2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1馬鞍山市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和座位號(hào)填在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫(xiě)上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗首先求集合，再求.〖詳析〗，所以，，所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.2 C.1或2 D.或2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念即可求解〖詳析〗設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)椋?，所以，解得：或，所以的虛部為或，故選：.3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：，則這組數(shù)據(jù)第85百分位數(shù)是（）A.652 B.668 C.671 D.674〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)的定義，求得，即可確定第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，可得〖答案〗.〖詳析〗由題意這組數(shù)共12個(gè)，則，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，即671，故選：C4.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至12000，則大約增加了（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.25% B.30% C.36% D.45%〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意將信噪比分別為1000，12000代入香農(nóng)公式，列出等式，利用換底公式即可求出，即可求解.〖詳析〗因?yàn)楫?dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以大約增加了36%，故選：C.5.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)在上的投影向量是計(jì)算即可解決.〖詳析〗由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率大于零的直線與相交于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線相切，則（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知設(shè)直線的方程為，，由直線與拋物線相切，列方程求，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求.〖詳析〗拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知可設(shè)直線的方程為，，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以只有一組解，所以方程有且只有一個(gè)根，故，又，所以，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，故選：C.7.已知函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗首先求，再根據(jù),求的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，列不等式，即可求的取值范圍.〖詳析〗由條件可知，，所以，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得.故選：D8.已知六棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，當(dāng)六棱錐的體積最大時(shí)，其側(cè)棱長(zhǎng)為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗結(jié)合球和正六棱錐的性質(zhì)求出體積的表達(dá)式，令，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得取最值時(shí)的條件，進(jìn)而求解即可.〖詳析〗由題意可知：六棱錐的底面六邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)截面圓上.易知當(dāng)六邊形為正六邊形時(shí)，其面積最大.要使六棱錐的體積最大，則該六棱錐為正六棱錐.不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，六棱錐的高為，則正六邊形的外接圓的半徑為.由球的性質(zhì)可知：，則，所以正六棱錐的體積，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A.圓臺(tái)的體積為B.圓臺(tái)的側(cè)面積為C.圓臺(tái)母線與底面所成角為60°D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為4〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知求體積;過(guò)作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角；作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，直接求出面積；圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE,等逐個(gè)判斷即可求解.〖詳析〗對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，其面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)A作交底面于F，則底面，所以即為母線與底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因?yàn)闉殇J角，所以.故C正確；對(duì)于D：如圖示，在在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：.由為中點(diǎn)，所以，所以.故D錯(cuò)誤.故選：10.已知是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.〖詳析〗是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.已知直線與圓，則（）A.直線必過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)為C.直線與圓可能相切 D.直線與圓不可能相離〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗將直線變形為，即可求定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A；根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，判斷B；根據(jù)直線所過(guò)定點(diǎn)與圓的關(guān)系，再結(jié)合直線方程的形式，即可判斷CD.〖詳析〗A.，聯(lián)立，得，所以直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，故B正確；C.直線所過(guò)定點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線是，但直線，表示斜率存在的直線，表示不了直線，故不存在直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；D.直線所過(guò)定點(diǎn)在圓上，所以直線與圓總有公共點(diǎn)，不可能相離，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.〖詳析〗，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.〖詳析〗由于，可知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，故故〖答案〗為：314.若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，寫(xiě)出滿足題意的一個(gè)通項(xiàng)公式______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗〖祥解〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，利用已知條件求出的范圍，寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且公差，則，即，所以，令，所以，所以可取故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知函數(shù)與的定義域均為，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗通過(guò)賦值得，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性，奇偶性得到，則，解出即可.〖詳析〗因?yàn)?，令得，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即①又因?yàn)榈膱D像關(guān)于中心對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，即，，令代換，得②則將①②代入得令得結(jié)合，解得，，所以，故〖答案〗為：2.16.已知橢圓的焦距為2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若軸上的點(diǎn)滿足且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可列式求解作答.〖詳析〗依題意，點(diǎn)，設(shè)直線，，由消去x得：，則，線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t有，直線，令得點(diǎn)，而，有，又，即，因此，即，依題意，恒成立，而恒有，因此，離心率，所以橢圓離心率的取值范圍為.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：求橢圓離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先判斷數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)條件求數(shù)列的首項(xiàng)，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組轉(zhuǎn)化法，利用等差，等比求和公式求和.〖小問(wèn)1詳析〗由題意，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，即數(shù)列為公比為等比數(shù)列.所以由可得即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式：.由，，成等差數(shù)列，得：，，，有.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列..18.已知條件：①；②；③.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，滿足：______.