專(zhuān)題05 因式分解（考點(diǎn)串講+七大類(lèi)型）（解析版）2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇科版）

專(zhuān)題05因式分解

，思維導(dǎo)

提公因式法一如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，刃陷就可以把這個(gè)公因式堤到括號(hào)^卜,把多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式.

.平方差法a2—b2=(a4-6)(a—6)

7考點(diǎn)中講)

一、因式分解

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多

項(xiàng)式分解因式.

注意：

(1)因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，

因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.

(2)要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.

(3)因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式

乘法是一種運(yùn)算.

L公因式

定義：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.

注意：

(1)公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.

(2)公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).

②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

2.提公因式法

定義：把多項(xiàng)式冽a+〃必+皿分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因

式加，另一個(gè)因式是(a+b+c),即冽4+”協(xié)+的=掰,(4+。+^),而(a+b+c)正好是

的+僧方+盛除以機(jī)所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法?

注意:

(1)提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即加++=掰S+6+C.

(2)用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

(3)當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變

為正數(shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

(4)用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公

因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸?1”或“一1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

3.公式法一一平方差公式

定義：兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：a2-b2=(a+h)(a-b)

注意：

(1)逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.

(2)平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)(整式)的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)(整

式)的和與這兩個(gè)數(shù)(整式)的差的積.

(3)套用公式時(shí)要注意字母。和》的廣泛意義，a、匕可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多

項(xiàng)式.

4.公式法-完全平方公式

定義：兩個(gè)數(shù)的平方和加上(減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)的平方.即

a2+2ab+h2=(。+人『，a2-lab+b1=(〃一〃『.形如。？+2。/?+〃,a2-2ah+h2的

式子叫做完全平方式.

注意：

(1)逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；

(2)完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積

的2倍.右邊是兩數(shù)的和(或差)的平方.

(3)完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

(4)套用公式時(shí)要注意字母。和〃的廣泛意義，。、人可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多

項(xiàng)式.

5.因式分解步驟

(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；

(2)如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；

(3)如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解(以后會(huì)學(xué)到).

6.因式分解注意事項(xiàng)

(1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

(2)最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；

(3)結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止

二、方法拓展

1.因式分解求參

已知a?+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9-Q,求“匕'的值.

方法：變形為a?-2ab+t>2+b?-2bc+c2+c2-6c+9=0

因式分解：(a—b>+(b—c>+(c-3)2=0

利用非負(fù)性求解即可

2.十字相乘法

例：X2+6X-7X2-6X-7

分析：7

解：原式=('+7)(*一1)'X

方法：Jr、一］

1.分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在十字十字交叉線的2—-x+7x=6x

2.分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；

3.交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；

4.觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果

3.分組分解法

例：am+hm+an+bn

_(am+bin)+{an+bn)

_m{a+b)+n(a+b)

_(a+b)+(m+n)

方法：1.將原式的項(xiàng)適當(dāng)分組；2.對(duì)每一組進(jìn)行處理(提或代)3.將經(jīng)過(guò)處理后的每一組當(dāng)

作一項(xiàng)，再采用(提或代)進(jìn)行分解。,_______.一,一,

4.因式分解的幾何應(yīng)用

2川+5加計(jì)2/可以因式分解為（2n+m）（2m+n）

方法：與前面類(lèi)型幾何類(lèi)似。用割補(bǔ)的方式把圖形分成幾份

,用等面積法兩種方法表示，構(gòu)造等式。

5.因式分解的新定義

在基礎(chǔ)定義的時(shí)候，我們只需學(xué)會(huì)模仿，無(wú)需理解題意；如上題。

如果遇到答題最后--題的話，需要理解題意，舉一反三。

【專(zhuān)題過(guò)關(guān)】

類(lèi)型一、判斷因式分解

【解惑】

（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑篴2b-25b=.

【答案】b（a+5）（a-5）

【分析】先提公因式，再利用公式法因式分解即可.

