2023-2024學年度第一學期高一級數(shù)學科期中考試試卷含答案

2023-2024學年度第一學期高一級數(shù)學科期中考試試卷一、單項選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出和，再求即可.【詳解】因為，所以，由，得，解得，所以，所以，故選：C2.已知命題，使得，則為（）A.，都有 B.，使得C.，都有 D.，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題，使得為存在量詞命題，則為，都有.

故選：C3.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)(，且)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】按和兩種情況討論指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，再考慮直線圖象與軸的交點位置，即得結果.【詳解】若，則，函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸上方，C符合，D不符合；若，則，函數(shù)是上的減函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點在軸下方，A，B均不符合.故選：C.4.已知函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，進而可得出答案.【詳解】由，得，所以.故選：A.5.下列根式與分數(shù)指數(shù)冪互化正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A選項：由，故該項等號兩側不相等，所以A錯誤；對于B選項：由，所以B錯誤；對于C選項：由指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可得，所以C正確；對于D選項：當時，，當時，，顯然當時，該項的等量關系不成立，所以D錯誤.故選：C.6.流行病學基本參數(shù)：基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可用模型：（其中是開始確診病例數(shù)）描述累計感染病例隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T滿足，有學者估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，當時，t的值為（）（）A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案【詳解】解：把代入，得，解得，所以，由，得，則，兩邊取對數(shù)得，，得，故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)模型的實際應用，考查計算能力，解題的關鍵是準確理解題意，弄清函數(shù)模型中各個量的關系，屬于中檔題7.是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.－1 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)定義得，及即可求值【詳解】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A8.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】分類討論結合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象計算即可.【詳解】以下只分析函數(shù)在上的圖象及性質(zhì)，分類討論如下：①當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，此時單調(diào)遞減，；②當時，，所以，易知當時，，當，，此時；③當時，，即，易知當時，，當，，此時；

而，綜上可知的最小值為.故選：A

二、多項選擇題，本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可排除A，C選項，再判斷選項B，D中函數(shù)的單調(diào)性從而得出答案.【詳解】函數(shù)不是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故可排除A，C選項.函數(shù)，均為偶函數(shù).又二次函數(shù)在上為增函數(shù).，當時，函數(shù)可化為，在上為增函數(shù).故選項B，D滿足條件.故選：BD10.已知，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為4C.若，則的最大值為2D.若，則的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】結合條件使用基本不等式求最值即可判斷.【詳解】由，有，則，當且僅當時等號成立，故A正確；若，則，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為4，故B正確；若，則，當且僅當時等號成立，則的最大值為2，故C正確；若，則，即，當且僅當，即時等號成立，則的最大值為，故D錯誤.故選：ABC11.定義在上的函數(shù)滿足：對于定義域上的任意，，當時，恒有,則稱為“理想函數(shù)”則下列函數(shù)中是“理想函數(shù)”的是（

）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)條件可得在上單調(diào)遞增，結合選項以及常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設，可得，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，對于A，，函數(shù)在為減函數(shù)，所以A不符合題意；對于B，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以B不符合題意對于C，，由二次函數(shù)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以C符合題意對于D，，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D符合題意．故選:CD．12.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則關于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù) D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定義判斷可選項A，C，由函數(shù)單調(diào)性的結論可判斷選項B，由函數(shù)單調(diào)性求出的取值范圍，結合定義可得的值域可判斷選項D．【詳解】對于選項A：因為函數(shù)，，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于選項B：因為、在R上是增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：因為，則，，即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為，則，可得，所以的值域為，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分13.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負和分式分母不為零，列不等式組可求得答案【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：14.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)解析式，確定二次函數(shù)對稱軸，以及單調(diào)性，再由題意，即可得出結果.【詳解】因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因此.故答案為【點睛】本題主要考查由二次函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的問題，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.15.已知函數(shù)，若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】因為，所以，則，.故答案為：.16.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，對于任意實數(shù)t，恒成立，求a的取值范圍__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，得，即，然后構造函數(shù)，令，由基本不等式可求出其最大值，從而可求出a的取值范圍.【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以由，得，因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以，令，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，所以，得或，即a的取值范圍為，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程成演算步驟17.計算：（1）求值：（2）已知：，求的值【答案】（1）81（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和完全平方公式即可求出.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】因為，所以，，所以.18.（1）設集合，求實數(shù)a的值；（2）設集合．如果，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)得到，然后分、和三種情況討論即可；（2）根據(jù)得到，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）因為，所以，，當時，，，，，不成立；當時，，，，，成立；不成立；綜上可得，.（2）因為，所以，當，，解得；當，，解得，綜上可得，取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）設，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）當時，解關于x的不等式．【答案】（1）證明見詳解.（2）當時，；當時，；當時，.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法進行證明.（2）根據(jù)已知變形，把問題轉化為含參的一元二次不等式，對參數(shù)進行分類討論進行求解.【小問1詳解】因，所以，對于任意的，且，，由于，且，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問2詳解】不等式可化簡為，因為，所以上式化簡得，令，解得或，當時，即時，得；當時，即時，得；當時，即時，得；綜上，當時，；當時，；當時，.20.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)m的值及函數(shù)的值域;（2）若，求x的取值范圍．【答案】（1）1，（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，注意檢驗，由指數(shù)函數(shù)的值域通過復合關系可以得解.（2）由復合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，從而將不等式進行等價轉換成相應的分式不等式即可得解.【小問1詳解】由題意函數(shù)為奇函數(shù)，且注意到其定義域為關于原點對稱，所以，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為.【小問2詳解】由（1）可知，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，解得，因此滿足題意的x的取值范圍為.21.某中學為了迎接建校100周年校慶，決定在學校校史館利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽室.由于榮譽室的后背靠墻，無需建造費用.甲乙兩支隊伍參與競標，甲工程隊給出的報價為：榮譽室前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計12600元，設榮譽室的左右兩面墻的長度均為米，乙工程隊給出的整體報價為元，綜合考慮兩工程隊報價的最小值，學校決定選擇報價的最小值較低的隊伍施工，如果報價相同，則選擇乙隊伍.（1）若，問學校該怎樣選擇；（2）在競爭壓力下，甲工程隊主動降價5400元，若乙工程隊想要確保自己被選中，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）選擇乙工程隊進行建造.（2）【解析】【分析】（1）設甲工程隊的總造價為元，得到，結合基本不等式求得，設乙工程隊的總造價為元，得到，結合函數(shù)的單調(diào)性，求得，比較即可得到答案；（2）根據(jù)題意，得到甲工程隊的最低報價為，要使得乙工程隊確保自己被選中，則滿足，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：設甲工程隊總造價為元，因為榮舉室的左右兩面墻的長度均為米，且長方體底面積為24平方米，可得底面長方形的另一邊長為米，則甲工程隊的總造價為：，又由，當且僅當時，等號成立，所以（元），當時，設乙工程隊的總造價為元，則，因為函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以（元），由，所以學校選擇乙工程隊進行建造.【小問2詳解】解：若甲工程隊主動降價5400元，則甲工程隊的最低報價為（元），若乙工程隊確保自己被選中，則滿足，又由乙工程隊的造價為，由（1）知，當時，，由，解得，因為，所以，所以實數(shù)的最大值為.22.對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)，，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；（2）若為定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值．【答案】（1）為“局部奇函數(shù)”，理由見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程