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)選擇條件①時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解，選擇條件②時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解，選擇條件③時(shí)利用正弦定理和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解；(2)根據(jù)正弦定理可得，，從而，再根據(jù)，即可得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗選擇條件①：，所以，于是，又，所以.選擇條件②：因?yàn)椋獾?，又，所?選擇條件③：則，由正弦定理得：，即，整理得：，由得：，又，所以.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，，為銳角三角形，所以，由正弦定理，得，，于是，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?所以，所以，，故的取值范圍為.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）證法1：幾何法，要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；證法2：向量法，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，證明法向量垂直，即可證明面面垂直；（2）證法1，幾何法，利用平行關(guān)系，以及等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，即可求得線面角；證法2：向量法，利用線面角的向量法，即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗證法1：因?yàn)榈酌?，底面，所以，又為正方形，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以，且，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.證法2：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知可得，，，，，，則，，，.設(shè)平面法向量為，由，得，，所以令，得，，所以.設(shè)平面的法向量為，由，得，，所以，令，得，，所以，因?yàn)?，所以，所以平面平?〖小問(wèn)2詳析〗方法1：因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設(shè)所求角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，故，，?所以，所以，又，點(diǎn)到平面距離為2，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，又，所以.方法2：因?yàn)?，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則.20.為了了解養(yǎng)殖場(chǎng)的甲、乙兩個(gè)品種成年水牛的養(yǎng)殖情況，現(xiàn)分別隨機(jī)調(diào)查5頭水牛的體高（單位：cm）如下表，請(qǐng)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.甲品種137128130133122乙品種111110109106114（1）已知甲品種中體高大于等于130cm的成年水牛以及乙品種中體高大于等于111cm的成年水牛視為“培育優(yōu)良”，現(xiàn)從甲品種的5頭水牛與乙品種的5頭水牛中各隨機(jī)抽取2頭.設(shè)隨機(jī)變量為抽得水牛中“培育優(yōu)良”的總數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與期望.（2）當(dāng)需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時(shí)候，如果兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量尺度相差大，或者數(shù)據(jù)的量綱不同，直接使用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行比較是不合適的，此時(shí)就應(yīng)當(dāng)消除測(cè)量尺度和量綱的影響.而變異系數(shù)（C.V）可以做到這一點(diǎn)，它是原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)平均數(shù)的比，即變異系數(shù)的計(jì)算公式為：變異系數(shù).變異系數(shù)沒(méi)有量綱，這樣就可以進(jìn)行客觀比較了.從表格中的數(shù)據(jù)明顯可以看出甲品種的體高水平高于乙品種，試比較甲、乙兩個(gè)品種的成年水牛的變異系數(shù)的大小.（參考數(shù)據(jù)：，）〖答案〗（1）分布列見(jiàn)〖解析〗，（2）甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)古典概型概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，根據(jù)的取值，分別求概率，即可求分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，分別求兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，即可求兩個(gè)品種的變異系數(shù)，比較大小.〖小問(wèn)1詳析〗隨機(jī)變量的可能取值為，，，，，.隨機(jī)變量的分布列為：01234隨機(jī)變量的期望.〖小問(wèn)2詳析〗，，.，，.根據(jù)公式，甲品種的變異系數(shù)為，乙的變異系數(shù)為，所以甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大.21.平面直角坐標(biāo)系中，是雙曲線（，）上一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為3.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，求證：直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)斜率公式，結(jié)合點(diǎn)滿足，即可求雙曲線的漸近線方程；（2）首先利用點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)直線的直線方程，并聯(lián)立求交點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，證明.〖小問(wèn)1詳析〗由題意，，，滿足，即.于是，，所以雙曲線的漸近線方程為.〖小問(wèn)2詳析〗由題，，，直線，直線.聯(lián)立直線與直線方程，解得，故.由（1）知雙曲線，故，于是直線，即，即，與雙曲線聯(lián)立得：，即，即，因?yàn)椋灾本€與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).22.設(shè)函數(shù).（1）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由可得出，令，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，驗(yàn)證對(duì)任意的能否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）取，由（1）中的結(jié)論可得出，進(jìn)而可得出，整理即可證得結(jié)論成立.〖小問(wèn)1詳析〗解：由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時(shí)，則，所以在上單增，，此時(shí)對(duì)恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，故存在使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.〖小問(wèn)2詳析〗證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.高考模擬試題PAGEPAGE1馬鞍山市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和座位號(hào)填在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫(xiě)上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗首先求集合，再求.〖詳析〗，所以，，所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.2 C.1或2 D.或2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念即可求解〖詳析〗設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)椋?，所以，解得：或，所以的虛部為或，故選：.3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：，則這組數(shù)據(jù)第85百分位數(shù)是（）A.652 B.668 C.671 D.674〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)百分位數(shù)的定義，求得，即可確定第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，可得〖答案〗.〖詳析〗由題意這組數(shù)共12個(gè)，則，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，即671，故選：C4.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至12000，則大約增加了（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.25% B.30% C.36% D.45%〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意將信噪比分別為1000，12000代入香農(nóng)公式，列出等式，利用換底公式即可求出，即可求解.〖詳析〗因?yàn)楫?dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以大約增加了36%，故選：C.5.已知平面向量，，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)在上的投影向量是計(jì)算即可解決.〖詳析〗由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率大于零的直線與相交于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線相切，則（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由已知設(shè)直線的方程為，，由直線與拋物線相切，列方程求，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求.〖詳析〗拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知可設(shè)直線的方程為，，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以只有一組解，所以方程有且只有一個(gè)根，故，又，所以，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，故選：C.7.