湖南省長沙市2025屆高三上學(xué)期10月階段考試數(shù)學(xué)針對性訓(xùn)練試題 含答案

湖南省長沙市2025屆高三10月階段考試針對性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．已知，且滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知展開式各項系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（

）A．31 B．30 C．29 D．286．若函數(shù)在上單調(diào)遞減且對任意滿足，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足．設(shè)點的軌跡為曲線，直線，若直線與曲線交于不同的兩點，是坐標(biāo)原點，且有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列的通項公式為：C．?dāng)?shù)列的前n項和為： D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，是的極大值點B．當(dāng)時，有三個零點C．若滿足，則D．當(dāng)時，若在上有最大值，則11．如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，體積為，平面，，為線段上一動點，為中點，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積和三棱錐的體積相等B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．四面體的外接球球心為，且外接球體積與之比的最小值是三、填空題12．已知點是橢圓上的一點，且以點及焦點，為頂點的三角形的面積等于2，則點的坐標(biāo)為．13．已知函數(shù)，若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為，則實數(shù)的值為.14．在甲?乙?丙?丁四人踢毽子游戲中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢給另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢給丙，則此毽子是由乙踢出的概率為；第次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為.四、解答題15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.(1)求；(2)若，，設(shè)為延長線上一點，且，求線段的長.16．如圖，在直角梯形中，，四邊形為菱形且，對角線和相交于點，平面平面，點為線段的中點.

(1)求證：平面；(2)若，求二面角的正弦值.17．設(shè)動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．18．已知函數(shù)．(1)證明：曲線是軸對稱圖形；(2)若函數(shù)在上有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．19．對于任意正整數(shù)n，進行如下操作：若n為偶數(shù)，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對不斷地除以2，直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；(2)已知.求m的值；(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項和為，證明：.湖南省長沙市2025屆高三10月階段考試針對性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題參考答案：題號12345678910答案AADCCDBCACDAC題號11答案ABD1．A【分析】解不等式求得集合，進而求得.【詳解】由解得，所以，而，所以.故選：A2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得復(fù)數(shù)，再平方，即可求解.【詳解】因為，故，故故選：A.3．D【分析】根據(jù)進行求解，得到答案.【詳解】因為，，所以在上的投影向量為.故選：D4．C【分析】代入二倍角公式，以及誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由條件可知，，而.故選：C5．C【分析】賦值法得到方程，求出，求出展開式通項公式，得到，，從而得到展開式中的系數(shù)為.【詳解】中令得，解得，展開式通項公式為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故展開式中的系數(shù)為.故選：C6．D【分析】的對稱軸為；結(jié)合單調(diào)性可得，然后求解即可.【詳解】因為，所以的對稱軸為，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，又因為，由對稱性可得，所以，，.故選：D7．B【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可得表達式，先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定m的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知，，因為，所以，又，所以，解得，由可得，所以，將的圖象向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，令，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，因為關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，即與的圖像在上有兩個交點，即與在上有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.8．C【分析】由可求得點軌跡為圓，取中點，根據(jù)向量線性運算可得，利用垂徑定理可求得的范圍，結(jié)合點到直線距離公式可構(gòu)造不等式求得的取值.【詳解】設(shè)，由得：，整理可得曲線，即點軌跡是以為圓心，為半徑的圓；設(shè)的中點為，則，，，，，解得：，是直線與圓的兩個不同交點，，即，，又，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線的距離所處的范圍，進而利用點到直線距離公式來構(gòu)造不等式求得結(jié)果.9．ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又因為當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選:ACD.10．AC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的形式討論導(dǎo)數(shù)的符號后可判斷A的正誤，再討論單調(diào)性后可判斷BD的正誤，根據(jù)題設(shè)中的恒等式可求的值，故可判斷C的正誤.【詳解】對于A，，當(dāng)時，或時，f′x<0；當(dāng)時，f′x故為的極大值點，故A正確；對于B，當(dāng)時，由A的分析同理可得：當(dāng)或時，f′x>0；當(dāng)時，f′故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，，故只有一個零點；對于C，，由題設(shè)可得恒成立，故即，故C正確.對于D，取，由B的分析可得：在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，而，，此時在無最大值，故選：AC.11．ABD【分析】根據(jù)錐體體積的計算公式可得兩個三棱錐高和底面積相等，即A正確；利用線面垂直判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面，可判斷B正確；當(dāng)與重合，可知，這與矛盾，因此C不成立；利用三棱錐性質(zhì)可求得外接球球心為的位置及其半徑與三棱錐棱長的關(guān)系即可求得與之比的最小值.【詳解】對于A，因為為中點，則，而兩個三棱錐高相等，故體積相等，A正確；對于B，因為平面，平面，所以，又，，平面，故平面，平面，故平面平面，過作，垂足為，如下圖所示：因為面平面，平面，故面，而面，故，若，則，而平面，故平面，又平面，故，故B正確.對于C，若與不重合，由平面，平面，可得；又是以為斜邊的直角三角形可知，又,平面，所以平面,又平面，所以，當(dāng)時，，平面，所以平面，又平面，可得，但若與重合，由于，若，，平面，所以平面，平面，故，這與矛盾，所以不成立，故與重合，滿足，但此時不成立，故C錯誤；對于D，由平面，平面，故，故，為外接球球心，且，，又，可以在以中點為圓心，為半徑的圓上運動，到的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故到的距離最大為，此時，故，D正確，故選：ABD.12．【分析】依題意可得，根據(jù)，求出，再代入橢圓方程求出橫坐標(biāo)，即可得解；【詳解】解：由已知，橢圓的焦距．因為的面積等于2，所以，解得．代入橢圓的方程，得，解得．所以點的坐標(biāo)是．故答案為：13．【分析】求導(dǎo)，即可根據(jù)切線斜率求解.【詳解】由可得，由于曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為，故，解得，故答案為：14．/【分析】根據(jù)條件概率公式之積可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢給乙，則第次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即可得概率的遞推公式，進而可得概率.【詳解】由已知接到前兩次踢出的毽子的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，?。?，（丙，甲），（丙，乙），（丙，?。?，（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共種，設(shè)事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到，則，，則；設(shè)第次踢出后，建子恰好踢給乙的概率為，易知若第次踢出后，建子恰好踢給乙，則第次踢出后，建子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，即，，且，則，即Pn?14是以則，即，故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意結(jié)合概率知識可得遞推公式，進而分析求解.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）利用正弦定理求出，即可求出，從而求出，再由銳角三角函數(shù)求出，即可求出.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，則.（2）在中，由正弦定理得∴，又，所以∴，∴，∵，則，又，即，所以，∴.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理即可證明得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得兩平面法向量即可得出二面角的正弦值.【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以是中點.連接，如下圖所示：

