2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.3.2圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.38.3.2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．直徑為6的球的表面積和體積分別是(B)A．36π，144π B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π2．已知一個圓柱的側(cè)面綻開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(A)A．eq\f(1＋2π,2π) B．eq\f(1＋4π,4π)C．eq\f(1＋2π,π) D．eq\f(1＋4π,2π)[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則h＝2πr，∴S表＝2πr2＋2πrh＝2πr2(1＋2π)，∵S側(cè)＝h2＝4π2r2，∴eq\f(S表,S側(cè))＝eq\f(1＋2π,2π).3．圓錐的表面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面綻開圖扇形的圓心角為(C)A．120° B．150°C．180° D．240°[解析]設(shè)底面半徑為r，母線長為l，則πrl＋πr2＝3πr2，∴l(xiāng)＝2r，∴θ＝eq\f(2πr,l)＝π.4．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為(C)A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)[解析]設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π.5．(多選)將一個邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積可能是(AB)A．32π2＋8π B．32π2＋32πC．32π2＋64π D．64π[解析]當4π作為底面圓周長時，圓柱的側(cè)面積為4π×8π＝32π2，底面圓的半徑為r＝2，兩底面面積為2πr2＝8π，所以圓柱的表面積為32π2＋8π；當8π作為底面圓周長時，圓柱的側(cè)面積為4π×8π＝32π2，底面圓的半徑為r＝4，兩底面面積為2πr2＝32π，所以圓柱的表面積為32π2＋32π.二、填空題6．若圓錐的側(cè)面綻開圖為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是__eq\f(\r(3)π,3)__.[解析]易知圓錐的母線長為2，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝eq\f(1,2)×2π×2，∴r＝1，高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3).∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).7．已知一個正方體的全部頂點在一個球面上，若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長為__eq\r(3)__.[解析]設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2)，∴R＝eq\f(3,2)，又eq\r(a2＋a2＋a2)＝2R，∴eq\r(3)a＝3，∴a＝eq\r(3).8．一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm，[解析]如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm).∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm).三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積.[解析]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積.[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如圖所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則該圓臺較小的底面半徑為(A)A．7 B．6C．5 D．3[解析]設(shè)圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7．2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為(A)A．16π B．20πC．24π D．32π[解析]設(shè)正四棱錐的高為h，底面邊長為a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6).由題意知，球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為r，則(3－r)2＋(eq\r(3))2＝r2，解得r＝2，則S球＝4πr2＝16π.故選A．3．若圓錐的側(cè)面綻開圖是圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為(C)A．3︰2 B．2︰1C．4︰3 D．5︰3[解析]底面半徑r＝eq\f(\f(2π,3),2π)l＝eq\f(1,3)l，故圓錐的S側(cè)＝eq\f(1,3)πl(wèi)2，S表＝eq\f(1,3)πl(wèi)2＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))2＝eq\f(4,9)πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為4︰3．4．如圖所示的是一個封閉幾何體的直觀圖，則該幾何體的表面積為(C)A．7πcm2 B．8πcm2C．9πcm2 D．11πcm2[解析]由題圖知該幾何體是一個圓柱挖去一個半球所得的組合體，圓柱的底面直徑與半球的直徑均為2cm，圓柱的高為3cm，故圓柱一個底面的面積為π×(eq\f(2,2))2＝π(cm2)，圓柱的側(cè)面積為2×π×3＝6π(cm2)，半球面面積為eq\f(1,2)×4×π×(eq\f(2,2))2＝2π(cm2)，故該幾何體的表面積為S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2).二、填空題5．已知圓柱OO′的母線l＝4cm，全面積為42πcm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝__3__[解析]圓柱OO′的側(cè)面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面積為2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圓柱的底面半徑為36．(2024·天津卷文，12)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__eq\f(π,4)__.[解析]如圖所示，在四棱錐V－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，也是圓柱下底面的中心，由四棱錐底面邊長為eq\r(2)，可得OC＝1．設(shè)M為VC的中點，過點M作MO1∥OC交OV于點O1，則O1即為圓柱上底面的中心.∴O1M＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)，O1O＝eq\f(1,2)VO.∵VO＝eq\r(VC2－OC2)＝2，∴O1O＝1．可得V圓柱＝π·O1M2·O1O＝π×(eq\f(1,2))2×1＝eq\f(π,4).三、解答題7．盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于水中，[解析]設(shè)取出小球后，容器中水面下降hcm，兩個小球的體積為V球＝2[eq\f(4π,3)×(eq\f(5,2))3]＝eq\f(125π,3)(cm3)，此體積即等于它們的容器中排開水的體積V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出這兩個小球，則水面將下降eq\f(5,3)cm.8．已知四面體的各面都是棱長為a的正三角形，求它外接球的體積及內(nèi)切球的半徑.[解析]如圖，設(shè)SO1是四面體S－ABC的高，則外接球的球心O在SO1上.設(shè)外接球半徑為R.∵四面體的棱長為a，O1為正△ABC中心，∴AO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，SO1＝eq\r(SA2－AO\o\al(2,1))＝eq\r(a2－\f(1,3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△OO1A中，R2＝AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1)＝AOeq\o\al(2,1)＋(SO1－R)2，即R2＝(eq