2023屆安徽省淮南市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1淮南市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出集合、，利用交集的定義可求得集合.〖詳析〗因?yàn)?，，因此?故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，先得到，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到一個(gè)結(jié)果后，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)〖詳析〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，于是，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：.故選：B3.為迎接北京年冬奧會(huì)，小王選擇以跑步的方式響應(yīng)社區(qū)開(kāi)展的“喜迎冬奧愛(ài)上運(yùn)動(dòng)”（如圖）健身活動(dòng).依據(jù)小王年月至年月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線圖（如圖），根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的極差小于C.月跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D.月至月的月跑步里程的方差相對(duì)于月至月的月跑步里程的方差更大〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)折線分布圖中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)可判斷A選項(xiàng)；利用極差的定義可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度可判斷D選項(xiàng).〖詳析〗對(duì)于A選項(xiàng)，月至月、月至月、月至月月跑步里程逐月減少，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月跑步里程的極差約為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，月跑步里程由小到大對(duì)應(yīng)的月份分別為：月、月、月、月、月、月、月、月、月、月、月，所以，月跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，月至月的月跑步里程的波動(dòng)幅度比月至月的月跑步里程的波動(dòng)幅度小，故月至月的月跑步里程的方差相對(duì)于月至月的月跑步里程的方差更小，D錯(cuò).故選：C.4.斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（）A.2023 B.2024 C.2696 D.2697〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律可知是以6為周期的周期數(shù)列，利用周期性求解即可,〖詳析〗因?yàn)?，且，所以?shù)列為，此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為，是以6為周期的周期數(shù)列，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)的和，故選：D5.在中，，點(diǎn)D，E分別在線段，上，且D為中點(diǎn)，，若，則直線經(jīng)過(guò)的（）.A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，可得四邊形為菱形，即可得到平分，從而得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)?，且D為中點(diǎn)，，則，又因?yàn)?，則可得四邊形為菱形，即為菱形的對(duì)角線，所以平分，即直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)心故選:A6.近年來(lái)，準(zhǔn)南市全力推進(jìn)全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好宜居環(huán)境，城市公園越來(lái)越多，某周末，甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇共中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)立事件可求出，然后求得，根據(jù)條件概率公式，即可求出〖答案〗.〖詳析〗由已知可得，甲乙兩人隨機(jī)選擇景點(diǎn)，所有的情況為種，甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的情況為種，所有甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的概率為，所以.事件：甲選擇八公山森林公園，乙選擇其他，有3種可能；或乙選擇八公山森林公園，甲選擇其他，有3種可能.甲乙兩人隨機(jī)選擇有所以事件發(fā)生的概率為，根據(jù)條件概率公式可得，.故選：D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，若為等邊三角形，則（）A. B.6 C. D.16〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義結(jié)合為等邊三角形可知垂直于準(zhǔn)線，利用拋物線方程可解出點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到直線的方程，將直線的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.〖詳析〗因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，由拋物線的定義可知垂直于準(zhǔn)線，由可知，，設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，代入拋物線方程得點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線方程為，整理得，由得，所以，故選：A8.若，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)式的互化以及換底公式，可得，，.作出函數(shù)，的圖象，觀察可得當(dāng)時(shí)，所以隨著的增大，比值越來(lái)越大.令，可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)自變量的大小關(guān)系，即可得出〖答案〗.〖詳析〗由已知可得，，，由可得，，所以.設(shè)，則，因?yàn)?，故，所以即，所以在上為增函?shù)，又，，，又，所以.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.直線是曲線的一條切線C.圖象的對(duì)稱中心為D.方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗A.分兩種情況求函數(shù)的值域；B.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，判斷選項(xiàng)；C.利用平移判斷函數(shù)的對(duì)稱中心；D.首先求的值，再求解方程的實(shí)數(shù)根.〖詳析〗A.時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B.令，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，故B正確；C.的對(duì)稱中心是，所以的對(duì)稱中心是，向右平移1個(gè)單位得，對(duì)稱中心是，故C錯(cuò)誤；D.，解得：或，當(dāng)，得，，1個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得或，2個(gè)實(shí)根，所以共3個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：BD10.在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等邊三角形，，則（）A.平面平面B.直線與所成的角的余弦值為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.該四棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、線面角定義、異面直線所成角的定義、球的幾何性質(zhì)逐一判斷即可.〖詳析〗因?yàn)闉榫匦危?