2023屆廣東省梅州市高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1梅州市高三總復(fù)習(xí)質(zhì)檢試卷數(shù)學(xué)2023.2一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得，確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得〖答案〗.〖詳析〗由可得，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，落在第三象限，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分別解出集合對(duì)應(yīng)的不等式，再根據(jù)交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.〖詳析〗由題意可知，解集合對(duì)應(yīng)的不等式可得，即；所以.故選：B3.為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過(guò)125C.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119D.四年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩超過(guò)125次以上優(yōu)秀，則估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)優(yōu)秀率35%〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和等于1可得，經(jīng)計(jì)算可得平均數(shù)為，中位數(shù)約為119，優(yōu)秀率為35%即可得出正確選項(xiàng).〖詳析〗根據(jù)題意可得，可得，故A正確；根據(jù)頻率分布直方圖可得其平均數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可知，，而，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，可得，所以C正確；由圖可知，超過(guò)125次以上的頻率為，所以優(yōu)秀率為35%，即D正確.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗將改寫成的形式，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得結(jié)果.〖詳析〗由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.〖詳析〗雙曲線（，）的漸近線的方程為，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，則，則，，則該雙曲線的離心率為，故選：D.6.若從0，1，2，3，…9這10個(gè)整數(shù)中同時(shí)取3個(gè)不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，利用古典概型概率求解.〖詳析〗10不同的數(shù)取3個(gè)不同的數(shù)的情況為：，其中3個(gè)之和為偶數(shù)的情況為：①三個(gè)為偶數(shù)：，②兩奇數(shù)一偶數(shù)：，共60種情況，所以所求概率為：.故選：D.7.某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則（）A. B. C.. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由題意得到第項(xiàng)為，然后利用累乘法求解.〖詳析〗解：設(shè)，由題意得，第項(xiàng)為，則時(shí)，，因?yàn)?，，所以，解得，故選：B8.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗取、中點(diǎn)、，正方形中心，中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線（含點(diǎn)）時(shí)，視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）時(shí)，視為負(fù)數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.函數(shù)是偶函數(shù)〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)圖象可得最小正周期為可求得；利用檢驗(yàn)法代入可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；根據(jù)整體代換法可求得函數(shù)在不是單調(diào)遞減的；利用函數(shù)奇偶性定義可得是奇函數(shù)；即可得到正確選項(xiàng).〖詳析〗根據(jù)函數(shù)圖象可得，即函數(shù)的最小正周期為，可得，即A正確；又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)，所以，可得，又可得，所以；將代入可得，所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，即B正確；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上先減后增，所以C錯(cuò)誤；易得是奇函數(shù)，即D錯(cuò)誤.故選：AB10.設(shè)是公差為（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（）A.若，則是數(shù)列的最大項(xiàng)B.若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：，均有D.若對(duì)任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.〖詳析〗對(duì)于A：取數(shù)列為首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列有最小項(xiàng)，即有最小值，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，，B正確；對(duì)于C：取數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時(shí)數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，之后所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意，均有.故若對(duì)任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：BD11.如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn)；為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A??作三棱柱的截面，且交于，則（）A.線段的最小值為 B.棱上的不存在點(diǎn)，使得平面C.棱上的存在點(diǎn)，使得 D.當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究空間位置關(guān)系，求線段長(zhǎng)，從而判斷各選項(xiàng)．〖詳析〗如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于與底面垂直，因此當(dāng)與重合時(shí)，在平面內(nèi)，，此時(shí)最小為，A正確；，，若，與不垂直，因此不可能與平面垂直，B正確；設(shè)，則，，若，則，即，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此棱上的不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)；是中點(diǎn)時(shí)，，，D正確．