《鐵鏈的長(zhǎng)度》導(dǎo)學(xué)案

《鐵鏈的長(zhǎng)度》導(dǎo)學(xué)案班次：組號(hào)：姓名：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)與能力目標(biāo)：能理解鐵鏈長(zhǎng)度問(wèn)題的原理，學(xué)會(huì)計(jì)算鐵鏈長(zhǎng)度，包括不同環(huán)數(shù)鐵鏈的長(zhǎng)度計(jì)算方法；過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)觀察、分析、討論鐵鏈結(jié)構(gòu)，找出計(jì)算鐵鏈長(zhǎng)度的規(guī)律，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在解決鐵鏈長(zhǎng)度問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)耐心細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用樂(lè)趣?！緦W(xué)法指導(dǎo)】預(yù)習(xí)探索、小組合作、實(shí)際操作、總結(jié)歸納【重、難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握鐵鏈長(zhǎng)度的計(jì)算方法，理解鐵鏈中每個(gè)環(huán)的長(zhǎng)度與連接部分的關(guān)系。難點(diǎn)：能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決不同形式的鐵鏈長(zhǎng)度問(wèn)題?！菊n前檢測(cè)】1、一個(gè)圓形鐵環(huán)，直徑是5厘米，它的周長(zhǎng)是多少？（圓周率取3.14）答案：根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=πd，這里d=5厘米，所以周長(zhǎng)C=3.14×5=15.7厘米。2、一根直鐵絲長(zhǎng)10厘米，如果把它彎成一個(gè)圓形，這個(gè)圓形的半徑大概是多少？（圓周率取3.14）答案：根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=2πr，這里C=10厘米，那么r=C÷(2π)=10÷(2×3.14)≈1.59厘米。3、有5個(gè)相同的小正方形，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為2厘米，如果把它們排成一排，總長(zhǎng)度是多少？答案：因?yàn)槊總€(gè)小正方形邊長(zhǎng)為2厘米，5個(gè)排成一排，總長(zhǎng)度就是5×2=10厘米?！局R(shí)鏈接】同學(xué)們，咱們先來(lái)講個(gè)小故事。我家的小院子里有個(gè)舊鐵鏈，我一直好奇它到底有多長(zhǎng)呢。這個(gè)鐵鏈?zhǔn)怯珊枚嘈¤F環(huán)連接起來(lái)的。有一天，我就想自己量一量，可是我發(fā)現(xiàn)直接量很麻煩，因?yàn)樗鼜潖澟づさ?。這時(shí)候我就想到，要是能有個(gè)數(shù)學(xué)方法直接算出來(lái)就好了。這就和我們今天要學(xué)的鐵鏈的長(zhǎng)度問(wèn)題有關(guān)啦。在數(shù)學(xué)里，鐵鏈的長(zhǎng)度計(jì)算其實(shí)就像搭積木一樣，有它自己的規(guī)律。就像我們之前學(xué)過(guò)的圖形周長(zhǎng)的計(jì)算，鐵鏈長(zhǎng)度也和每個(gè)小部分的長(zhǎng)度有關(guān)系。比如說(shuō)我們知道一個(gè)小鐵環(huán)的長(zhǎng)度，那很多個(gè)小鐵環(huán)連起來(lái)的鐵鏈長(zhǎng)度怎么算呢？這就需要我們考慮鐵環(huán)之間連接部分的長(zhǎng)度啦?！緦W(xué)習(xí)過(guò)程】一、導(dǎo)入同學(xué)們，我給你們?cè)僦v個(gè)有趣的事兒。上次我去一個(gè)鐵匠鋪，看到鐵匠師傅在做鐵鏈呢。那些鐵鏈一環(huán)扣著一環(huán)，看起來(lái)特別神奇。我就問(wèn)師傅，你怎么知道這鐵鏈做出來(lái)有多長(zhǎng)呀？師傅笑了笑說(shuō)，這里面可有數(shù)學(xué)的學(xué)問(wèn)呢。今天咱們就來(lái)探究一下鐵鏈長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)奧秘。