，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，由矩形可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，而平面，所以平面平面，因此選項(xiàng)A正確；由為矩形可得，所以是直線與所成的角（或其補(bǔ)角），設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由勾股定理可知：，，，在中，由余弦定理可得，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)槠矫妫允侵本€與平面所成的角，因此，所以選項(xiàng)C不正確；設(shè)該四棱錐外接球的球心為，矩形的中心為，顯然平面，即，過(guò)作，連接，設(shè)該四棱錐外接球的半徑為，所以在直角三角形中，有，在直角梯形中，有，，在直角三角形中，有，即，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：利用線面垂直的判定定理和球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.已知函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，且存在，當(dāng)時(shí)，，則（）A.的周期為B.圖像的一條對(duì)稱軸方程為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用圖像上一點(diǎn)和周期性求出，再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.〖詳析〗因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)且，所以，解得，因?yàn)榇嬖?，?dāng)時(shí)，，所以，即，，又因?yàn)椋?，所以，選項(xiàng)A：的周期，正確；選項(xiàng)B：圖像的對(duì)稱軸為，解得，，令，無(wú)整數(shù)解，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間有4個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)，D正確；故選：ACD12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交C的右支于點(diǎn)A，B，若，則（）A. B.C的漸近線方程為C. D.與面積之比為2∶1〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)可得，，利用余弦定理求出，即可判斷A，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合的值可求出可確定C，從而在直角三角形中可得的齊次式，可求漸近線方程確定B，根據(jù)直角三角形的面積公式可確定D.〖詳析〗由，得，又由，得，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，所以，所以,所以，A正確；在直角三角形中，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，在三角形中，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，在直角三角形中，，即，所以，所以，所以，所以漸近線方程為，B正確；，所以，C正確；，所以與面積之比為3∶1，D錯(cuò)誤，故選:ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將〖答案〗填寫(xiě)在題中的橫線上.）13.若角的始邊是軸非負(fù)半軸，終邊落在直線上，則______.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗利用三角函數(shù)的定義求出的值，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式以及弦化切化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.〖詳析〗由已知可得，所以，，所以，.故〖答案〗為：.14.已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_____；的面積為_(kāi)_____.〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗兩圓相減得到相交弦方程，即直線的方程，求出圓心，得到到直線的距離，利用垂徑定理得到，得到三角形面積.〖詳析〗兩圓相減得：，化簡(jiǎn)得：，故直線的方程為，圓變形得到，圓心，半徑為2，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，故的面積為.故〖答案〗為：，.15.設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值____〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗由題意，設(shè)，求得.令，可知，使得，即可得出的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)得到，代入得出最小值.〖詳析〗設(shè)，定義域?yàn)椋瑒t，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以，使得，即.且當(dāng)時(shí)，有，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，則，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處有唯一極小值，也是最小值，因?yàn)?，所以，所?所以，的最小值為4.故〖答案〗為：4.16.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形內(nèi)（含邊界），記過(guò)E，F(xiàn)，G的平面為，若，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗取中點(diǎn)為，由已知可證明平面即為平面，平面.可知.進(jìn)而根據(jù)等腰三角形即可求出的取值范圍.詳析〗如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且.又分別是線段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面即為平面.易知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，同理由，可得.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?則由，平面，可知，平面，平面.又點(diǎn)M在正方形內(nèi)，平面平面，所以.所以的長(zhǎng)即為點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與線段端點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí).所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件（若兩個(gè)都選，以第一個(gè)評(píng)分），求：（1）求角的大??；（2）求邊中線長(zhǎng)的最小值.條件①：;條件②：.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理和余弦定理邊角互化即可求解；（2）由面積公式可得，利用向量可得，結(jié)合均值不等式即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗選條件①：,因?yàn)橹?，所以，由正弦定理可得，即，，?所以.選條件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即，?所以.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，的面積為，所以，解得，由平面向量可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故邊中線的最小值為.18.年月日時(shí)分，搭載空間站夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢(mèng)天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應(yīng)用越來(lái)越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺(tái)打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺(tái)打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布.