【詳解】解：。6-25。=。（4-25）=6（。+5）（。-5）,

故答案為：6（。+5）（“一5）.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解一一提公因式法和平方差公式法，解題關(guān)鍵是牢記因式分解的

方法.

【融會(huì)貫通】

1.（2022秋?福建福州?八年級(jí)?？计谥校┫铝械仁街校瑥淖蟮接业淖冃问且蚴椒纸獾氖牵ǎ?/p>

A.x（x-2）=x2-2xB.（x+1）2=x2+2x+i

C.x?—4=（x+2）（x—2）D.x+2=x（ld—）

【答案】C

【詳解】根據(jù)因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種多項(xiàng)式

的變形叫做因式分解）逐項(xiàng)判斷即可得.

【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意：

D、等式右邊中的上不是整式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意.

X

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義；嚴(yán)格按照因式分解的定義去驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)是正確解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2022春?江蘇常州?七年級(jí)?？计谥校┫铝袕淖蟮接业淖冃沃?，屬于因式分解的是（）

A.a2-4=(a+2)(a-2)B.ab+ac+d=a(b+c)+d

C.(-x-1)3=x2+2x+\D.3xy2=3x-y-y

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案.

【詳解】解：A、是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合

題意；

B、不符合因式分解的定義，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、左邊不是多項(xiàng)式，不符合因式分解定義，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解.解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)

式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，注意因式分解與整式乘法的區(qū)別.

3.(2021春?寧夏銀川?八年級(jí)?？计谥?下列等式由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的

是().

A.r+5x—l=x(x+5)-1B.X?-4+3x=(x+2"x-2)+3x

C.(x+2)(x-2)=x2-4D.am+an=a[m+n)

【答案】D

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做多項(xiàng)式的因式分解.據(jù)此

可以判斷得解.

【詳解】A.等號(hào)的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，故選項(xiàng)A不符合題意；

B.等號(hào)的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，故選項(xiàng)B不符合題意；

C.等號(hào)的右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，故選項(xiàng)C不符合題意；

D.從左到右邊的變形，是因式分解，故選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的概念，熟練掌握因式分解的定義是解答此題的關(guān)鍵.

4.(2021春?重慶南岸?八年級(jí)校聯(lián)考期中)下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的

為()

A.-xy2+2xy-3y=-y(xy-2x+3)B.2X2-xy-x=2x(x-y-l)

C.(y-2)2=y2-4y+4D.x2-x-3=x(x-l)-3

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解的意義求解即可.

【詳解】解：A、-孫2+29-3y=_y(沖_2X+3),把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，

故A符合題意；

B、2x2-xy-x^x(2x-y-1),原式分解有誤，故B不符合題意；

C、(y-2)2=y2-4y+4,是整式乘法，故C不符合題意；

D、x-3=x(x-l)-3,右邊含有多項(xiàng)式的和，故D不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的判斷，準(zhǔn)確理解因式分解的定義是解題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?廣東深圳?九年級(jí)校考期中)因式分解：4M2-16=.

【答案】4(/n+2)(m-2)

【分析】先提公因式4,然后根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可求解.

【詳解】解：4機(jī)2-16=4(機(jī)2-4)=4(加+2)(帆-2),

故答案為：4(利+2)(,”—2).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)分解因式：-3/>+18》29一27沖3=.

【答案】-3個(gè)(x-3y)2

【分析】先提公因式-3孫，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解.

【詳解】解：-3第，+18/丫2-27町3

--3xy-6xy+9丁)

=-3A>'(X-3>')2,

故答案為：-3孫(x-3y))

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

7.(2023春?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)分解因式：2a2-18=.

【答案】2(?+3)(?-3)

【分析】先提出公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解.

【詳解】解：2a2-18=2(a2-9)=2(?+3)(?-3).

故答案為:2(a+3)("3)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法一一提公因式

法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解

題的關(guān)鍵.