二、點(diǎn)評(píng)學(xué)案完成情況咱們先來(lái)看一下課前檢測(cè)的情況。哪些同學(xué)全對(duì)了呀？很不錯(cuò)哦。如果有做錯(cuò)的同學(xué)也沒(méi)關(guān)系，咱們通過(guò)今天的學(xué)習(xí)就會(huì)更明白啦。三、明確本堂課的任務(wù)目標(biāo)今天咱們的任務(wù)就是學(xué)會(huì)計(jì)算鐵鏈的長(zhǎng)度。不管是簡(jiǎn)單的幾個(gè)環(huán)的鐵鏈，還是比較復(fù)雜的鐵鏈，咱們都要能算出它的長(zhǎng)度。四、鐵鏈長(zhǎng)度的初步探究1、單個(gè)鐵環(huán)的情況咱們先從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始想，如果只有一個(gè)鐵環(huán)，那這個(gè)鐵環(huán)的長(zhǎng)度就是這個(gè)鐵環(huán)自身的周長(zhǎng)。比如說(shuō)一個(gè)鐵環(huán)的直徑是4厘米（圓周率取3.14），那根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=πd，這個(gè)鐵環(huán)的周長(zhǎng)就是3.14×4=12.56厘米，這個(gè)12.56厘米就是這個(gè)單鐵環(huán)的長(zhǎng)度。2、兩個(gè)鐵環(huán)連接的情況現(xiàn)在我們來(lái)看看兩個(gè)鐵環(huán)連接在一起的情況。同學(xué)們可以想象一下或者自己畫(huà)一下。兩個(gè)鐵環(huán)連接的時(shí)候，中間會(huì)有一部分是重疊的，這部分重疊的長(zhǎng)度在計(jì)算鐵鏈總長(zhǎng)度的時(shí)候可不能重復(fù)計(jì)算哦。假如每個(gè)鐵環(huán)的直徑還是4厘米，兩個(gè)鐵環(huán)連接后的鐵鏈長(zhǎng)度是多少呢？我們先算出兩個(gè)鐵環(huán)的周長(zhǎng)之和：2×3.14×4=25.12厘米。但是因?yàn)橛幸粋€(gè)連接部分是重疊的，假設(shè)這個(gè)重疊部分的長(zhǎng)度是1厘米（這個(gè)重疊部分長(zhǎng)度需要根據(jù)實(shí)際情況給定或者題目告知），那這個(gè)鐵鏈的實(shí)際長(zhǎng)度就是25.12-1=24.12厘米。3、小組討論現(xiàn)在大家分組討論一下，如果是三個(gè)鐵環(huán)連接在一起，鐵鏈的長(zhǎng)度該怎么計(jì)算呢？每個(gè)小組可以畫(huà)個(gè)簡(jiǎn)單的圖來(lái)幫助理解哦。五、合作探究，小組展示1、三個(gè)鐵環(huán)連接的情況小組1：我們組覺(jué)得，先算出三個(gè)鐵環(huán)的周長(zhǎng)之和，就是3×3.14×4=37.68厘米。然后因?yàn)橛袃蓚€(gè)連接部分，每個(gè)連接部分重疊1厘米，總共重疊2×1=2厘米，所以鐵鏈的長(zhǎng)度就是37.68-2=35.68厘米。小組2：我們和第一組的思路一樣，不過(guò)我們是這樣想的。一個(gè)鐵環(huán)的長(zhǎng)度是3.14×4=12.56厘米，那三個(gè)鐵環(huán)就是3×12.56=37.68厘米，然后減去兩個(gè)連接部分的長(zhǎng)度，也是得到35.68厘米。2、總結(jié)規(guī)律同學(xué)們說(shuō)得都很好。那我們來(lái)總結(jié)一下規(guī)律。如果有n個(gè)鐵環(huán)連接成鐵鏈，每個(gè)鐵環(huán)的直徑為d，連接部分的長(zhǎng)度為a（這里假設(shè)每個(gè)連接部分長(zhǎng)度都一樣），那鐵鏈的長(zhǎng)度L可以怎么計(jì)算呢？我們可以得到公式：L=n×πd-(n-1)×a。3、不同情況的應(yīng)用（1）那如果有5個(gè)鐵環(huán)，鐵環(huán)直徑是3厘米，連接部分長(zhǎng)度是0.5厘米，根據(jù)我們總結(jié)的公式，鐵鏈的長(zhǎng)度是多少呢？大家可以自己計(jì)算一下。答案：根據(jù)公式L=n×πd-(n-1)×a，這里n=5，d=3厘米，a=0.5厘米，圓周率取3.14。先計(jì)算5×3.14×3=47.1厘米，再計(jì)算(5-1)×0.5=2厘米，最后鐵鏈長(zhǎng)度L=47.1-2=45.1厘米。（2）再看一個(gè)例子，如果鐵鏈的長(zhǎng)度是30厘米，鐵環(huán)直徑是2厘米，連接部分長(zhǎng)度是0.3厘米，那這個(gè)鐵鏈大概有多少個(gè)鐵環(huán)呢？這就需要我們把公式反過(guò)來(lái)用了。