（1）若該臺(tái)打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；（2）該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺(tái)打印設(shè)備后，試打了個(gè)零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，〖答案〗（1）（2）需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）計(jì)算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率，分析可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值；（2）計(jì)算得出，，且，根據(jù)原則可得出結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意知，，，則，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率即為因?yàn)?，，所以，所以，所?〖小問(wèn)2詳析〗解：服從正態(tài)分布，由于，則，，所以內(nèi)徑在之外的概率為，為小概率事件而，且，根據(jù)原則，機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.19.已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.〖答案〗（1）；（2）證明見(jiàn)〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）令，可得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可得出；（2）裂項(xiàng)可得，相加可得.根據(jù)的單調(diào)性即可證明.〖小問(wèn)1詳析〗解：令，則由已知可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.〖小問(wèn)2詳析〗證明：由（1）可得，，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，，顯然，所以有.20.在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意，可證，即，從而證得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，過(guò)S作面，垂足為D，連接，以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.〖小問(wèn)1詳析〗證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴〖小問(wèn)2詳析〗過(guò)S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為2.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.21.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C上任意一點(diǎn)M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為.（1）求C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上，求n的值及面積的最大值.〖答案〗（1）；（2），面積的最大值為.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知，根據(jù)，可得，.根據(jù)已知得到，，根據(jù)離心率值即可求出的值；（2）設(shè)，，由已知可得，即.聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)，得到.根據(jù)韋達(dá)定理求出，.根據(jù)坐標(biāo)表示出弦長(zhǎng)以及點(diǎn)到直線l距離，即可得出.進(jìn)而根據(jù)基本不等式，結(jié)合的范圍換元即可求出面積的最小值.〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意可得，，，.又因?yàn)?，，，由已知可得，即，又橢圓C的離心率，所以，則，解得，所以，所以橢圓C的方程為.〖小問(wèn)2詳析〗解：設(shè)，，又，因?yàn)椋?，所以，化?jiǎn)整理得①.設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡(jiǎn)整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，所以直線l的方程為，且由②可得，，即，由點(diǎn)到直線l的距離，，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，所以面積S最大值為.22.已知有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值和零點(diǎn)存在性定理得到a的取值范圍為；（2）由得到，設(shè)，得到，結(jié)合，，得到恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)后分與兩種情況，求出實(shí)數(shù)的范圍.〖小問(wèn)1詳析〗定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，至多只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故在處取得極小值，也是最小值，由有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得，解得：，又，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故，故，，∴，∴取，則，故在各有一個(gè)不同的零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為；〖小問(wèn)2詳析〗，由題，，則，設(shè)，∴，∴恒成立，又∵，∴，即恒成立，設(shè)恒成立，，?。┊?dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴恒成立，注意到，∴符合題意；ⅱ）當(dāng)時(shí)，∵，∴時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.∴時(shí)，，不滿足恒成立.綜上：.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方高考模擬試題PAGEPAGE1淮南市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解出集合、，利用交集的定義可求得集合.〖詳析〗因?yàn)?，，因此?故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，先得到，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到一個(gè)結(jié)果后，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)〖詳析〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，于是，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：.故選：B3.為迎接北京年冬奧會(huì)，小王選擇以跑步的方式響應(yīng)社區(qū)開(kāi)展的“喜迎冬奧愛(ài)上運(yùn)動(dòng)”（如圖）健身活動(dòng).依據(jù)小王年月至年月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線圖（如圖），根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的極差小于C.月跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D.月至月的月跑步里程的方差相對(duì)于月至月的月跑步里程的方差更大〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)折線分布圖中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)可判斷A選項(xiàng)；利用極差的定義可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度可判斷D選項(xiàng).