2022-2023學年甘肅省蘭州市第五十八中學高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1蘭州市五十八中2022-2023學年度第一次模擬考試數(shù)學試卷（理科）第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，則集合{1,4,7}為()A.M∩(?UN) B.?U(M∩N)C.?U(M∪N) D.(?UM)∩N〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，則M∩(?UN)={1,2,3,4,5,7};?U(M∩N)={1,3,4,5,6,7};?U(M∪N)={1,4,7};(?UM)∩N={2,6}，故選C.『點石成金』：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．3．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．2.若是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部與虛部之積為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖詳析〗由復數(shù)的運算法則有：，則實部和虛部之積為.本題選擇B選項.3.直線與平行,則（）A. B.2 C.或2 D.0或1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)兩條直線平行的條件列方程，由此解出的值，排除兩條直線重合的情況，由此得出正確選項.〖詳析〗由于兩條直線平行，所以，解得或，當時，兩條直線方程都為，即兩條直線重合，不符合題意，故，所以本小題選B.〖『點石成金』〗本小題主要考查兩條直線平行求參數(shù)，考查兩條直線重合，屬于基礎題.4.已知m，n是直線，α是平面，且m∥α，則下列結論中正確是（）A.?n?α，都有m∥n B.?n?α，使m⊥nC.?n∥m，都有n∥α D.?n⊥α，使m∥n〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面位置關系逐一說明選項.〖詳析〗若m∥α，n?α，則m，n平行或異面，所以A錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此?n?α，使l⊥n,即m⊥n，所以B正確；若m∥α，n∥m，則n∥α或n在α內，所以C錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此若n⊥α，則l⊥n,即m⊥n，所以D錯誤；故選：B〖『點石成金』〗本題考查線線以及線面位置，考查空間想象能力以及基本判斷能力，屬基礎題.5.等于（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由，觀察可得，代入根據(jù)兩角差的正弦定理展開整理即可得出〖答案〗.〖詳析〗因為，所以.故選：C.6.關于的不等式組表示的平面區(qū)域的面積為A.3 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗可行域為一個直角三角形ABC，其中所以面積為，選C.7.已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（）A.29 B.30 C.31 D.32〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列性質由求出，進而求出，求出公比，即可求出結論.〖詳析〗,，設的公比為，，.故選:C.〖『點石成金』〗本題考查等比數(shù)列性質、等比數(shù)列通項基本量的運算，屬于基礎題.8.如圖所示，在中，點在線段上，且，若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由向量的運算法則，化簡得,再由，即可求得的值，即可求解.〖詳析〗由向量的運算法則，可得,因為，所以，從而求得，故選:B．〖『點石成金』〗該題考查的是有關向量的基本定理，在解題的過程中，需要利用向量直角的關系，結合三角形法則，即可求得結果，屬于基礎題.9.已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A.2 B.1 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知是函數(shù)的最小值,是函數(shù)的最大值,則的最小值就是函數(shù)的半周期.〖詳析〗對任意的,成立,所以,,所以,又的周期,所以,故選:B.〖『點石成金』〗本題主要考查三角函數(shù)的性質運用,考查分析理解能力,難度不大10.從5名同學中選若干名分別到圖書館、食堂做志愿者，若每個地方至少去2名，則不同的安排方法共有（）A.20種 B.50種 C.80種 D.100種〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分去4個人或5個人兩種情況進行討論.〖詳析〗當去4個人時，則安排方法有種，當去5個人時，則安排方法有種，綜上，不同的安排方法共有50種.故選：B.11.已知雙曲線右焦點為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，拋物線的焦點為，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，可得，根據(jù)離心率公式可得，又，可得.〖詳析〗在拋物線中，，雙曲線中，當時，，?。驗槭卿J角三角形，所以，則，即．因為雙曲線中，所以，所以，解得，所以．因為，則，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故選：D．〖『點石成金』〗本題考查了拋物線的幾何性質，考查了雙曲線的離心率，屬于基礎題.12.已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題干條件得到時，，故在上單調遞減，結合為偶函數(shù)，得到在上單調遞增，從而判斷出大小關系.〖詳析〗時，即，∴在上單調遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調遞增．∴，∴.故選：A．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．）13.直線與函數(shù)的圖象恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗因為分段函數(shù)的分段點是含有參數(shù)的，所以需要將兩個部分函數(shù)圖象先行畫出，并且畫出的圖象，然后平移，查看交點的個數(shù)，由此判斷的取值范圍即可.