2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.3互斥事件學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE2.3互斥事務(wù)考綱定位重難突破1.理解互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的定義，會(huì)推斷所給事務(wù)的類(lèi)型.2.駕馭互斥事務(wù)的概率加法公式并會(huì)應(yīng)用.3.正確理解互斥、對(duì)立事務(wù)的關(guān)系，并能正確區(qū)分推斷.重點(diǎn)：1.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的定義.2.兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式及對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算公式的應(yīng)用.難點(diǎn)：互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的關(guān)系.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第46頁(yè)[自主梳理]1．互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)定義公式互斥事務(wù)在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)A與B稱(chēng)作互斥事務(wù)(1)若A與B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(2)若A1，A2，…，An中隨意兩個(gè)事務(wù)互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)對(duì)立事務(wù)事務(wù)“A不發(fā)生”稱(chēng)為A的對(duì)立事務(wù)，記作eq\o(A,\s\up6(－))__，對(duì)立事務(wù)也稱(chēng)為逆事務(wù)，在每一次試驗(yàn)中，相互對(duì)立的事務(wù)A與eq\o(A,\s\up6(－))不會(huì)同時(shí)發(fā)生，并且肯定有一個(gè)發(fā)生P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)2.事務(wù)A＋B給定事務(wù)A，B，我們規(guī)定A＋B為一個(gè)事務(wù)，事務(wù)A＋B發(fā)生是指事務(wù)A和事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生．[雙基自測(cè)]1．某人打靶時(shí)，連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的互斥事務(wù)是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”與“兩次都不中靶”為互斥事務(wù)，同時(shí)，也是對(duì)立事務(wù)．答案：C2．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)A＝{至多有1件次品}，則事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)是()A．至多有2件正品 B．至多有1件次品C．至少有1件正品 D．至少有2件次品解析：“至多有1件次品”與“至少有2件次品”不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生．答案：D3．一種計(jì)算機(jī)芯片可以正常運(yùn)用的概率為0.994，則它不能正常運(yùn)用的概率是()A．0.994 B．0.006C．0 D．1解析：“計(jì)算機(jī)芯片可以正常運(yùn)用”(設(shè)為事務(wù)A)和“計(jì)算機(jī)芯片不能正常運(yùn)用”(設(shè)為事務(wù)B)是對(duì)立事務(wù)，且P(A)＝0.994，則P(B)＝1－0.994＝0.006.答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第46頁(yè)探究一互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的推斷[典例1]某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競(jìng)賽．推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生；(4)至少1名男生與至少1名女生．[解析]從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)有3類(lèi)結(jié)果；兩男或兩女或一男一女．(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；當(dāng)恰有2名女生時(shí)，它們都沒(méi)有發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事務(wù)．(2)當(dāng)恰有2名男生時(shí)，至少1名男生與全是男生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．(3)因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事務(wù)．(4)當(dāng)選出的是1名男生1名女生時(shí)，至少1名男生與至少1名女生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．1．推斷兩個(gè)事務(wù)是否為互斥事務(wù)，主要看它們能否同時(shí)發(fā)生，若能同時(shí)發(fā)生則這兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)，若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù)．2．推斷兩個(gè)事務(wù)是否為對(duì)立事務(wù)．主要看是否同時(shí)滿(mǎn)意兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生．這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)，只要有一個(gè)條件不成立，那么這兩個(gè)事務(wù)就不是對(duì)立事務(wù)．1．已知某醫(yī)療診所的急診室有3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，從中任選2名去參與醫(yī)德培訓(xùn)．下列各對(duì)事務(wù)是否為互斥事務(wù)？是否為對(duì)立事務(wù)？并說(shuō)明理由．(1)“恰有1名男醫(yī)生”和“恰有2名男醫(yī)生”；(2)“至少有1名男醫(yī)生”和“至少有1名女醫(yī)生”；(3)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是男醫(yī)生”；(4)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是女醫(yī)生”．解析：(1)是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)．理由：所選的2名醫(yī)生中，“恰有1名男醫(yī)生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”，它與“恰有2名男醫(yī)生”不行能同時(shí)發(fā)生，所以是互斥事務(wù)，同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能選出“恰有2名女醫(yī)生”，因此二者不對(duì)立．(2)不是互斥事務(wù)，也不是對(duì)立事務(wù)．理由：“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”，“至少有1名女醫(yī)生”包括“1名女醫(yī)生和1名男醫(yī)生”與“2名都是女醫(yī)生”，它們共同含有“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”，能夠同時(shí)發(fā)生，因此不互斥也不對(duì)立．(3)不是互斥事務(wù)，也不是對(duì)立事務(wù)．理由：“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”，這與“全是男醫(yī)生”能夠同時(shí)發(fā)生，因此不互斥也不對(duì)立．(4)是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．理由：“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”，它與“全是女醫(yī)生”不行能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，故它們既是互斥事務(wù)，又是對(duì)立事務(wù)．探究二互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式的應(yīng)用[典例2]圍棋是一種策略性?xún)扇似孱?lèi)嬉戲，已知圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，從中隨機(jī)取出2粒，都是黑子的概率是eq\f(1,3)，都是白子的概率是eq\f(13,30).(1)求從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求從中隨意取出2粒恰好是不同色的概率．[解析](1)設(shè)“從中隨意取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中隨意取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且事務(wù)A與B互斥，則P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(13,30)＝eq\f(23,30)，即隨意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(23,30).