〖詳析〗對(duì)于A選項(xiàng)，月至月、月至月、月至月月跑步里程逐月減少，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月跑步里程的極差約為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，月跑步里程由小到大對(duì)應(yīng)的月份分別為：月、月、月、月、月、月、月、月、月、月、月，所以，月跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，月至月的月跑步里程的波動(dòng)幅度比月至月的月跑步里程的波動(dòng)幅度小，故月至月的月跑步里程的方差相對(duì)于月至月的月跑步里程的方差更小，D錯(cuò).故選：C.4.斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（）A.2023 B.2024 C.2696 D.2697〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律可知是以6為周期的周期數(shù)列，利用周期性求解即可,〖詳析〗因?yàn)椋?，所以?shù)列為，此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為，是以6為周期的周期數(shù)列，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)的和，故選：D5.在中，，點(diǎn)D，E分別在線段，上，且D為中點(diǎn)，，若，則直線經(jīng)過(guò)的（）.A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，可得四邊形為菱形，即可得到平分，從而得到結(jié)果.〖詳析〗因?yàn)?，且D為中點(diǎn)，，則，又因?yàn)?，則可得四邊形為菱形，即為菱形的對(duì)角線，所以平分，即直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)心故選:A6.近年來(lái)，準(zhǔn)南市全力推進(jìn)全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好宜居環(huán)境，城市公園越來(lái)越多，某周末，甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇共中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)立事件可求出，然后求得，根據(jù)條件概率公式，即可求出〖答案〗.〖詳析〗由已知可得，甲乙兩人隨機(jī)選擇景點(diǎn)，所有的情況為種，甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的情況為種，所有甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的概率為，所以.事件：甲選擇八公山森林公園，乙選擇其他，有3種可能；或乙選擇八公山森林公園，甲選擇其他，有3種可能.甲乙兩人隨機(jī)選擇有所以事件發(fā)生的概率為，根據(jù)條件概率公式可得，.故選：D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，若為等邊三角形，則（）A. B.6 C. D.16〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義結(jié)合為等邊三角形可知垂直于準(zhǔn)線，利用拋物線方程可解出點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到直線的方程，將直線的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.〖詳析〗因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，由拋物線的定義可知垂直于準(zhǔn)線，由可知，，設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，代入拋物線方程得點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線方程為，整理得，由得，所以，故選：A8.若，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)式的互化以及換底公式，可得，，.作出函數(shù)，的圖象，觀察可得當(dāng)時(shí)，所以隨著的增大，比值越來(lái)越大.令，可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)自變量的大小關(guān)系，即可得出〖答案〗.〖詳析〗由已知可得，，，由可得，，所以.設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以即，所以在上為增函?shù)，又，，，又，所以.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.直線是曲線的一條切線C.圖象的對(duì)稱中心為D.方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗A.分兩種情況求函數(shù)的值域；B.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，判斷選項(xiàng)；C.利用平移判斷函數(shù)的對(duì)稱中心；D.首先求的值，再求解方程的實(shí)數(shù)根.〖詳析〗A.時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B.令，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，故B正確；C.的對(duì)稱中心是，所以的對(duì)稱中心是，向右平移1個(gè)單位得，對(duì)稱中心是，故C錯(cuò)誤；D.，解得：或，當(dāng)，得，，1個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得或，2個(gè)實(shí)根，所以共3個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：BD10.在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等邊三角形，，則（）A.平面平面B.直線與所成的角的余弦值為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.該四棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、線面角定義、異面直線所成角的定義、球的幾何性質(zhì)逐一判斷即可.〖詳析〗因?yàn)闉榫匦危?，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，由矩形可得，因?yàn)槠矫妫云矫?，而平面，所以平面平面，因此選項(xiàng)A正確；由為矩形可得，所以是直線與所成的角（或其補(bǔ)角），設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由勾股定理可知：，，，在中，由余弦定理可得，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，因此，所以選項(xiàng)C不正確；設(shè)該四棱錐外接球的球心為，矩形的中心為，顯然平面，即，過(guò)作，連接，設(shè)該四棱錐外接球的半徑為，所以在直角三角形中，有，在直角梯形中，有，，在直角三角形中，有，即，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：利用線面垂直的判定定理和球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.已知函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，且存在，當(dāng)時(shí)，，則（）A.的周期為B.圖像的一條對(duì)稱軸方程為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用圖像上一點(diǎn)和周期性求出，再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.〖詳析〗因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)且，所以，解得，因?yàn)榇嬖?，?dāng)時(shí)，，所以，即，，又因?yàn)椋?，所以，選項(xiàng)A：的周期，正確；選項(xiàng)B：圖像的對(duì)稱軸為，解得，，令，無(wú)整數(shù)解，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間有4個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)，D正確；故選：ACD12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交C的右支于點(diǎn)A，B，若，則（）A. B.C的漸近線方程為C. D.