〖詳析〗，即，解得，；時，解得，當時，直線與函數(shù)有一個交點，為處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有兩個交點，為、處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有三個交點，為、、，滿足；當，直線與函數(shù)有兩個交點，為、，不滿足；故的取值范圍是.故〖答案〗為：14.已知向量，滿足，，，則向量在向量上的投影為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由已知結合向量數(shù)量積的性質可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．〖詳析〗，，，，5，則向量在向量上的投影為1，故〖答案〗為﹣1．〖『點石成金』〗本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質的簡單應用，熟練掌握基本性質是求解問題的關鍵．15.袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機取球，每次一個，直到取得紅球為止，則取球次數(shù)的數(shù)學期望為_____．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，寫出的所有可能值并求出每個值對應的概率，代入期望的計算公式即可求解.〖詳析〗由題意得的所有可能值為1，2，3，，；，∴．故〖答案〗為：.16.數(shù)列的前項積為，那么當時，______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設數(shù)列的前項積為，則即可得解.〖詳析〗解：設數(shù)列的前項積為，則，當時，．故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學校放寒假，寒假結束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉播的時間作了一次調查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）收看人數(shù)143016282012（1）若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有90％的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關；（2）在全?！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率.附表及公式：.〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關；（2）.〖解析〗〖祥解〗(1)依題意完善列聯(lián)表，計算卡方，再跟參考值相比較，即可判斷；（2）記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，則，計算可得；〖詳析〗解:（1）由題意得下表：男女合計體育達人402060非體育達人303060合計7050120的觀測值為.所以有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關.（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，.答：抽取這兩人恰好是一男一女的概率為.〖『點石成金』〗本題考查獨立性檢驗以及古典概型的概率計算，屬于基礎題.18.在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．（1）求證：CD⊥平面ABC；（2）求AB與平面BCM所成角的正弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)面面垂直的性質定理可證CD⊥平面ABC；（2）取AC的中點O，連接OB，先證明兩兩垂直，再以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式可求出結果.〖小問1詳析〗由題設可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．〖小問2詳析〗取AC的中點O，連接OB，由題設可知△ABC為等腰直角三角形，所以，又因為平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,連接OM，因為平面,所以，因為M、O分別為AD和AC的中點，所以，所以OM⊥AC，故以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，∴，，，設平面BCM的一個法向量為，則，得，令，得，∴．所以AB與平面BCM所成角的正弦值為.19.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.（1）證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；（2）若a1＝，a2＝，求{an}通項公式.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）an＝×3n－1〖解析〗〖祥解〗（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，結合求解.〖小問1詳析〗證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為{an}中各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.〖小問2詳析〗由題意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.20.已知函數(shù)（1）若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)在〖1,4〗上單調遞減，求a取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題意整理函數(shù)的函數(shù)〖解析〗式，明確定義域并求導，構造函數(shù)，將問題轉化為不等式在閉區(qū)間有解問題，分情況討論，利用二次函數(shù)的性質，可得〖答案〗；（2）由題意，將問題轉化為不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，利用分情況求最值，可得〖答案〗.