江蘇省徐州市豐縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023-2024學(xué)年豐縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方正確的是（）A．（x-1）2=8 B．（x-1）2=9 C．（x-1）2=82 D．（x-1）2=122．已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長不可能是（）A．1 B．2.5 C．3.5 D．43．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化為一般形式后不含一次項(xiàng)，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．-34．給出下列說法：①半徑相等的圓是等圓；②長度相等的弧是等??；③以2cm長為半徑的圓有無數(shù)個(gè)；④平面上任意三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，其中正確的有（）A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④5．關(guān)于二次函數(shù)y=2(x-1)2+3，下列說法正確的是（）A．圖象的對(duì)稱軸是直線x=-1 B．圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大 D．當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大值，且最大值為36．一種微波爐每臺(tái)成本價(jià)原來是500元，經(jīng)過兩次技術(shù)改進(jìn)后，成本降為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程正確的是（）A．500（1-x）2=256B．256（1+x）2=500C．256（1+x2）=500D．500（1-2x）=4007．以正六邊形的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．二次函數(shù)的圖像如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)）的解滿足，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．10．如圖，⊙O的半徑是5，∠AOB＝60°，則AB＝_____．11．若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則的值是__．12．已知一元二次方程的兩個(gè)根為、，則的值為__．13．如圖，在⊙中，直徑與弦交于點(diǎn)．，連接，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)．若，則__°．14．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若母線長l為9cm，圓錐的底面圓的半徑r為3cm，則扇形的圓心角為__°．15．二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值列表如下：x…0135…y…66…則一元二次方程的解為__．16．已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是__．17．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，且軸，，則__．18．如圖，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧的中點(diǎn)，P是直徑上一動(dòng)點(diǎn)．的半徑為2，寫出的最小值__．三、解答題（本大題共8小題，共76分）19．解方程：（1）；（2）．20．下表是二次函數(shù)的部分取值情況：x…0123…y…0c43n…根據(jù)表中信息，回答下列問題：（1）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，；（2）在圖中的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該二次函數(shù)的圖象，觀察圖象，寫出時(shí)x的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣平移可以得到的圖象？（4）若拋物線上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，則0(填“＞”“＜”或“＝”)．21．（1）教材重現(xiàn)：在中，是所對(duì)的圓心角，是所對(duì)的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從圖2，圖3中任選一種情況證明；（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，點(diǎn)C在上，連接、，點(diǎn)P為外一點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)D，連接，若，，求證：為的切線．22．直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為30元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件．商家想盡快銷售完該款商品，采取降價(jià)措施增加銷量．（1）若日利潤保持不變，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）每件商品降價(jià)多少元時(shí)日利潤最大？23．河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時(shí)，水面離橋孔頂部4米．如圖1，橋孔與水面交于A、B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）請求出此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；（2）因降暴雨水位上升米，一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為，寬為（橫截面如圖2），暴雨后，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請說明理由．24．如圖，是的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)E是上位于的兩側(cè)的點(diǎn)，，，垂足為D，、的延長線交于點(diǎn)G，的延長線交于點(diǎn)F．（1）判斷的形狀并說明理由；（2）若，，求的直徑的長．25．【問題提出】學(xué)習(xí)過扇形面積的計(jì)算方法后，小明、小麗和小宇開展以下學(xué)習(xí)討論：小明：三角形的中線可以把三角形的面積二等分，那么能不能畫一條線把扇形的面積二等分呢？小麗：可以，這是一條過圓心的直線……小明：可能是一條弧線嗎？小宇：根據(jù)扇形面積計(jì)算公式，扇形的圓心角和半徑?jīng)Q定扇形面積的大小，把問題轉(zhuǎn)化成，在原來扇形內(nèi)部作一個(gè)小扇形，它們的圓心角相等且面積比是，推算出此時(shí)兩個(gè)扇形的半徑比為a．小麗：我們以前遇到過一類特殊三角形兩邊的比值恰好也是a！……【嘗試解決】已知扇形，（1）請你用圓規(guī)和無刻度的直尺在圖1中，作出符合小麗所說方案的直線；（2）①小宇談話中提到的a的值為；②參考三位同學(xué)的談話，請你在圖2中用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（提醒：以上所有作圖均不寫作法，需保留作圖痕跡）26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、B．（1），；（2）若點(diǎn)M是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于x軸，垂足為點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)D，連接，當(dāng)時(shí)：①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②直線上是否存在點(diǎn)E，使為直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N（不與點(diǎn)A、B重合），使得O、A、B、N四點(diǎn)共圓，如果存在求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．