又為線段的中點，則，且.又且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則有.則，設(shè)平面的一個法向量為，則有，.令，得，故.設(shè)平面的一個法向量為，則有，.令，得，故.所以.所以二面角的正弦值為.17．(1)(2)為定值，且定值為【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離以及點到點的距離公式，即可列方程化簡求解，（2）由題意，設(shè)直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合條件求出即可．【詳解】（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時，綜上，為定值．

18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，即可說明曲線y=fx是軸對稱圖形；（2）首先求出，然后將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有三個交點，結(jié)合?x的圖象即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由函數(shù)，定義域為，則，因此可得，故函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于，即曲線y=fx（2）由，若函數(shù)在上有三個零點，則方程在上有三個實根，即在上有三個實根，令，則與?x的圖象在上有三個交點，又，當(dāng)或時，?′x<0則?x在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時，?′x>0，則?x又，，，，因此可得?x結(jié)合圖象，要使與?x的圖象在上有三個交點，則實數(shù)的取值范圍為.19．(1)2和5為兩個質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”(2)的值為12或18(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“理想數(shù)”概念，結(jié)合列舉法可解；（2）分析題意知道必為奇數(shù)，則必為偶數(shù)，結(jié)合整除知識得解；（3）將數(shù)列適當(dāng)放縮，后分組，結(jié)合等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】（1）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為，，故，所以為“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；和5為兩個質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；（2）由題設(shè)可知必為奇數(shù)，必為偶