〖小問1詳析〗由，易知其定義域為，則，因為函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，所以在上有解，當時，不等式為，解得，則當時，不等式成立，符合題意；令，當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則在上必定有解，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，令，解得，即時，在上有解，符合題意；綜上，.〖小問2詳析〗由（1）可知，，令，由函數(shù)在〖1，4〗上單調遞減，則在上恒成立，當時，由（1）可知，，解得，則函數(shù)在上單調遞減，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，則函數(shù)在上單調遞減，即，令，解得，符合題意；當時，函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，①當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意；②當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意.綜上，.21.已知，分別是橢圓的左、右焦點.（1）若P是第一象限內該橢圓上的一點，，求點P的坐標；（2）設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由題得，聯(lián)立橢圓方程，解方程組即得解；（2）顯然不滿足題意，可設l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，由為銳角，得到，把韋達定理代入化簡即得解.〖詳析〗（1）因為橢圓方程為，所以，，，可得，，設（，），則，所以，聯(lián)立解得，即.（2）顯然不滿足題意，可設l的方程為，，，聯(lián)立，由，得.，.又為銳角，即，即，，，可得.又，即為，解得.〖『點石成金』〗關鍵點『點石成金』：解答本題的關鍵是由為銳角，聯(lián)想到，再利用數(shù)量積的坐標運算和韋達定理得到關于的不等式，解不等式即得解.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗22.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以該直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）求直線l被曲線C截得的弦長是多少？〖答案〗（1），（2）8〖解析〗〖祥解〗（1）消去參數(shù)可得直線l的普通方程，根據(jù)公式，可得曲線C的直角坐標方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出結果.〖小問1詳析〗由消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為．∵曲線C的極坐標方程為，即，將，代入得，即.∴曲線C的直角坐標方程為．〖小問2詳析〗聯(lián)立，得，，設直線l與拋物線C交于點，，則，，故直線l被曲線C截得的弦長為．〖選修4-5：不等式〗23.已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）．〖解析〗〖祥解〗（1）方法一：將代入函數(shù)〖解析〗式，求得，利用零點分段法將〖解析〗式化為，分類討論即可求得不等式的解集；（2）方法一：根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結果.〖詳析〗（1）［方法一］：〖通性通法〗零點分段法當時，，即，所以不等式等價于或或，解得：．故不等式的解集為．［方法二］：〖最優(yōu)解〗數(shù)形結合法如圖，當時，不等式即為．由絕對值的幾何意義可知，表示x軸上的點到對應的點的距離減去到1對應點的距離．結合數(shù)軸可知，當時，，當時，．故不等式的解集為．（2）［方法一］：〖通性通法〗分類討論當時，成立等價于當時，成立．若，則當時，；若，由得，，解得：，所以，故．綜上，的取值范圍為．［方法二］：平方法當時，不等式成立，等價于時，成立，即成立，整理得．當時，不等式不成立；當時，，不等式解集為空集；當時，原不等式等價于，解得．由，解得．故a的取值范圍為．［方法三］：〖最優(yōu)解〗分離參數(shù)法當時，不等式成立，等價于時，成立，即，解得：，而，所以．故a的取值范圍為．〖整體點評〗（1）方法一：利用零點分段法是解決含有兩個以及以上絕對值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用絕對值的幾何意義解決特殊類型的絕對值不等式，直觀簡潔，是該題的最優(yōu)解．（2）方法一：分類討論解出絕對值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；方法二：本題將絕對值不等式平方，轉化為解含參的不等式，利用是不等式解集的子集求出，雖可解出，但是增加了題目的難度；方法三：利用分離參數(shù)，將不等式問題轉化為恒成立最值問題，思想簡單常見，是該題的最優(yōu)解．高考模擬試題PAGEPAGE1蘭州市五十八中2022-2023學年度第一次模擬考試數(shù)學試卷（理科）第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，則集合{1,4,7}為()A.M∩(?UN) B.?U(M∩N)C.?U(M∪N) D.(?UM)∩N〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，則M∩(?UN)={1,2,3,4,5,7};?U(M∩N)={1,3,4,5,6,7};?U(M∪N)={1,4,7};(?UM)∩N={2,6}，故選C.『點石成金』：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．3．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．2.若是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部與虛部之積為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖詳析〗由復數(shù)的運算法則有：，則實部和虛部之積為.本題選擇B選項.3.直線與平行,則（）A. B.2 C.或2 D.0或1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)兩條直線平行的條件列方程，由此解出的值，排除兩條直線重合的情況，由此得出正確選項.