(2)設(shè)“從中隨意取出2粒恰好是不同色”為事務(wù)D，由(1)，知事務(wù)D與事務(wù)C是對(duì)立事務(wù)，且P(C)＝eq\f(23,30)，所以隨意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－eq\f(23,30)＝eq\f(7,30).互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算的方法解決此類(lèi)問(wèn)題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義分析出是不是互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)，再確定運(yùn)用哪一公式．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：一是干脆法：即將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和；二是間接法：即先去求對(duì)立事務(wù)的概率，進(jìn)而再求所求事務(wù)的概率．2．向假設(shè)的三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投擲一顆炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.025，炸中其余兩個(gè)軍火庫(kù)的概率各為0.1，只要炸中一個(gè)，另外兩個(gè)也要發(fā)生爆炸，求軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率．解析：設(shè)A、B、C分別表示“炸中第一、其次、第三個(gè)軍火庫(kù)”這三個(gè)事務(wù)，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設(shè)D表示“軍火庫(kù)爆炸”這個(gè)事務(wù)，則有D＝A＋B＋C，其中A、B、C是彼此互斥的事務(wù)．所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.探究三互斥、對(duì)立事務(wù)與古典概型的綜合應(yīng)用[典例3]某市各種血型的人所占比例如下：血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人之間可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能相互輸血，小明是B型血，若小明因病須要輸血，則：(1)在該市任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)在該市任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？[解析](1)對(duì)任一個(gè)人，其血型為A，B，AB，O型血的事務(wù)分別記為A′，B′，C′，D′，它們是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸血給小明”為事務(wù)B′＋D′，依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸血給小明”為事務(wù)A′＋C′，并且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因?yàn)槿握乙粋€(gè)人，其血要么可以輸給小明，要么不行以輸給小明，兩者為對(duì)立事務(wù)，所以不能輸血給小明的概率為1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù)；(2)若將一個(gè)較困難的事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事務(wù)的和事務(wù)時(shí)，須要分類(lèi)太多，而其對(duì)立面的分類(lèi)較少，可考慮利用對(duì)立事務(wù)的概率公式，即“正難則反”，它常用來(lái)求“至少……”或“至多……”型事務(wù)的概率．3．現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語(yǔ)，B1，B2，B3通曉俄語(yǔ)，C1，C2通曉韓語(yǔ)．從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1中恰有1人被選中的概率．解析：(1)從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件空間Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18個(gè)基本領(lǐng)件組成．由于每一個(gè)基本領(lǐng)件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事務(wù)，則M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，所以P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)法一：設(shè)“B1和C1恰有1人被選中”這一事務(wù)為N，則該事務(wù)有兩種狀況，B1被選中，C1沒(méi)被選中和B1沒(méi)被選中，C1被選中．用A表示“B1被選中，C1沒(méi)被選中”這一事務(wù)，B表示“B1沒(méi)被選中，C1被選中”這一事務(wù)，則A＝{(A1，B1，C2)，(A2，B1，C2)，(A3，B1，C2)}，B＝{(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}所以P(N)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,18)＋eq\f(6,18)＝eq\f(1,2).法二：設(shè)“B1和C1中恰有1人被選中”這一事務(wù)為N，“B1和C1都被選中”這一事務(wù)為A′，“B1和C1都沒(méi)被選中”這一事務(wù)為B′，則P(A′)＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，P(B′)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).所以P(N)＝1－P(A′)－P(B′)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用[典例]玻璃盒中裝有各色球12個(gè)，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1球，記事務(wù)A為“取出1個(gè)紅球”，事務(wù)B為“取出1個(gè)黑球”，事務(wù)C為“取出1個(gè)白球”，事務(wù)D為“取出1個(gè)綠球”．(1)求“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的概率；(2)求“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率．[解析]由題意知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).法一：(1)因?yàn)槭聞?wù)A，B，C，D彼此為互斥事務(wù)，所以“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率為P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).法二：(1)“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的對(duì)立事務(wù)為“取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球”，即A＋B的對(duì)立事務(wù)為C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4)，即“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的概率為eq\f(3,4).(2)“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的對(duì)立事務(wù)為“取出1球?yàn)榫G球”，即A＋B＋C的對(duì)立事務(wù)為D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12)，即“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率為eq\f(11,12).[感悟提高]當(dāng)一個(gè)事務(wù)的概率較難求解，而對(duì)立事務(wù)的概率易求時(shí)，應(yīng)用對(duì)立事務(wù)公式轉(zhuǎn)化成求對(duì)立事務(wù)的概率，或是轉(zhuǎn)化成幾個(gè)易求解的互斥事務(wù)的和去求解．轉(zhuǎn)化與化歸思想的核心是把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的問(wèn)題，事實(shí)上解題過(guò)程就是一個(gè)縮小已知與求解的差異的過(guò)程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過(guò)程.[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第48頁(yè)1．把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)四本書(shū)隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁四位同學(xué)．每人一本，則事務(wù)“甲同學(xué)分得語(yǔ)文書(shū)”與事務(wù)“乙同學(xué)分得語(yǔ)文書(shū)”是()A．對(duì)立事務(wù)B．不行能事務(wù)C．互斥但不對(duì)立事務(wù) D．以上答案都不對(duì)解析：兩個(gè)事務(wù)不會(huì)同時(shí)發(fā)生但有可能均不發(fā)生，所以是互斥但不對(duì)立事務(wù)．答案：C2．打靶3次，事務(wù)Ai表示“擊中i發(fā)”，i＝0，1，2，3，那么事務(wù)A＝A1＋