故選：ABD．12.對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足：，且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當(dāng)時(shí)，恒成立，下列命題中正確的有（）A. B.，C. D.，〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得正確〖答案〗.〖詳析〗A.因?yàn)?，所以令得，所以，故A正確；B.由當(dāng)，恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，，故B錯(cuò)誤；C.，，而，所以，，由，，，則，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，令，則，，則，即，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的系數(shù)為___________.〖答案〗40〖解析〗〖祥解〗易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)是由兩部分組成，分別求出再相加即可得出結(jié)果.〖詳析〗根據(jù)題意可知，展開式中含的項(xiàng)為和兩部分；所以展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：4014.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)定義求得，確定與x軸正半軸的夾角為,結(jié)合三角函數(shù)定義以及兩角差的余弦公式即可求得〖答案〗.詳析〗由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故〖答案〗為：15.甲?乙?丙三人參加數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力比賽,他們分別來(lái)自A?B?C三個(gè)學(xué)校,并分別獲得第一?二?三名:已知:①甲不是A校選手;②乙不是B校選手;③A校選手不是第一名;④B校的選手獲得第二名;⑤乙不是第三名.根據(jù)上述情況,可判斷出丙是___________校選手,他獲得的是第___________名.〖答案〗①.A②.三〖解析〗〖祥解〗根據(jù)②④⑤說(shuō)明乙是第一名,根據(jù)③說(shuō)明乙是C校選手,根據(jù)①說(shuō)明甲是B校選手,即丙是A校選手,根據(jù)④說(shuō)明甲是第二名,可得丙是第三名.〖詳析〗解:因?yàn)橐也皇荁校選手且B校的選手獲得第二名,所以乙不是第二名,又因?yàn)橐也皇堑谌?所以乙是第一名,因?yàn)橐也皇荁校選手且A校選手不是第一名,所以乙是C校選手,因?yàn)榧撞皇茿校選手,所以甲是B校選手,故丙是A校選手,因?yàn)锽校的選手獲得第二名,所以甲是第二名,故丙是第三名.故〖答案〗為：A；三.16.函數(shù)的最小值為___________.〖答案〗##3.5〖解析〗〖祥解〗將已知式子變形為，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，根據(jù)拋物線的定義得出，則，即可計(jì)算得出〖答案〗.〖詳析〗，，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，而點(diǎn)在此拋物線內(nèi)，點(diǎn)是此拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，如圖，根據(jù)拋物線的定義有，則，故〖答案〗為：.四?解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求內(nèi)角；（2）點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，已知，求面積的最大值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得面積的最大值.〖小問(wèn)1詳析〗在中，因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，于是有，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，所以，對(duì)上式兩邊平分得：，因?yàn)?，所以，即，而，有，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此.即面積的最大值為.18.記是正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在某正數(shù)M，，都有，則稱的前n項(xiàng)和數(shù)列有界.從以下三個(gè)數(shù)列中任選兩個(gè)，①；②；③，分別判斷它們的前項(xiàng)和數(shù)列是否有界，并給予證明.〖答案〗數(shù)列①②的前項(xiàng)和數(shù)列有界，數(shù)列③的前項(xiàng)和數(shù)列無(wú)界，證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗①采用等比數(shù)列求和，②③采用放縮法，再求數(shù)列的和，結(jié)合有界數(shù)列的定義，即可證明.〖詳析〗數(shù)列①②的前項(xiàng)和數(shù)列有界，數(shù)列③的前項(xiàng)和數(shù)列無(wú)界，證明如下：①若，則其前項(xiàng)和，因?yàn)椋?，則，所以存在正數(shù)1，，，即前項(xiàng)和數(shù)列有界.②若，當(dāng)時(shí)，，其前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，則，所以存在正數(shù)2，，，即前項(xiàng)和數(shù)列有界.③若，其前項(xiàng)和為，，對(duì)于任意正數(shù)，?。ㄆ渲斜硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)），有，因此前項(xiàng)和數(shù)列不是有界的.19.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)作于.把沿翻折至的位置，連接?.（1）為邊的一點(diǎn)，若，求證：平面；（2）當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗(1)由線面平行判定定理證明平面，平面，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理證明平面；(2)根據(jù)錐體體積公式由條件確定平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求法向量的夾角余弦，由此可得結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谡切沃?，，又因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平面，又有，且，所以，而平面，平面，所以平?有，平面，所以平面平面，又平面，因此平面.〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)?，又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，四面體的體積有最大值，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，?dāng)時(shí)，平面平面，平面所以平面，即在翻折過(guò)程中，點(diǎn)到平面的最大距離是，因此四面體的體積取得最大值時(shí)，必有平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直接坐標(biāo)系，易知，，，，，，，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，由，令得：，，所以為平面的一個(gè)法向量，.所以平面與平面的夾角（銳角）的余弦值為.20.甲?乙?丙?丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)芍ш?duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽無(wú)平局，獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四支球隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝概率以近10場(chǎng)球隊(duì)相互之間的勝場(chǎng)比為參考.隊(duì)伍近10場(chǎng)勝場(chǎng)比隊(duì)伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙?。?）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為，求；（2）若前二輪比賽結(jié)束后，甲?乙?丙?丁四支球隊(duì)積分分別為3?3?0?6，求甲隊(duì)能小組出線的概率.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意可知，代表甲獲勝一場(chǎng)比賽，按比賽場(chǎng)次分情況討論即可求得結(jié)果；（2）對(duì)第三局比賽結(jié)果進(jìn)行分類討論，對(duì)每種情況對(duì)應(yīng)的積分再分別判斷是否需要抽簽，利用條件概率公式和概率加法公式即可求得結(jié)果.〖小問(wèn)1詳析〗（1）設(shè)甲的第場(chǎng)比賽獲勝記為（，2，3），根據(jù)表格可知甲對(duì)乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為，則有.〖小問(wèn)2詳析〗分以下三種情況：（i）若第三輪甲勝丁，另一場(chǎng)比賽乙勝丙，則甲?乙?丙?丁四個(gè)球隊(duì)積分變?yōu)??6?0?6，此時(shí)甲?乙?丁三支球隊(duì)積分相同，要抽簽決定排名，甲抽中前兩名的概率為，所以這種情況下，甲出線的概率為；（ii）若第三輪甲勝丁，另一場(chǎng)比賽乙輸丙，則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?6，此時(shí)甲一定出線，甲出線概率為；（iii）若第三輪甲輸丁，另一場(chǎng)比賽乙輸丙.則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?9，此時(shí)甲?乙?丙三支球隊(duì)要抽簽決定排名，甲抽到第二名的概率為，所以這種情況下，甲出線的概率為.綜上，甲出線的概率為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).〖答案〗（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為（2）〖答案〗見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由可得，由可得?故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.〖小問(wèn)2詳析〗解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，得，，由可得，由可得?所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以在上不存在零點(diǎn)；①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，則在與上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，（i）當(dāng)時(shí)，在上不存在零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，在上存在兩個(gè)零點(diǎn).〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.22.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn).直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).〖答案〗（1）（2）（i）證明見〖解析〗；（ii）證明見〖解析〗，定點(diǎn)〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)定點(diǎn)和圓心的位置關(guān)系，利用兩圓內(nèi)切即可得出半徑之和等于圓心距，再根據(jù)橢圓定義即可求得軌跡的方程；（2）（i）易知即為橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用共線時(shí)斜率相等即可得出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出；（ii）根據(jù)（i）中的結(jié)論，寫出直線的方程，將表達(dá)式化簡(jiǎn)即可得出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；所以，，則.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.因此軌跡方程為.〖小問(wèn)2詳析〗（i）設(shè)，，.由題可知，，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設(shè)直線方程為，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：解決定值或定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到設(shè)而不求的方法，即首先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)或直線方程，再根據(jù)題目條件尋找等量關(guān)系即可實(shí)現(xiàn)整體代換求得定值或定點(diǎn).高考模擬試題PAGEPAGE1梅州市高三總復(fù)習(xí)質(zhì)檢試卷數(shù)學(xué)2023.2一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足，是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求得，確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得〖答案〗.〖詳析〗由可得，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，落在第三象限，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分別解出集合對(duì)應(yīng)的不等式，再根據(jù)交集運(yùn)算即可求得結(jié)果.〖詳析〗由題意可知，解集合對(duì)應(yīng)的不等式可得，即；所以.故選：B3.為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過(guò)125C.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119D.四年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩超過(guò)125次以上優(yōu)秀，則估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)優(yōu)秀率35%〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和等于1可得，經(jīng)計(jì)算可得平均數(shù)為，中位數(shù)約為119，優(yōu)秀率為35%即可得出正確選項(xiàng).〖詳析〗根據(jù)題意可得，可得，故A正確；根據(jù)頻率分布直方圖可得其平均數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可知，，而，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，可得，所以C正確；由圖可知，超過(guò)125次以上的頻率為，所以優(yōu)秀率為35%，即D正確.