B【解析】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，再配方，最后得出選項(xiàng)即可．【詳解】解：x2-2x-8=0，移項(xiàng)，得x2-2x=8，配方得：x2-2x+1=8+1，（x-1）2=9．故選：B．2．A【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離d大于半徑r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離d等于半徑r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離d小于半徑r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，由此可解．【詳解】解：A，時(shí)，，點(diǎn)P在內(nèi)，與已知矛盾，符合題意；B，時(shí)，，點(diǎn)P在外；C，時(shí)，，點(diǎn)P在外；D，時(shí)，，點(diǎn)P在外；故選：A．3．C【解析】【分析】此題考查了一元二次方程定義，解題關(guān)鍵是理解一元二次方程的一般形式，將一元二次方程化為一般式，根據(jù)不含一次項(xiàng)可得一次項(xiàng)系數(shù)為0，求解即可．【詳解】解：方程化為一般形式為：由題意可得：解得故選：C4．B【解析】【分析】本題考查的是圓的認(rèn)識(shí)，根據(jù)等圓、等弧和半圓的定義以及確定圓的條件，分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：①半徑相等的圓是等圓，故①正確；②同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故②不正確；③以長為半徑的圓有無數(shù)個(gè)，沒有指定圓心，故③正確；④平面上不共線的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，故④不正確；故選：B．5．C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，以及解析式為頂點(diǎn)式可得二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線，由此可得當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大且當(dāng)時(shí)，y取得最小值，且最小值為3，則二次函數(shù)的函數(shù)值恒大于等于3，即二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，，∴二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線，故A說法錯(cuò)誤，不符合題意；∴當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，故C說法正確，符合題意；∴當(dāng)時(shí)，y取得最小值，且最小值為3，故D說法錯(cuò)誤，不符合題意；∴，∴二次函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故B說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．6．A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵．由題意知，第一次降價(jià)后成本為，第二次降價(jià)后成本為，然后根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：由題意知，第一次降價(jià)后成本為，第二次降價(jià)后成本為，依題意得，，故選：A．7．B【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及外角和的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，連接，根據(jù)正六邊形的外角為，可得，，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵正六邊形的每個(gè)外角，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角，∴，，∵∴∴∴正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為故選：B．8．D【解析】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用圖像法解決問題，畫出圖象是解決問題的關(guān)鍵．如圖，關(guān)于x的一元二次方的解就是拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用圖像法即可解決問題．【詳解】解：如圖：關(guān)于x的一元二次方程的解就是拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為，且最大值為4，當(dāng)時(shí)，由圖像可知關(guān)于x的一元二次方程（t為實(shí)數(shù)），在的范圍內(nèi)有解，∴解滿足，則t的取值范圍是．故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．【解析】【分析】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和掌握，把代入拋物線中，求y的值，即可求出答案．知道拋物線與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：把代入拋物線，得：，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為．10．5【解析】【分析】由OA=OB，得△OAB為等邊三角形進(jìn)行解答．【詳解】解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，∴△OAB等邊三角形，故AB=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)；等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．2【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到得出，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)解是，∴，∴，∴．故答案為：2．12．##【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將代數(shù)式化簡，然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，∴，∴，故答案為：．13．【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑和弧之間的關(guān)系．由得出，根據(jù)，，即可求出的度數(shù)，從而可求出，由是⊙的切線可得，在四邊形中，利用四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】，，是的外角，，，，是⊙的切線，，四邊形的內(nèi)角和為，，故答案為：．14．120【解析】【分析】本題考查圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，根據(jù)圓錐的底面周長等于扇形的弧長，列出等式，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：120．15．0或2【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．先求出對(duì)稱軸，由表格中的數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時(shí)，，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性即可即可．