〖詳析〗由于兩條直線平行，所以，解得或，當時，兩條直線方程都為，即兩條直線重合，不符合題意，故，所以本小題選B.〖『點石成金』〗本小題主要考查兩條直線平行求參數(shù)，考查兩條直線重合，屬于基礎題.4.已知m，n是直線，α是平面，且m∥α，則下列結論中正確是（）A.?n?α，都有m∥n B.?n?α，使m⊥nC.?n∥m，都有n∥α D.?n⊥α，使m∥n〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面位置關系逐一說明選項.〖詳析〗若m∥α，n?α，則m，n平行或異面，所以A錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此?n?α，使l⊥n,即m⊥n，所以B正確；若m∥α，n∥m，則n∥α或n在α內，所以C錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此若n⊥α，則l⊥n,即m⊥n，所以D錯誤；故選：B〖『點石成金』〗本題考查線線以及線面位置，考查空間想象能力以及基本判斷能力，屬基礎題.5.等于（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由，觀察可得，代入根據(jù)兩角差的正弦定理展開整理即可得出〖答案〗.〖詳析〗因為，所以.故選：C.6.關于的不等式組表示的平面區(qū)域的面積為A.3 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗可行域為一個直角三角形ABC，其中所以面積為，選C.7.已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（）A.29 B.30 C.31 D.32〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列性質由求出，進而求出，求出公比，即可求出結論.〖詳析〗,，設的公比為，，.故選:C.〖『點石成金』〗本題考查等比數(shù)列性質、等比數(shù)列通項基本量的運算，屬于基礎題.8.如圖所示，在中，點在線段上，且，若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由向量的運算法則，化簡得,再由，即可求得的值，即可求解.〖詳析〗由向量的運算法則，可得,因為，所以，從而求得，故選:B．〖『點石成金』〗該題考查的是有關向量的基本定理，在解題的過程中，需要利用向量直角的關系，結合三角形法則，即可求得結果，屬于基礎題.9.已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A.2 B.1 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知是函數(shù)的最小值,是函數(shù)的最大值,則的最小值就是函數(shù)的半周期.〖詳析〗對任意的,成立,所以,,所以,又的周期,所以,故選:B.〖『點石成金』〗本題主要考查三角函數(shù)的性質運用,考查分析理解能力,難度不大10.從5名同學中選若干名分別到圖書館、食堂做志愿者，若每個地方至少去2名，則不同的安排方法共有（）A.20種 B.50種 C.80種 D.100種〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分去4個人或5個人兩種情況進行討論.〖詳析〗當去4個人時，則安排方法有種，當去5個人時，則安排方法有種，綜上，不同的安排方法共有50種.故選：B.11.已知雙曲線右焦點為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，拋物線的焦點為，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，可得，根據(jù)離心率公式可得，又，可得.〖詳析〗在拋物線中，，雙曲線中，當時，，?。驗槭卿J角三角形，所以，則，即．因為雙曲線中，所以，所以，解得，所以．因為，則，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故選：D．〖『點石成金』〗本題考查了拋物線的幾何性質，考查了雙曲線的離心率，屬于基礎題.12.已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題干條件得到時，，故在上單調遞減，結合為偶函數(shù)，得到在上單調遞增，從而判斷出大小關系.〖詳析〗時，即，∴在上單調遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調遞增．∴，∴.故選：A．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．）13.直線與函數(shù)的圖象恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗因為分段函數(shù)的分段點是含有參數(shù)的，所以需要將兩個部分函數(shù)圖象先行畫出，并且畫出的圖象，然后平移，查看交點的個數(shù)，由此判斷的取值范圍即可.〖詳析〗，即，解得，；時，解得，當時，直線與函數(shù)有一個交點，為處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有兩個交點，為、處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有三個交點，為、、，滿足；當，直線與函數(shù)有兩個交點，為、，不滿足；故的取值范圍是.故〖答案〗為：14.已知向量，滿足，，，則向量在向量上的投影為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由已知結合向量數(shù)量積的性質可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．〖詳析〗，，，，5，則向量在向量上的投影為1，故〖答案〗為﹣1．〖『點石成金』〗本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質的簡單應用，熟練掌握基本性質是求解問題的關鍵．15.袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機取球，每次一個，直到取得紅球為止，則取球次數(shù)的數(shù)學期望為_____．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，寫出的所有可能值并求出每個值對應的概率，代入期望的計算公式即可求解.