8.(2023春廣東深圳?八年級(jí)?？计谥?因式分解：2or2-4g+202=.

【答案】2a(x-y)2

【分析】先提公因式，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.

【詳解】解：原式=2a(f_2孫+y2)

=2a(x-y)',

故答案為：2a(x-y)2.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解.熟記乘法公式，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型二、因式分解的計(jì)算

【解惑】

(2022春?江蘇常州?七年級(jí)?？计谥?把下列各式分解因式：

(l)3a2b-6ab2+9ab;

(2)a2{a-b)-4(〃-b)；

⑶⑹+1)2-4/.

【答案】⑴3而(a-4+3)

(2)(。-8)(〃+2)(〃-2)

(3)(a+l)2(a-l)2

【分析】(1)利用提公因式法分解因式；

(2)先提取公因式(。-3,再利用平方差公式分解因式；

(3)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解.

【詳解】(1)3a2h-6ah2+9ah

=3aZ?(。-2Z?+3)；

(2)ci2

二(々-8)(〃_4)

=(a-Z?)(a+2)(a-2)；

(3)(672+l)2-4a2

=(a?+1+24)(/+1-2a)

=(?+l)2(a-l)2.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，正確掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式和完全

平方公式是解題的關(guān)鍵.

【融會(huì)貫通】

1.(2022春?山東青島?八年級(jí)山東省青島第七中學(xué)?？计谥?因式分解：

⑴a2(x-y)+9從(y-x)

⑵卜2+力2-4*2丫2

【答案】⑴(X-y)(a+36)(“-3b)

⑵(x+?(x-?

【分析】(1)先提公因式(x-y),然后根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；

(2)先根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解.

【詳解】(1)解：a2(x-y)+9b2(y-x)

=(彳_,)(。2-明)

=(x-y)(6/4-3/?)(67-3Z?)；

(2)解：(/+),2)2一4冗2y2

=Y+2x2y2+y4-4x2y2

=1-河

=(x+y)2(x_y)2.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解題的關(guān)鍵.

2.(2022春?山東青島?八年級(jí)山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥?因式分解：

(l)-a2c2-c4+2ac3

(2)4(。-2/7)2-16從

【答案】⑴-c2(a-c)2

【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式分解；

(2)先提公因式，再利用平方差公式分解.

【詳解】(1)解：一/。2一°4+2改3

=-c2(?2+c2-2acj

=-c2(a-c)2；

(2)4(a-2bf-16b2

=4[(“_26)2_4〃]

=4(a-2b+2b)(a-2b-2b)

=4a(a—4b)

【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的

關(guān)鍵.

3.(2021秋?四川巴中?八年級(jí)?？计谥?分解因式：

⑴d-4x

(2)(x-l)(x-3)+l

【答案】(l)x(x+2)(x-2)

⑵(x-2『

【分析】(1)先提取公因式x,然后利用平方差公式分解因式即可；

(2)先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：?-4x

=x(x2-4)

=x(x+2)(x-2)；

(2)解：(x—l)(x-3)+l

=x2-x-3x+3+l

=x2-4x+4

=(x-2)2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

4.(2022春,湖南永州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)因式分解

(1)X2-9

⑵—8帆〃+2n2

【答案】⑴(x+3)(x—3)

(2)2(2加一〃y

【分析】(1)原式直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行答案網(wǎng)；

(2)原式首先提取公因數(shù)2后，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)X2-9

=x2-32

=(x+3)(x-3)；

(2)8/w2—8mn+2n2

=2(4帆2—4mn+/)

=2(2m—n)2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?福建福州?八年級(jí)校考期中)因式分解：

Wa2b-ab

(2)2/_4。+2

【答案】⑴/(aT)

(2)2(a-l)-

【分析】(1)提取公因式必，即可得；

(2)提取公因數(shù)2,運(yùn)用完全平方公式即可得.

【詳解】(1)原式="(。一1);

(2)原式=2(〃-勿+1)

=2(a-I)二

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是關(guān)鍵.