已知函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗首先求，再根據(jù),求的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，列不等式，即可求的取值范圍.〖詳析〗由條件可知，，所以，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得.故選：D8.已知六棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，當(dāng)六棱錐的體積最大時(shí)，其側(cè)棱長(zhǎng)為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗結(jié)合球和正六棱錐的性質(zhì)求出體積的表達(dá)式，令，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得取最值時(shí)的條件，進(jìn)而求解即可.〖詳析〗由題意可知：六棱錐的底面六邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)截面圓上.易知當(dāng)六邊形為正六邊形時(shí)，其面積最大.要使六棱錐的體積最大，則該六棱錐為正六棱錐.不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，六棱錐的高為，則正六邊形的外接圓的半徑為.由球的性質(zhì)可知：，則，所以正六棱錐的體積，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A.圓臺(tái)的體積為B.圓臺(tái)的側(cè)面積為C.圓臺(tái)母線與底面所成角為60°D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)為4〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知求體積;過(guò)作交底面于F，判斷出即為母線與底面所成角；作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，直接求出面積；圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE,等逐個(gè)判斷即可求解.〖詳析〗對(duì)于A：圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積，A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，其面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：過(guò)A作交底面于F，則底面，所以即為母線與底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因?yàn)闉殇J角，所以.故C正確；對(duì)于D：如圖示，在在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：.由為中點(diǎn)，所以，所以.故D錯(cuò)誤.故選：10.已知是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.〖詳析〗是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.已知直線與圓，則（）A.直線必過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)為C.直線與圓可能相切 D.直線與圓不可能相離〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗將直線變形為，即可求定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A；根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，判斷B；根據(jù)直線所過(guò)定點(diǎn)與圓的關(guān)系，再結(jié)合直線方程的形式，即可判斷CD.〖詳析〗A.，聯(lián)立，得，所以直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，故B正確；C.直線所過(guò)定點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線是，但直線，表示斜率存在的直線，表示不了直線，故不存在直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；D.直線所過(guò)定點(diǎn)在圓上，所以直線與圓總有公共點(diǎn)，不可能相離，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.〖詳析〗，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.〖詳析〗由于，可知正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，故故〖答案〗為：314.若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，寫(xiě)出滿足題意的一個(gè)通項(xiàng)公式______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗〖祥解〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，利用已知條件求出的范圍，寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且公差，則，即，所以，令，所以，所以可取故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知函數(shù)與的定義域均為，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗通過(guò)賦值得，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性，奇偶性得到，則，解出即可.〖詳析〗因?yàn)?，令得，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即①又因?yàn)榈膱D像關(guān)于中心對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，即，，令代換，得②則將①②代入得令得結(jié)合，解得，，所以，故〖答案〗為：2.16.已知橢圓的焦距為2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若軸上的點(diǎn)滿足且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可列式求解作答.〖詳析〗依題意，點(diǎn)，設(shè)直線，，由消去x得：，則，線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，則有，直線，令得點(diǎn)，而，有，又，即，因此，即，依題意，恒成立，而恒有，因此，離心率，所以橢圓離心率的取值范圍為.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：求橢圓離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先判斷數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)條件求數(shù)列的首項(xiàng)，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用分組轉(zhuǎn)化法，利用等差，等比求和公式求和.〖小問(wèn)1詳析〗由題意，，，，令得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，即數(shù)列為公比為等比數(shù)列.所以由可得即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式：.由，，成等差數(shù)列，得：，，，有.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列..18.已知條件：①；②；③.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，滿足：______.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)選擇條件①時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解，選擇條件②時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解，選擇條件③時(shí)利用正弦定理和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解；(2)根據(jù)正弦定理可得，，從而，再根據(jù)，即可得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗選擇條件①：，所以，于是，又，所以.選擇條件②：因?yàn)?，解得，又，所?選擇條件③：則，由正弦定理得：，即，整理得：，由得：，又，所以.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，，為銳角三角形，所以，由正弦定理，得，，于是，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?所以，所以，，故的取值范圍為.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）證法1：幾何法，要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；證法2：向量法，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，證明法向量垂直，即可證明面面垂直；（2）證法1，幾何法，利用平行關(guān)系，以及等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，即可求得線面角；證法2：向量法，利用線面角的向量法，即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗證法1：因?yàn)榈酌?，底面，所以，又為正方形，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，且，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.證法2：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知可得，，，，，，則，，，.設(shè)平面法向量為，由，得，，所以令，得，，所以.設(shè)平面的法向量為，由，得，，所以，令，得，，所以，因?yàn)?，所以，所以平面平?〖小問(wèn)2詳析〗方法1：因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，設(shè)所求角為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，故，，?所以，所以，又，點(diǎn)到平面距離為2，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，又，所以.方法2：因?yàn)椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)直線與平面所成的角為，則.20.為了了解養(yǎng)殖場(chǎng)的甲、乙兩個(gè)品種成年水牛的養(yǎng)殖情況，現(xiàn)分別隨機(jī)調(diào)查5頭水牛的體高（單位：cm）如下表，請(qǐng)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.甲品種137128130133122乙品種111110109106114