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由拋物線的對(duì)稱性質(zhì)知，對(duì)稱軸是直線．根據(jù)表格可知：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，，所以一元二次方程的解為或．故答案為：0或2．16．且【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，根據(jù)，且解出的范圍即可求出答案．解題的關(guān)鍵是正確列出進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：由題意可知：且，解得：且，故答案為：且．17．##0.25【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，記與軸的交點(diǎn)為，圖象對(duì)稱軸為軸，則，，設(shè)，則，解得，，或（舍去），則，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，記與軸的交點(diǎn)為，∵，∴對(duì)稱軸軸，∵軸，，∴，∴，設(shè)，將代入得，，解得，，或（舍去），∴，，，∴，，∴，故答案為：．18．【解析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由，得到當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即的長度，連接交圓于P，根據(jù)題意得到，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴∴∴當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即的長度，∴連接交圓于P，則點(diǎn)P即是所求作的點(diǎn)，∵A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，∴，又∵點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，∴∴在中，由勾股定理得：∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，以及圓周角定理，解決此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置．根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形．三、解答題（本大題共8小題，共76分）19．（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程．（1）整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）整理后，利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：整理得，開方得，或，解得；【小問2詳解】解：原方程可化為，．，，，解得．20．（1），3（2），圖見解析（3）拋物線向左平移1個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位即可得到的圖象（4）【解析】【分析】（1）將代入得，解得，，則，然后作答即可；（2）描點(diǎn)作圖，由圖象可知時(shí)x的取值范圍為，（3）根據(jù)左加右減、上加下減進(jìn)行作答即可；（4）由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，由，可得，然后求解判斷即可．【小問1詳解】解：將代入得，，解得，，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：，3；【小問2詳解】解：作圖如下：∴時(shí)x的取值范圍為，故答案為：；【小問3詳解】解：∵∴拋物線向左平移1個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位即可得到的圖象；【小問4詳解】解：由題意知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集，畫二次函數(shù)圖象．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）①連接，并延長交于點(diǎn)，根據(jù)等邊對(duì)等角得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求證結(jié)論；②連接，并延長交于點(diǎn)D，根據(jù)等邊對(duì)等角得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)圓周角定理得，再根據(jù)等邊三角形的判定及性質(zhì)得，，再根據(jù)等角對(duì)等邊及切線的判定定理即可求證結(jié)論．【詳解】（1）①如圖2，連接，并延長交于點(diǎn)，圖2，，，，，，．②如圖3，連接，并延長交于點(diǎn)D，，，，，，，．（2），，平分，，又，是等邊三角形，，，，，，，，為的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）40元（2）10元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，利用該種小商品的日銷售利潤每件的銷售利潤日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）列出的方程求解最大值即可．【小問1詳解】解：設(shè)每件降價(jià)元，則每件的銷售利潤為元，日銷售量為件，依題意得：整理得：，解得：（不合題意，舍去），．每件售價(jià)應(yīng)定為（元）．答：每件售價(jià)應(yīng)定為40元．【小問2詳解】設(shè)日利潤元，每件降價(jià)元．當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)（元）答：每件商品降價(jià)10元時(shí)日利潤最大．23．（1）（2）不能，理由見解析【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合水高求出可通過船的最高高度（寬度固定）．（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）代入求出x值，再求出可通過船的最大寬度，將其與比較后即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：由題意可知，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線函數(shù)關(guān)系式為，把代入，得，，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】水位上升后船頂部距原來水面高：把代入得，，，∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的橋孔寬度為．，∴暴雨后這艘船不能從這座拱橋下通過．24．（1）是等腰三角形，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）圓周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所對(duì)的圓周角相等，得到，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論；（2）等角的余角相等，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出的長，勾股定理，求出的長，連接，設(shè)半徑，利用勾股定理求出的值即可．【小問1詳解】解：是等腰三角形．為直徑，，，，．，，，，，，是等腰三角形．【小問2詳解】中，，又，，，，，，，在Rt中，．連接，設(shè)半徑，則，在Rt中，，．的直徑．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及等弧所對(duì)的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．25．（1）見解析（2）①；②見解析【解析】【分析】本題考查扇形的面積公式，尺規(guī)作圖--作角平分線，作垂線．（1）根據(jù)扇形的面積公式，得到半徑相同的兩個(gè)扇形的面積比等于圓心角的度數(shù)比，即可得到的角平分線，平分扇形的面積，作的角平分線，即可；（2）①根據(jù)扇形的面積公式，得到圓心角