6.(2022春?湖南永州?七年級(jí)?？计谥?因式分解：

(1)cuiT-2am+a;

(2)02(%-9+從。-力.

【答案】⑴a(〃7-l)2

(2)(x-y)(a+b)(a-b)

【分析】(1)先提公因式“，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)先提公因式(x-y),再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：原式=a(，"2-2"+1)

=a(/?-l)2；

(2)原式=(x-y)(/_〃)

=(x-y)(4+b)(a-b).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因

式分解.

7.(2022春?江蘇常州?七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥?分解因式：

⑴16蘇-12a%;

⑵3d-27；

(3)a3-8a2+16。;

(4)(x2+4y2)2-16x2y2.

【答案】⑴4叫46-3。)

⑵3(x+3)(x-3)

(3)?(a-4)2

⑷(x+2?(x-2y)2

【分析】(1))直接提取公因式4時(shí)進(jìn)行分解即可；

(2)首先提取公因式3,再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可；

(3)首先提取公因式“，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可：

(4)首先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可.

【詳解】⑴解：16#一⑵2b

=4a6(4b-3a)；

(2)3x2-27

=3(X2-9)

=3(x+3)(x-3)?

(3)a3-8iz2+16^z

=a(^a2-8a+16)

=a(a-4)2；

(4)(x2+4y2)2-16x2y2

=(x2+4y2+4xy^x2+4y2-4xy^

=(x+2y)，x-2?

【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，與提公因式法分解因式，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首

先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底,直到不能分解為止.

8.(2022秋?貴州遵義?八年級(jí)?？计谥?因式分解：

-6x)3+9xy

⑵-3)+4

【答案】⑴個(gè)(y-3)2

(2)(x+l)2

【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；

(1)先利用整式的乘法計(jì)算(x-l)(x+3),再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解.

【詳解】(1)解：xy3-6xy2+9xy

=孫(9-6y+9)

=xy(y-3)2

(2)解：(x-l)(x+3)+4

=x2+2x—3+4

=x2+2x+l

=(X+I)2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法一一提公因式

法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解

題的關(guān)鍵.

類(lèi)型三、因式分解的應(yīng)用

【解惑】

(2022秋?福建泉州?八年級(jí)福建省南安市僑光中學(xué)?？计谥?閱讀下列文字：我們知道，圖

形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺

數(shù)時(shí)難入微例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)

學(xué)等式.

⑴如圖1所示，用兩塊axb型長(zhǎng)方形和一塊axa型、一塊人xb型正方形硬紙片拼成一個(gè)新

的正方形.用兩種不同的方法計(jì)算圖1中正方形的面積，可以寫(xiě)出一個(gè)熟悉的數(shù)學(xué)公式：

：如圖2所示，用若干塊axb型長(zhǎng)方形和“xa型6x8型正方形硬紙片拼成一個(gè)

新的長(zhǎng)方形，可以寫(xiě)出2/+3出7+尸因式分解的結(jié)果等于：：

⑵如圖3,將幾個(gè)小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+6+c)的正方形.就可以得到一

個(gè)等式，這個(gè)等式是；

請(qǐng)利用這個(gè)等式解答下列問(wèn)題：

①若三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2,ab+bc+ac=-12,求/+從+/的值

②若三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足2"x4>x8：=1024,x2+4y2+9z2=34,求2q+3應(yīng)+6yz的值.

【答案】⑴(a+b)2=〃+2"+從，2a2+3ab+b2=[a+b)(2a+b)

(2)(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,①28②33

【分析】(1)從整體看，圖形為矩形，面積=長(zhǎng)、寬，從部分看，圖形為若干小矩形，面積等

于各部分的和，將圖形的面積用兩種方式表示即可解答；

(2)先根據(jù)圖形，得到一個(gè)等式，再根據(jù)這個(gè)等式，①將a+A+c=2,昉+Ac+叱=-12代

入即可解答；②根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算，將2'x4、'x82=1024整理為2計(jì)2>+%=2%得出

x+2y+3z=10,再結(jié)合前面的等式即可進(jìn)行解答.

