中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2025屆高三上學期10月測試數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2025屆高三上學期10月測試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x14<2x<4A.{?1,0,1} B.{?2,?1,0,1,2} C.{0,1} D.{?1,1}2.若z+1z?1=i，則|zA.2 B.22 C.13.已知單位向量a和b，若a⊥a+2b，則A.2 B.1 C.2 D.4.已知圓柱的底面半徑和球的半徑相等，圓柱的高與球的半徑相等，則圓柱與球的表面積之比為(

)A.1：2 B.1：1 C.3：4 D.2：35.已知sin(α+β)=13，tanαtanA.?13 B.?19 C.6.已知函數(shù)f(x)=2x,0<x≤112f(x?1),x>1A.2 B.0 C.3 D.無窮7.將y=sinx的圖象變換為y=sin3x?A.將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3倍，再將圖象向右平移π6個單位

B.將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象向右平移π18個單位

C.將圖象向右平移π6個單位，再將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3倍

D.8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(?1+x)?f(?1?x)=0，且f(1+x)+f(1?x)=0，當x∈[?1,1]時，f(x)=ax?2，則f(x)的最小值為(

)A.?6 B.?4 C.?3 D.?2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.從{1,2,3}中隨機取一個數(shù)記為a，從{4,5,6}中隨機取一個數(shù)記為b，則下列說法正確的是(

)A.事件“a+b為偶數(shù)”的概率為49

B.事件“ab為偶數(shù)”的概率為79

C.設X=a+b，則X的數(shù)學期望為E(X)=6

D.設Y=ab，則在Y10.在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，CD=3CC1=3A.若CP=λCB10<λ<13，則經(jīng)過P，E，F(xiàn)三點的直棱柱的截面為四邊形

B.直線B1C與A1C111.一條動直線l1與圓x2+y2=1相切，并與圓x2+y2=25相交于點A.存在直線l1，使得以AB為直徑的圓與l2相切

B.|PA|2+|PB|2的最小值為150?202

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若1xx?xm的展開式中存在x2項，則由滿足條件的所有正整數(shù)13.設雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為F，且F是拋物線Γ:y2=4x的焦點．過點F的直線l與拋物線Γ交于A，B14.已知f(x)=|lna?lnx?2|+|ax?1|四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)記?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足2a(1)若b=c，cosA=34(2)記BC邊的

中點為D，AD=x，若A為鈍角，求x的取值范圍．16.(本小題15分)如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA=AC=2，BC=1，AB=

(1)若AD⊥平面PAB，證明：AD//平面PBC；(2)若PA⊥底面ABCD，AD⊥CD，二面角A?CP?D的正弦值為63，求AD17.(本小題15分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的下頂點為B，左、右焦點分別為F1和F2，離心率為12，過F2的直線l與橢圓(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與坐標軸不垂直，點E關于x軸的對稱點為G，試判斷直線DG是否過定點，并說明理由．18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=ax+sinx，(1)若a=?1，證明：f(x)≤0；(2)若f(x)≤0，求a的取值范圍；(3)若a≠0，記g(x)=1af(x)?ln19.(本小題17分)乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利．(1)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9.已知甲、乙兩人共進行了mm∈N?場比賽，請根據(jù)小概率值α=0.010(2)若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設甲每局比賽的勝率均為p，沒有平局．記事件“甲只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為A，事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為B，試證明：P(A)=P(B)．(3)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是p(p>0.5)，沒有平局．若采用“賽滿2n?1局，勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n).若采用“賽滿2n+1局，勝方至少取得n+1局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n+1)，試比較P(n)與P(n+1)的大?。剑篕2=n(ad?bcP0.050.0250.010k3.8415.0246.635

參考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.BCD

11.BCD

12.an13.3314.2

15.【小問1詳解】因為b=c，所以2a又cosA=b2所以7b2=21所以S?ABC【小問2詳解】因為BC邊的中點為D，所以AD=所以x=1又2a所以x2在三角形中，b+c>a，所以b2所以3b2+又A為鈍角，則a2>b故由215<a所以x∈0,

16.【小問1詳解】證明：∵AC=2，BC=1，AB=3，即∴∠ABC=90°，即∵AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴AD⊥AB，∴AD//BC，又BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD//平面PBC；【小問2詳解】∵PA⊥底面ABCD，CD,AD?底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AD，又AD⊥CD，以點D為原點，以DA,DC所在的直線為x,y軸，過點D作PA的平行線為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：

令AD=t，則At,0,0DC=4?tAC=設平面ACP的法向量為n1∴令x1=∴n設平面CPD的法向量為n2∴令z2=t，則∴n∵二面角A?CP?D的正弦值為63，則余弦值為又二面角為銳角，∴解得t=2，所以

17.【小問1詳解】由題意可知BF因為離心率為12所以OF所以∠BF1O=若直線l⊥BF1，則直線l垂直平分線段所以?BDE??F由于?BDE的周長為8，故?F1DE由定義可知：EF所以?F1DE的周長為4a=8所以c=1，故b=所以橢圓C的方程：x2【小問2詳解】由題意可設直線l的方程為x=my+1，Dx1,可得直線DG的方程為：y?y因為x1將其代入直線DG方程，可得y=y可整理得：y=y聯(lián)立方程x=my+1x24則y1所以y1+y將其代入?式中，可得直線DG方程為：y=y可見直線DG過定點4,0，所以直線DG過定點，坐標為4,0．

18.【小問1詳解】由題設f(x)=?x+sinx且x∈[0,π]，則所以f(x)在x∈[0,π]上遞減，故f(x)≤f(0)=0，得證；【小問2詳解】由解析式，易知x=0時f(x)≤0恒成立，當x∈(0,π]，只需a≤?sin令φ(x)=?sinxx且x∈(0,π]令?(x)=sinx?xcosx，則?′(x)=xsin所以?(x)>?(0)=0，故φ′(x)>0，即φ(x)在x∈(0,π]上遞增，且對于y=x?sinx，x∈[0,π]，則故y=x?sinx在x∈[0,π]上遞增，且x=0時綜上，φ(x)∈(?1,0]，即a≤?1．【小問3詳解】由題設g(x)=f(x)a?ln(x+1)令g(x)=0?a[ln(x+1)?x]=只需研究y=sinxa與φ(x)=若a<0，則y=sinxa在(0,π2)上遞減，在而φ′x=?xx+1<0，即φ(x)又y′=cosxa，則y′|x=0=cos故y=sinxa與φ(x)=此時，g(x)在x∈[0,π]有兩個零點；若a>0，y=sinxa≥0在故y=sinxa與φ(x)=此時，g(x)在x∈[0,π]有一個零點；綜上，a<0時g(x)有兩個零點；a>0時g(x)有一個零點．

19.【小問1詳解】由題設，賽制與甲獲勝情況列聯(lián)表如下，甲獲勝場數(shù)乙獲勝場數(shù)5局3勝0.8m0.2mm7局4勝0.9m0.1mm1.7m0.3m2m所以K2=2m(0.08當m≥170時，根據(jù)小概率值α=0.010的K2當m<170時，根據(jù)小概率值α=0.010的K2【小問2詳解】由題意，P(A)===6pP(A)==10=10=6p綜上，P(A)=P(B)，得證．【小問3詳解】考慮賽滿2n+1局的情況，以賽完2n?1局為第一階段，第二階段為最后2局，設“賽滿2n+1局甲獲勝”為事件C，結(jié)合第一階段結(jié)果，要使事件C發(fā)生，有兩種情況：第一階段甲獲勝，記為A1；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了n?1局，記為A則C=A1C+若第一階段甲獲勝，即賽滿2n?1局