn)Pa,b在直線AC①點(diǎn)Pa,b的相伴拋物線的頂點(diǎn)都在同一條拋物線Ω上，求拋物線Ω②當(dāng)點(diǎn)Pa,b的相伴拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出a【答案】（1）y=x2?2x?2，(?2，?10)；（2）①拋物線Ω的解析式為：【分析】（1）a=b=?2，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x-2，故答案為：y=x2-2x-2；將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；（2）①直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2，設(shè)點(diǎn)P（m，2m+2），則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+mx+2m+2，頂點(diǎn)為：（?12m，?1②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解．【詳解】解：（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達(dá)式為：y=x故答案為：y=x將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y=x4?2a+b=?216+4a+b=?2解得：a=?2，b=?10．故答案為：(?2，?10)；（2）①由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2，設(shè)點(diǎn)Pm，2m+2，則拋物線的表達(dá)式為：y=頂點(diǎn)為：?1令x=?12m則y=?即拋物線Ω的解析式為：y=?x②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，拋物線與直線AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E0,2當(dāng)y=?2時(shí)，即y=?x2故點(diǎn)F?2+2故0<x<?2+22，由①知：a=m=?2x故：4?42【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，這種新定義類題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解．4．（2023春·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義：如圖1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上(P點(diǎn)與A．B兩點(diǎn)不重合)，如果△ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一邊是另一邊2（1）命題：P(0，3)是拋物線y=?x（2）如圖2，已知拋物線C:y=ax2+bx(a<0)（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線C上，求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點(diǎn)(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo)．【答案】（1）假；（2）y=?13x2+【分析】（1）y=?x2+2x+3=0，則x=3或?1，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：(?1,0)（2）分PA=22PB、（3）SΔABQ=SΔABP，則點(diǎn)【詳解】解：（1）令y=?x2+2x+3=0，則x=3或?1，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：(?1,0)則PA=1+9=10則PA與PB兩條邊滿足其中一邊是另一邊的22故答案為：假；（2）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a+b=2，點(diǎn)A(0,0)，則點(diǎn)B(a?2a，0)，點(diǎn)則PA2=5①當(dāng)PA=22即5=8[4+(②當(dāng)PB=224+(解得：a=?13，則故拋物線的表達(dá)式為：y=?1（3）SΔABQ=SΔABP，則點(diǎn)函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=7則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(72，【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．5．（2023·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線y=-23（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-233x+233；（-2，23）；（1，0）；（2）N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23-3）或（【分析】（1）由“夢(mèng)想直線”的定義可求得其解析式，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可求得A,B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)“夢(mèng)想三角形”的定義，分當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)和當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)兩種情況討論即可.【詳解】解（1）由“夢(mèng)想直線”的定義得，拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為y=-233x+聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得y=?233x2∴A（-2，23），B（1，0），故答案為：y=-233x+23（2）當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形，如圖1，過A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD=2，在y=-233x2-43∴C（-3，0），且A（-2，23），∴AC=(?2+3)2+(2由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=13，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，當(dāng)ON=23+3時(shí)，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23-3）；當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如圖2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，∴∠DAM=60°，∵AD∥x軸，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=12MN=32，NP=32∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（32，3綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，23-3）或（32，3【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，翻折的性質(zhì)，勾股定理，正確的理解“夢(mèng)想直線”和“夢(mèng)想三角的定義是解決問題的關(guān)鍵.6．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：在線段MN上存在點(diǎn)P、Q將線段MN分為相等的三部分，則稱P、Q為線段MN的三等分點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，且A、C為線段MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊）．（1）直接寫出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，試求此二次函數(shù)的解析式；②過點(diǎn)A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點(diǎn)，在此拋物線O、C之間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF交OC于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)P使得AP＝BE？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？若不存在，試說明理由；（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動(dòng)到△O'A'B'（點(diǎn)A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當(dāng)S＝38【答案】（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣32x2+72x；②P的坐標(biāo)為：（15+2914，177+229【分析】（1）先求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)A、C為線段MN的三等分點(diǎn)，即可求解；（2）①設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝ax2+bx，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入上式即可求解；②設(shè)點(diǎn)P（m，﹣32m2+72m），AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12【詳解】解：（1）一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，令x=0，y=3，則M的坐標(biāo)為（0，3），令y=0，x=3，則N的坐標(biāo)為（3，0），由A、C為線段MN的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝ax2+bx，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入上式得：2=a+b1=4a+2b，解得：a=?故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣32x2+7②存在，理由：設(shè)點(diǎn)P（m，﹣32m2+7直線OC的表達(dá)式為：y＝12x，則點(diǎn)B（1，12），BE＝AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣32m2+72m﹣2）2＝化簡得：7m2﹣15m+7＝0，解得：m＝15±29故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（15+2914，（3）設(shè)直線A′O′交OC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)G，直線A′B′交OC于點(diǎn)R，交x軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)H作HE⊥A′B′于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)A向下平移m個(gè)單位向右平移m個(gè)單位得到A′（1+m，2﹣m），設(shè)直線O′A′的表達(dá)式為：y＝2x+b，將點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入上式并解得：直線O′A′的表達(dá)式為：y＝2x﹣3m①，故點(diǎn)G（3π2，0），則GK＝1+m﹣3π2＝1﹣直線OC的表達(dá)式為：y＝12聯(lián)立①②并解得：x＝2m，故點(diǎn)H（2m，m），則HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，點(diǎn)R（1+m，1+π2），則A′R＝2﹣m﹣12（m+1）＝S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝12×GK×A′K﹣12HE×A′R＝12（1﹣12m）（2﹣m）﹣12解得：m＝12故點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（32，3【點(diǎn)睛】本題是對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的綜合考查，難度較大，屬于中考?jí)狠S題.7．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．（1）求點(diǎn)A（2，1）的“坐標(biāo)差”和拋物線y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函數(shù)＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式．（3）如圖所示，二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求p的取值范圍．【答案】(1)-1,5;(2)y＝﹣x2+3x﹣2；(3)2＜p＜10.【分析】（1）1-2=-1，故“坐標(biāo)差”為-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”為5；（2）由題意得：點(diǎn)C（0，c），故點(diǎn)B、C的“指標(biāo)差”相等，故點(diǎn)B（-c，0），把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故拋物線的“特征值”為-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故4×(?1)c?c（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為：y=x+2，對(duì)于圖1，直線與矩形邊的交點(diǎn)為：（1，3），則對(duì)稱軸為：-?p2×(?1)=1，解得：p=2，對(duì)于圖2，把點(diǎn)E（7，3）代入y=-（x-m）【詳解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐標(biāo)差”為﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”為5；（2）由題意得：點(diǎn)C（0，c），且點(diǎn)B、C的“坐標(biāo)差”相等，故點(diǎn)B（﹣c，0），把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2