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗將改寫成的形式，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得結(jié)果.〖詳析〗由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.〖詳析〗雙曲線（，）的漸近線的方程為，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，則，則，，則該雙曲線的離心率為，故選：D.6.若從0，1，2，3，…9這10個(gè)整數(shù)中同時(shí)取3個(gè)不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，利用古典概型概率求解.〖詳析〗10不同的數(shù)取3個(gè)不同的數(shù)的情況為：，其中3個(gè)之和為偶數(shù)的情況為：①三個(gè)為偶數(shù)：，②兩奇數(shù)一偶數(shù)：，共60種情況，所以所求概率為：.故選：D.7.某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則（）A. B. C.. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由題意得到第項(xiàng)為，然后利用累乘法求解.〖詳析〗解：設(shè)，由題意得，第項(xiàng)為，則時(shí)，，因?yàn)?，，所以，解得，故選：B8.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個(gè)全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗取、中點(diǎn)、，正方形中心，中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線（含點(diǎn)）時(shí)，視為非負(fù)數(shù)，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）時(shí)，視為負(fù)數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.函數(shù)是偶函數(shù)〖答案〗AB〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)圖象可得最小正周期為可求得；利用檢驗(yàn)法代入可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；根據(jù)整體代換法可求得函數(shù)在不是單調(diào)遞減的；利用函數(shù)奇偶性定義可得是奇函數(shù)；即可得到正確選項(xiàng).〖詳析〗根據(jù)函數(shù)圖象可得，即函數(shù)的最小正周期為，可得，即A正確；又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)，所以，可得，又可得，所以；將代入可得，所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，即B正確；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上先減后增，所以C錯(cuò)誤；易得是奇函數(shù)，即D錯(cuò)誤.故選：AB10.設(shè)是公差為（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（）A.若，則是數(shù)列的最大項(xiàng)B.若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：，均有D.若對(duì)任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.〖詳析〗對(duì)于A：取數(shù)列為首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列有最小項(xiàng)，即有最小值，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開口向上，，B正確；對(duì)于C：取數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時(shí)數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，之后所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意，均有.故若對(duì)任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：BD11.如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn)；為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A??作三棱柱的截面，且交于，則（）A.線段的最小值為 B.棱上的不存在點(diǎn)，使得平面C.棱上的存在點(diǎn)，使得 D.當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究空間位置關(guān)系，求線段長(zhǎng)，從而判斷各選項(xiàng)．〖詳析〗如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于與底面垂直，因此當(dāng)與重合時(shí)，在平面內(nèi)，，此時(shí)最小為，A正確；，，若，與不垂直，因此不可能與平面垂直，B正確；設(shè)，則，，若，則，即，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此棱上的不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)；是中點(diǎn)時(shí)，，，D正確．故選：ABD．12.對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿足：，且，都有，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，，又當(dāng)時(shí)，恒成立，下列命題中正確的有（）A. B.，C. D.，〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得正確〖答案〗.〖詳析〗A.因?yàn)?，所以令得，所以，故A正確；B.由當(dāng)，恒成立，令，則，由為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，則，所以，則，，故B錯(cuò)誤；C.，，而，所以，，由，，，則，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，令，則，，則，即，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中的系數(shù)為___________.〖答案〗40〖解析〗〖祥解〗易知展開式中項(xiàng)的系數(shù)是由兩部分組成，分別求出再相加即可得出結(jié)果.〖詳析〗根據(jù)題意可知，展開式中含的項(xiàng)為和兩部分；所以展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：4014.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)定義求得，確定與x軸正半軸的夾角為,結(jié)合三角函數(shù)定義以及兩角差的余弦公式即可求得〖答案〗.詳析〗由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故〖答案〗為：15.甲?乙?丙三人參加數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力比賽,他們分別來(lái)自A?B?C三個(gè)學(xué)校,并分別獲得第一?