2022年3月河北省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2022年3月數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁，共36道小題，總分100分，考試時(shí)間120分鐘.2.所有答案在答題卡上作答，在本試卷和草稿紙上作答無效.答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀答卷上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題.3.答選擇題時(shí)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)將答錯(cuò)的原選涂答案擦干凈，再選涂其他答案.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷與答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：C2.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線方程變形為斜截式即可得斜率.【詳解】直線，即.所以直線的斜率為.故選：D.3.在公差為的等差數(shù)列中，若，則（）A.4 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解【詳解】因?yàn)闉楣顬榈牡炔顢?shù)列，所以故選：D4.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】因?yàn)?，，由不等式性質(zhì)可知，，故AC錯(cuò)誤；由，可得，不等式性質(zhì)可知，故B錯(cuò)誤；由可知，所以，即，又，所以，故D正確.故選：D5.已知是第四象限角，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出的值，再由求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，是第四象限角，所以，所?故選：D.6.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算可得.【詳解】不等式，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A7.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式，求得結(jié)果.【詳解】由，可得，解得.故選：A.8.圓的周長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定的圓方程求解圓的半徑，再利用圓的周長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以圓的半徑為，所以圓的周長為，故B正確.故選：B.二、選擇題（本題共28道小題，每小題3分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）9.樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為5，若，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)定義計(jì)算可得，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，又可得，因此數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是：.故選：C10.已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角是，則該圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即得.【詳解】由圓錐的母線與底面所成的角是，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為，所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線長為2，所以該圓錐的側(cè)面積是.故選：B11.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意中的解析式，先求出，再求即可.【詳解】由題意知，，，所以.故選：B12.從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識(shí)競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.【詳解】記2名男生為，2名女生為，任意選出兩人樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，恰好一男一女生的事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故選：A13.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性即可．【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上為增函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，在區(qū)間上為減函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B14.已知為平面，l，m，n為三條不同的直線，給出以下四個(gè)結(jié)論：①若l，m與n所成的角相等，則；②若l，m與所成的角相等，則；③若l與n所成的角等于30°，，則m與n所成的角等于30°；④若l與所成的角等于30°，，則m與所成的角等于30°.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】D【解析】【分析】由空間中線面位置關(guān)系，線線所成的角，線面所成的角的概念逐個(gè)判斷即可.【詳解】若l，m與n所成的角相等，則可能平行，可能相交，故①錯(cuò)誤；若l，m與所成的角相等，則可能平行，可能相交，故②錯(cuò)誤；若l與n所成的角等于30°，，則m與n所成的角等于30°，故③正確；若l與所成的角等于30°，，則m與所成的角等于30°，故④正確；故選：D15.已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：C.16.等比數(shù)列中，若，，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，則，所以.故選：D.17.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】將分別進(jìn)行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關(guān)系，從而求解.【詳解】由題知，，則，，則.故選：A18.如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則異面直線DE和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，可證或其補(bǔ)角即為異面直線DE和所成的角，故可求它的余弦值.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形，故，而為所在棱中點(diǎn)，故，故，故或其補(bǔ)角即為異面直線DE和所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，故，故異面直線DE和所成的角的余弦值為，故選：C.19.在中，設(shè)，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：D.20.已知函數(shù)，若，且，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而結(jié)合零點(diǎn)存在定理列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】由于在R上均單調(diào)遞增，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，且，則，解得.故選：B21.若球O被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為，且球心O到該截面的距離為1，則球O的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，又因?yàn)榍蛐牡皆摻孛娴木嚯x為1，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選：B.22.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖象的平移方法和誘導(dǎo)公式化簡得到結(jié)果.【詳解】由題意，得.故選：A.23.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知，而，所以，即.故選：A24.在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可求，從而可求.【詳解】由正弦定理可得，故，因?yàn)椋?，故為銳角，故，故選：A.25.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，解得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，則，解得，若，則，且定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)為上的奇函數(shù)，綜上所述：.故選：A.26.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C27.已知函數(shù)，且為偶函數(shù)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，且，則；④若，則.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可得關(guān)于直線對(duì)稱，即可求出a，可得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可判斷①②；利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可判斷③；結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式化簡可判斷④.【詳解】由于函數(shù)，且為偶函數(shù)，故可得關(guān)于直線對(duì)稱，即的對(duì)稱軸為，則，即，對(duì)于①，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，①正確；對(duì)于②，若，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，②正確；對(duì)于③，若，且，即時(shí)，，則，③正確；對(duì)于④，若，則，即得，④正確，故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4，故選：D閱讀下面的材料，完成下面小題.28.夕陽紅旅行社為了解某城市年齡在60～65歲居民單次旅游消費(fèi)支出（單位：千元）的分布情況，在這一年齡段居民中隨機(jī)調(diào)查了120大，把所得樣本數(shù)據(jù)分組為：，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）該城市這一年齡段居民單次旅游消費(fèi)支出的眾數(shù)的估計(jì)值是（）A.2.5 B.3.0 C.3.5 D.4.0（2）設(shè)該城市這一年齡段居民單次旅游消費(fèi)支出的中位數(shù)的估計(jì)值是（）A. B. C. D.（3）若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則該城市這一年齡段居民單次旅游消費(fèi)支出的平均數(shù)的估計(jì)值是（）A.4.2 B.4.1 C.4.0 D.3.9【答案】（1）B（2）C（3）B【解析】【分析】（1）眾數(shù)即為頻率最高那一組的組中值；（2）中位數(shù)為面積為時(shí)的值；（3）頻率直方圖平均數(shù)的公式代入計(jì)算即可.【小問1詳解】由圖像可知，區(qū)間頻率最高，故眾數(shù)為3，故選B；【小問2詳解】前兩組數(shù)據(jù)的頻率和為，所以中位數(shù)的估計(jì)值應(yīng)該在之間，故選C；【小問3詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，平均數(shù)為，故選B.根據(jù)下面的題設(shè)，完成下面小題.29.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是等邊三角形，側(cè)面底面，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．（1）若，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.（2）下列結(jié)論正確的是（）A. B. C.平面 D.平面（3）直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】（1）D（2）C（3）D【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)及三角形中位線得出三棱錐的高的長度，再根據(jù)三棱錐體積公式求解即可；（2）通過構(gòu)造三角形中位線，結(jié)合余弦定理即可說明AB；由面面平行的判定及性質(zhì)即可判斷C；由線面垂直的性質(zhì)即可說明D；（3）取中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)及三角形中位線得出平面，進(jìn)而得出直線與平面所成角即為，即可求解．【小問1詳解】連接，因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌嬲叫?，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，取中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)，則，且，平面，所以三棱錐的體積為，故選：D．【小問2詳解】對(duì)于A，由（1）得，平面，又平面，所以，在中，，，則，取中點(diǎn)為，連接，則，在中，，所以與夾角余弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，在中，，所以，則與夾角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B知，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面，又平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在中，，所以與不垂直，又平面，所以與平面不垂直，又因?yàn)槠矫嫫矫妫耘c平面不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：C．【小問3詳解】由（2）知，平面，取中點(diǎn)為，連接，，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，所以平面，所以直線與平面所成角即為，在中，，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選：D．根據(jù)下面的題設(shè)，完成下面小題.30.已知函數(shù).（1）函數(shù)的定義域是（）A.， B.，C.， D.，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是（）A.0 B. C. D.（3）若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】（1）A（2）C（3）B【解析】【分析】（1）根