2024-2025學(xué)年度上期高2023級(jí)半期數(shù)學(xué)考試含答案_第1頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年度上期高2023級(jí)半期數(shù)學(xué)考試一?單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每一題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為,則等于()A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到,從而求出,計(jì)算出模長.【詳解】點(diǎn)在平面上的射影為,,故,故選:D2.將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下:,若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22,則()A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題意,結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】,又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22,則,解得.故選:C3.設(shè),,,且∥,則()A B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù),可得,;再根據(jù)∥,可得,進(jìn)而得,最后根據(jù)向量的坐標(biāo)求模即可.【詳解】解:因?yàn)椋?,且,所以,解得,所以,又因?yàn)椋摇?,所以,所以,所以,所?故選:C.4.對空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次,設(shè)兩次都擊中目標(biāo)兩次都沒擊中目標(biāo){恰有一次擊中目標(biāo)},至少有一次擊中目標(biāo)},下列關(guān)系不正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)事件關(guān)系,即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標(biāo)或兩次都擊中目標(biāo),所以,故A正確;B.包含的事件為至少一次擊中目標(biāo),為樣本空間,所以B錯(cuò)誤,C正確;D.事件與事件是對立事件,所以,故D正確.故選:B5.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次,得到的點(diǎn)數(shù)分別為,則這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5的概率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義,將得到的點(diǎn)數(shù)從小到大排列,討論不同情況,即可求解.【詳解】由題意,這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5,只有三種情況:①將拋擲8次,得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為,此時(shí)中位數(shù)為;②拋擲8次,得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為,此時(shí)中位數(shù)為;③拋擲8次,得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為,此時(shí)中位數(shù)為或;綜上,x的點(diǎn)數(shù)只能為5,或者6,故概率為,故選:D.6.已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù),并求得其平均數(shù)為70,方差為75,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí),其中得兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤,一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60,另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90,在對錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后,重新求得樣本的平均數(shù)為,方差為,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù),方差計(jì)算公式可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為,則,因?yàn)?,因此平均?shù)不變,即;又由方差計(jì)算公式可知:,,注意到,則.故選:C.7.平行六面體的底面是邊長為2的正方形,且,,為,的交點(diǎn),則線段的長為()A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得,進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長.【詳解】由題意可知:,則,所以.故選:C.8.如圖,在正方體中,分別為的中點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()A.平面B.異面直線與所成角為C.直線與平面所成角為D.【答案】B【解析】【分析】連接,可得,A選項(xiàng),利用線面平行的判定定理即可證明;B選項(xiàng),異面直線與所成角即為直線與與所成角;C選項(xiàng)直線與平面所成角即直線與平面所成角;D選項(xiàng),由線面垂直的性質(zhì)可以得證.【詳解】如圖,連接,在正方形中,為的中點(diǎn),則,即也為的中點(diǎn),在中,分別為的中點(diǎn),有,又平面,平面,所以平面,故A正確;由題可知,異面直線與所成角即為直線與與所成角,即,為,故B錯(cuò)誤直線與平面所成角即直線與平面所成角,由平面,可知直線與平面所成角為,故C正確;正方體中,平面,平面,則有,由,得,故D正確;,故選:B.二?多項(xiàng)選擇題(每空6分,共18分)9.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中,同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo).如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖,則下列結(jié)論正確的是()A.8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C.1-12月校車銷量環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低,故A錯(cuò)誤;由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負(fù)數(shù),環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù),故B正確;1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為,同比增長率的極差為,所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差,故C正確;由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動(dòng)大于同比增長率的,所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差,故D正確.故選:BCD.10.給出下列命題,其中正確的是()A.若是空間的一個(gè)基底,則也是空間的一個(gè)基底B.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是C.若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C滿足,則A,B,C三點(diǎn)共線D.平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為.若,則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)向量是否共面判斷A,由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對稱判斷B,由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可判斷C,根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D?!驹斀狻繉τ贏,不共面,則不共面,所以也是空間的一個(gè)基底,故正確;對于B,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)是,故錯(cuò)誤;對于C,由可得,即,所以A,B,C三點(diǎn)共線,故正確;對于D,由平面平行可得,所以,解得,故正確.故選:ACD11.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為,,則下列說法正確的是()A.若A與B相互獨(dú)立,則 B.若,則事件A與相互獨(dú)立C.若A與B互斥,則 D.若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生,則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A,若A與B相互獨(dú)立,則,所以,故A對;對于B,因?yàn)?,,則,因?yàn)?,所以事件與相互獨(dú)立,故B對;對于C,若A與B互斥,則,故C錯(cuò);對于D,若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生,則,則,故D對.