二?三名:已知:①甲不是A校選手;②乙不是B校選手;③A校選手不是第一名;④B校的選手獲得第二名;⑤乙不是第三名.根據(jù)上述情況,可判斷出丙是___________校選手,他獲得的是第___________名.〖答案〗①.A②.三〖解析〗〖祥解〗根據(jù)②④⑤說(shuō)明乙是第一名,根據(jù)③說(shuō)明乙是C校選手,根據(jù)①說(shuō)明甲是B校選手,即丙是A校選手,根據(jù)④說(shuō)明甲是第二名,可得丙是第三名.〖詳析〗解:因?yàn)橐也皇荁校選手且B校的選手獲得第二名,所以乙不是第二名,又因?yàn)橐也皇堑谌?所以乙是第一名,因?yàn)橐也皇荁校選手且A校選手不是第一名,所以乙是C校選手,因?yàn)榧撞皇茿校選手,所以甲是B校選手,故丙是A校選手,因?yàn)锽校的選手獲得第二名,所以甲是第二名,故丙是第三名.故〖答案〗為：A；三.16.函數(shù)的最小值為___________.〖答案〗##3.5〖解析〗〖祥解〗將已知式子變形為，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，根據(jù)拋物線的定義得出，則，即可計(jì)算得出〖答案〗.〖詳析〗，，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，而點(diǎn)在此拋物線內(nèi)，點(diǎn)是此拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，如圖，根據(jù)拋物線的定義有，則，故〖答案〗為：.四?解答題；本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求內(nèi)角；（2）點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，已知，求面積的最大值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得面積的最大值.〖小問(wèn)1詳析〗在中，因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，于是有，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，?〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，所以，對(duì)上式兩邊平分得：，因?yàn)?，所以，即，而，有，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此.即面積的最大值為.18.記是正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在某正數(shù)M，，都有，則稱的前n項(xiàng)和數(shù)列有界.從以下三個(gè)數(shù)列中任選兩個(gè)，①；②；③，分別判斷它們的前項(xiàng)和數(shù)列是否有界，并給予證明.〖答案〗數(shù)列①②的前項(xiàng)和數(shù)列有界，數(shù)列③的前項(xiàng)和數(shù)列無(wú)界，證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗①采用等比數(shù)列求和，②③采用放縮法，再求數(shù)列的和，結(jié)合有界數(shù)列的定義，即可證明.〖詳析〗數(shù)列①②的前項(xiàng)和數(shù)列有界，數(shù)列③的前項(xiàng)和數(shù)列無(wú)界，證明如下：①若，則其前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，則，所以存在正數(shù)1，，，即前項(xiàng)和數(shù)列有界.②若，當(dāng)時(shí)，，其前項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，則，所以存在正數(shù)2，，，即前項(xiàng)和數(shù)列有界.③若，其前項(xiàng)和為，，對(duì)于任意正數(shù)，?。ㄆ渲斜硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)），有，因此前項(xiàng)和數(shù)列不是有界的.19.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)作于.把沿翻折至的位置，連接?.（1）為邊的一點(diǎn)，若，求證：平面；（2）當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗(1)由線面平行判定定理證明平面，平面，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理證明平面；(2)根據(jù)錐體體積公式由條件確定平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求法向量的夾角余弦，由此可得結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谡切沃?，，又因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平面，又有，且，所以，而平面，平面，所以平?有，平面，所以平面平面，又平面，因此平面.〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)?，又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，四面體的體積有最大值，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，?dāng)時(shí)，平面平面，平面所以平面，即在翻折過(guò)程中，點(diǎn)到平面的最大距離是，因此四面體的體積取得最大值時(shí)，必有平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直接坐標(biāo)系，易知，，，，，，，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，由，令得：，，所以為平面的一個(gè)法向量，.所以平面與平面的夾角（銳角）的余弦值為.20.甲?乙?丙?丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)芍ш?duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽無(wú)平局，獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四支球隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝概率以近10場(chǎng)球隊(duì)相互之間的勝場(chǎng)比為參考.隊(duì)伍近10場(chǎng)勝場(chǎng)比隊(duì)伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁（1）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為，求；（2）若前二輪比賽結(jié)束后，甲?乙?丙?丁四支球隊(duì)積分分別為3?3?0?6，求甲隊(duì)能小組出線的概率.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意可知，代表甲獲勝一場(chǎng)比賽，按比賽場(chǎng)次分情況討論即可求得結(jié)果；（2）對(duì)第三局比賽結(jié)果進(jìn)行分類討論，對(duì)每種情況對(duì)應(yīng)的積分再分別判斷是否需要抽簽，利用條件概率公式和概率加法公式即可求得結(jié)果.〖小問(wèn)1詳析〗（1）設(shè)甲的第場(chǎng)比賽獲勝記為（，2，3），根據(jù)表格可知甲對(duì)乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為，則有.〖小問(wèn)2詳析〗分以下三種情況：（i）若第三輪甲勝丁，另一場(chǎng)比賽乙勝丙，則甲?乙?丙?丁四個(gè)球隊(duì)積