設(shè)鐵環(huán)個(gè)數(shù)為n，根據(jù)公式L=n×πd-(n-1)×a，可以得到方程：30=n×3.14×2-(n-1)×0.3解這個(gè)方程：首先展開(kāi)式子得到30=6.28n-0.3n+0.3合并同類項(xiàng)得到30=5.98n+0.3移項(xiàng)得到5.98n=30-0.3=29.7最后解得n=29.7÷5.98≈5（這里取整數(shù)，因?yàn)殍F環(huán)個(gè)數(shù)必須是整數(shù)）六、課堂小結(jié)今天我們學(xué)習(xí)了鐵鏈長(zhǎng)度的計(jì)算。從一個(gè)鐵環(huán)的長(zhǎng)度，到多個(gè)鐵環(huán)連接成鐵鏈的長(zhǎng)度計(jì)算，還總結(jié)出了計(jì)算鐵鏈長(zhǎng)度的公式。在這個(gè)過(guò)程中，我們通過(guò)自己思考、小組討論、實(shí)際計(jì)算等方式，深入了解了鐵鏈長(zhǎng)度計(jì)算的原理。就像我在鐵匠鋪看到的鐵鏈一樣，看似復(fù)雜，其實(shí)只要我們掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，就能輕松算出它的長(zhǎng)度啦。七、當(dāng)堂演練：1、有8個(gè)鐵環(huán)連接成的鐵鏈，鐵環(huán)直徑為2.5厘米，連接部分長(zhǎng)度為0.4厘米，計(jì)算鐵鏈的長(zhǎng)度。答案：根據(jù)公式L=n×πd-(n-1)×a，這里n=8，d=2.5厘米，a=0.4厘米，圓周率取3.14。先計(jì)算8×3.14×2.5=62.8厘米，再計(jì)算(8-1)×0.4=2.8厘米，最后鐵鏈長(zhǎng)度L=62.8-2.8=60厘米。2、已知鐵鏈長(zhǎng)度為40厘米，鐵環(huán)直徑為3厘米，連接部分長(zhǎng)度為0.6厘米，求鐵環(huán)個(gè)數(shù)。設(shè)鐵環(huán)個(gè)數(shù)為n，根據(jù)公式L=n×πd-(n-1)×a，可得方程：40=n×3.14×3-(n-1)×0.6解這個(gè)方程：首先展開(kāi)式子得到40=9.42n-0.6n+0.6合并同類項(xiàng)得到40=8.82n+0.6移項(xiàng)得到8.82n=40-0.6=39.4最后解得n=39.4÷8.82≈4.47，因?yàn)殍F環(huán)個(gè)數(shù)必須是整數(shù)，所以取n=4。3、一個(gè)特殊的鐵鏈，它的鐵環(huán)形狀不是圓形，而是方形，每個(gè)方形鐵環(huán)邊長(zhǎng)為3厘米，連接部分長(zhǎng)度為0.5厘米，有6個(gè)這樣的方形鐵環(huán)連接成鐵鏈，計(jì)算鐵鏈的長(zhǎng)度。對(duì)于方形鐵環(huán)，我們要計(jì)算它的周長(zhǎng)，方形周長(zhǎng)公式為C=4×邊長(zhǎng)，這里每個(gè)方形鐵環(huán)周長(zhǎng)為4×3=12厘米。6個(gè)方形鐵環(huán)的周長(zhǎng)之和為6×12=72厘米，因?yàn)橛?個(gè)連接部分，每個(gè)連接部分長(zhǎng)度為0.5厘米，總共重疊5×0.5=2.5厘米，所以鐵鏈長(zhǎng)度為72-2.5=69.5厘米。八、作業(yè)：1、自己制作一個(gè)由5個(gè)圓環(huán)組成的鐵鏈模型（可以用紙條代替鐵環(huán)），測(cè)量出圓環(huán)的直徑和連接部分的長(zhǎng)度，然后計(jì)算鐵鏈的實(shí)際長(zhǎng)度，再與測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，分析誤差產(chǎn)生的原因。2、有一道關(guān)于鐵鏈長(zhǎng)度的拓展題：一個(gè)鐵鏈由兩種不同大小的鐵環(huán)組成，大鐵環(huán)直徑為4厘米，小鐵環(huán)直徑為3厘米，大鐵環(huán)和小鐵環(huán)交替連接，共有10個(gè)鐵環(huán)（5個(gè)大鐵環(huán)和5個(gè)小鐵環(huán)），連接部分長(zhǎng)度均為0.5厘米，計(jì)算這個(gè)鐵鏈的長(zhǎng)度。九、學(xué)后反思我的收獲：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我學(xué)會(huì)了鐵鏈長(zhǎng)度的計(jì)算方法，知道了要考慮鐵環(huán)的周長(zhǎng)以及連接部分的長(zhǎng)度。還學(xué)會(huì)了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出公式，并且能把公式運(yùn)用到