與面積之比為2∶1〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)可得，，利用余弦定理求出，即可判斷A，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合的值可求出可確定C，從而在直角三角形中可得的齊次式，可求漸近線方程確定B，根據(jù)直角三角形的面積公式可確定D.〖詳析〗由，得，又由，得，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，所以，所以,所以，A正確；在直角三角形中，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，在三角形中，根據(jù)雙曲線定義可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，在直角三角形中，，即，所以，所以，所以，所以漸近線方程為，B正確；，所以，C正確；，所以與面積之比為3∶1，D錯(cuò)誤，故選:ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將〖答案〗填寫(xiě)在題中的橫線上.）13.若角的始邊是軸非負(fù)半軸，終邊落在直線上，則______.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗利用三角函數(shù)的定義求出的值，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式以及弦化切化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.〖詳析〗由已知可得，所以，，所以，.故〖答案〗為：.14.已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)_____；的面積為_(kāi)_____.〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗兩圓相減得到相交弦方程，即直線的方程，求出圓心，得到到直線的距離，利用垂徑定理得到，得到三角形面積.〖詳析〗兩圓相減得：，化簡(jiǎn)得：，故直線的方程為，圓變形得到，圓心，半徑為2，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，故的面積為.故〖答案〗為：，.15.設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值____〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗由題意，設(shè)，求得.令，可知，使得，即可得出的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)得到，代入得出最小值.〖詳析〗設(shè)，定義域?yàn)?，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以，使得，即.且當(dāng)時(shí)，有，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，則，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處有唯一極小值，也是最小值，因?yàn)?，所以，所?所以，的最小值為4.故〖答案〗為：4.16.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形內(nèi)（含邊界），記過(guò)E，F(xiàn)，G的平面為，若，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗取中點(diǎn)為，由已知可證明平面即為平面，平面.可知.進(jìn)而根據(jù)等腰三角形即可求出的取值范圍.詳析〗如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且.又分別是線段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面即為平面.易知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，同理由，可得.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平?則由，平面，可知，平面，平面.又點(diǎn)M在正方形內(nèi)，平面平面，所以.所以的長(zhǎng)即為點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與線段端點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí).所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件（若兩個(gè)都選，以第一個(gè)評(píng)分），求：（1）求角的大??；（2）求邊中線長(zhǎng)的最小值.條件①：;條件②：.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用正弦定理和余弦定理邊角互化即可求解；（2）由面積公式可得，利用向量可得，結(jié)合均值不等式即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗選條件①：,因?yàn)橹?，所以，由正弦定理可得，即，，?所以.選條件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，?所以.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，的面積為，所以，解得，由平面向量可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故邊中線的最小值為.18.年月日時(shí)分，搭載空間站夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢(mèng)天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應(yīng)用越來(lái)越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺(tái)打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺(tái)打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布.（1）若該臺(tái)打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；（2）該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺(tái)打印設(shè)備后，試打了個(gè)零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，〖答案〗（1）（2）需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）計(jì)算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率，分析可知，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值；（2）計(jì)算得出，，且，根據(jù)原則可得出結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意知，，，則，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率即為因?yàn)椋?，所以，所以，所?〖小問(wèn)2詳析〗解：服從正態(tài)分布，由于，則，，所以內(nèi)徑在之外的概率為，為小概率事件而，且，根據(jù)原則，機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.19.已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.〖答案〗（1）；（2）證明見(jiàn)〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）令，可得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可得出；（2）裂項(xiàng)可得，相加可得.根據(jù)的單調(diào)性即可證明.〖小問(wèn)1詳析〗解：令，則由已知可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.〖小問(wèn)2詳析〗證明：由（1）可得，，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，，顯然，所以有.20.在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意