〖詳析〗由題意得的所有可能值為1，2，3，，；，∴．故〖答案〗為：.16.數(shù)列的前項積為，那么當時，______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設數(shù)列的前項積為，則即可得解.〖詳析〗解：設數(shù)列的前項積為，則，當時，．故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學校放寒假，寒假結束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉播的時間作了一次調查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）收看人數(shù)143016282012（1）若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有90％的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關；（2）在全?！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率.附表及公式：.〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關；（2）.〖解析〗〖祥解〗(1)依題意完善列聯(lián)表，計算卡方，再跟參考值相比較，即可判斷；（2）記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，則，計算可得；〖詳析〗解:（1）由題意得下表：男女合計體育達人402060非體育達人303060合計7050120的觀測值為.所以有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關.（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，.答：抽取這兩人恰好是一男一女的概率為.〖『點石成金』〗本題考查獨立性檢驗以及古典概型的概率計算，屬于基礎題.18.在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．（1）求證：CD⊥平面ABC；（2）求AB與平面BCM所成角的正弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)面面垂直的性質定理可證CD⊥平面ABC；（2）取AC的中點O，連接OB，先證明兩兩垂直，再以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式可求出結果.〖小問1詳析〗由題設可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．〖小問2詳析〗取AC的中點O，連接OB，由題設可知△ABC為等腰直角三角形，所以，又因為平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,連接OM，因為平面,所以，因為M、O分別為AD和AC的中點，所以，所以OM⊥AC，故以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，∴，，，設平面BCM的一個法向量為，則，得，令，得，∴．所以AB與平面BCM所成角的正弦值為.19.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.（1）證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；（2）若a1＝，a2＝，求{an}通項公式.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）an＝×3n－1〖解析〗〖祥解〗（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，結合求解.〖小問1詳析〗證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為{an}中各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.〖小問2詳析〗由題意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.20.已知函數(shù)（1）若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)在〖1,4〗上單調遞減，求a取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題意整理函數(shù)的函數(shù)〖解析〗式，明確定義域并求導，構造函數(shù)，將問題轉化為不等式在閉區(qū)間有解問題，分情況討論，利用二次函數(shù)的性質，可得〖答案〗；（2）由題意，將問題轉化為不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，利用分情況求最值，可得〖答案〗.〖小問1詳析〗由，易知其定義域為，則，因為函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，所以在上有解，當時，不等式為，解得，則當時，不等式成立，符合題意；令，當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則在上必定有解，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，令，解得，即時，在上有解，符合題意；綜上，.〖小問2詳析〗由（1）可知，，令，由函數(shù)在〖1，4〗上單調遞減，則在上恒成立，當時，由（1）可知，，解得，則函數(shù)在上單調遞減，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，則函數(shù)在上單調遞減，即，令，解得，符合題意；當時，函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，①當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意；②當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意.綜上，.21.已知，分別是橢圓的左、右焦點.（1）若P是第一象限內該橢圓上的一點，，求點P的坐標；（2）設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由題得，