故選:ABD三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.經(jīng)過點(diǎn),點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量是______.【答案】(時(shí),均可)【解析】【分析】求出向量符合題意,所有與共線非零向量均可.【詳解】點(diǎn),點(diǎn)在直線上,則直線的一個(gè)方向向量為,時(shí),也都是直線的方向向量.故答案為:(時(shí),均可)13.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長,2019年銷量為5萬輛,2022年銷量為22萬輛,且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等,則這四年的總銷量為__________萬輛.【答案】53【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)公式,結(jié)合題意,即可求解.【詳解】設(shè)2020年的銷量為,2021年的銷量為,,由題意可知,中位數(shù)為,平均數(shù)為,由,得,所以這四年的總銷量為萬量.故答案為:5314.已知是空間單位向量,.若空間向量滿足,且對于任意,,則__________,__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值,利用數(shù)量積求向量的模,且當(dāng)模最小時(shí),求出相關(guān)的數(shù)值.【詳解】,由于,所以,問題等價(jià)于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值,.則,解得,,.故答案為:2;.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:涉及向量的模,通常用到求解.四?解答題:共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.柜子里有3雙不同的鞋,分別用,;,;,表示6只鞋,其中,,表示每雙鞋的左腳,,,表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機(jī)地取出2只,那么(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)求下列事件的概率:①取出的鞋都是一只腳的;②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的,但不是一雙鞋.(3)求取出的鞋不成雙的概率.【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)通過列舉法寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)(3)結(jié)合(1)所求的樣本空間,利用古典概型的概率公式逐一求解即可.【小問1詳解】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;【小問2詳解】記:“取出的鞋都是一只腳的”,,,,,,,,,,,,,;記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的,但不是一雙鞋”,,,,,,,,,,,,,【小問3詳解】記“取出的鞋不成雙”,由(1)得,,,,,,,,;16.2023年是中國共產(chǎn)黨建黨102周年,為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念,傳承紅色基因,市教育局以“學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育,并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競賽.競賽共設(shè)100個(gè)小題,每個(gè)小題1分,共100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將成績分成以下七組:并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這1000名黨員成績的眾數(shù),中位數(shù);(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人,若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查,求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)和中位數(shù).(2)根據(jù)分層抽樣的方法,確定樣本中人員的構(gòu)成,再列出人選2人的所有可能,利用古典概型的公式求相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得,1000名學(xué)員成績眾數(shù)為,成績在的頻率為,成績在的頻率為,故中位數(shù)位于之間,中位數(shù)是【小問2詳解】∵與的黨員人數(shù)的比值為,采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人,則在中抽取2人,中抽3人,設(shè)抽取人的編號(hào)為,,抽取人的編號(hào)為,,,則從5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查對應(yīng)的樣本空間為:,,,,,,,,,,共10個(gè)樣本點(diǎn),這2人中至少有1人成績低于76分的有:,,,,,,,共7個(gè)樣本點(diǎn),故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17.在四棱錐中.底面為矩形,且平面.為中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線的距離;(2)求異面直線所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出、,利用空間向量法求出,從而求出,再由點(diǎn)到直線的距離計(jì)算可得;(2)利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)闉榫匦?,所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,所以分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,所以,所以,則有,所以,所以點(diǎn)到直線的距離.【小問2詳解】因?yàn)?,所以,所以異面直線所成角的余弦值.18.如圖,在三棱柱中,底面是邊長為2的等邊三角形,分別是線段的中點(diǎn),在平面內(nèi)的射影為.(1)求證:平面;(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離;(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】(1)利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證;(2)利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離;(3)利用空間向量求出二面角的余弦值,再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】連接,因?yàn)闉榈冗吶切?,為中點(diǎn),則,由題意可知平面平面,平面平面,平面,所以平面,則平面,可得,由題設(shè)知四邊形為菱形,則,因?yàn)?,分別為,中點(diǎn),則,可得,且,,平面,所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)的射影為,所以平面,由題設(shè)知四邊形為菱形,是線段的中點(diǎn),所以為正三角形,由平面,平面,可得,,又因?yàn)闉榈冗吶切?,為中點(diǎn),所以,則以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線為,,軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,可得,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,可得,所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】因?yàn)?,設(shè),,則,可得,,,即,可得,由(2)知:平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量,則,令,則,,可得;則,令,則,可得,因?yàn)?,則,可得,所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19.在空間直角坐標(biāo)系中,定義:過點(diǎn),且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為;過點(diǎn),且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為,將其整理為一般式方程為,其中.(1)求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程;(2)已知平面,平面,平面,若,證明:;(3)已知斜三棱柱中,側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn),,側(cè)面所在平面的一般式方程為,側(cè)面所在平面的一般式方程為,求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?)(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)先求直線的方向向量,結(jié)合題意即可得直線方程;(2)根據(jù)題意可得平面、、的法向量,進(jìn)而可求交線的方向向量,利用空間向量判斷線面關(guān)系;(3)

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