【詳解】(1)解：由圖可知:圖一面積=(〃+"=6+2或+從,

由圖可知：圖二面積=2a2+3ab+b2=(a+b/2a+b),

故答案為：=a2+2ab+b2,2a~+3ab+b-=(a+b)(2a+b).

(2)由圖可知：?Hffi^R=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

①(a+b+c)'=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,a+b+c=2,ab+bc+ac=-12,

13a2+b2+c2=(a+b+c)’-(2ab+2ac+2bc)=22-2x(-12)=28,

(2),2rx4'x82=1024,

.-.2Ax22yx23l=1024,

.<2X+2y+3z_2’°,

x+2y+3z=10,

(x+2y+3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy+3xz+6yz),

X2+4>'2+9Z2=34,

102=34+2(2xy+3xz+6yz),

/.2xy+3xz+6yz=33.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)幾何面積進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的乘法和

因式分解的方法，將圖形的面積用兩種不同的方法表示出來(lái).

【融會(huì)貫通】

1.（2021秋?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)與寬分別為。、6的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為

14,面積為10,貝1/人+2/加+〃/的值為（）

b

A.2560B.490C.70D.49

【答案】B

【分析】利用面積公式得到aQlO，由周長(zhǎng)公式得到a+Q7,所以將原式因式分解得出

ab（a+b）2.將其代入求值即可.

【詳解】解：團(tuán)長(zhǎng)與寬分別為。、6的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為14,面積為10,

回aglO,a+Q7,

&a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ah+h2）

=ab（a+b）2

=10x72

=490.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解和代數(shù)式求值，準(zhǔn)確計(jì)算、整體代入求值是解題的關(guān)鍵.

2.（2021春?江蘇泰州?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+與的正方形A8CO分割成

四部分（邊長(zhǎng)分別為“，方的正方形、邊長(zhǎng)為。和6長(zhǎng)方形），請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)

題：

⑴請(qǐng)用兩種方法表示該正方形的面積（用含。、匕的代數(shù)式表示）①，（2）

由此可以得到一個(gè)等量關(guān)系是?

(2)若圖中。、〃滿足/+從=20,劭=2.5,求(a+b)的值.

閉若(5+3m)2+(2-3m)2=40,求(5+3加)(2-3〃?)的值.

⑷請(qǐng)利用上面的圖形分割方法進(jìn)行因式分解：a2+3ab+2b2=(直接寫(xiě)出分解結(jié)果即

可).

212

【答案】⑴(a+b)2，a2+2ab+tr>(a+b~)=a+2ah+b

(2)5

(3)4.5

⑷(a+?)(a+b)

【分析】(1)該正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，或兩個(gè)長(zhǎng)方形及兩個(gè)小正方形的面積之和;

(2)根據(jù)(a+6)-=〃+2m+〃，先求出(a+b)-,即可求出(a+8)的值;

(3)根據(jù)［(5+3??)+(2-3，")丁=(5+3"7y+(2-3/n)2+2(5+3m)(2-3/?)即可求解；

(4)利用圖形分割的方法畫(huà)出圖形，即可求解.

【詳解】(1)解：該正方形的面積可以表示為(。+32,也可以表示為/+2必+。2,

故答案為：(a+b『，a2+2ab+b2?(a+fe)-=a2+2ab+b2:

(2)解：a24-/?2=20,ab=2.5,

???(a+b)2=a2+2ab+b2=20+2x2.5=25，

，a+b=5或a+b=-5(舍去)，

即(a+b)的值為5

(3)解：［(5+3w)+(2-3/n)］2=(5+3w)2+(2-3/n)2+2(5+3w)(2-3/n),

即72=(5+3"2『+(2-3〃?)2+2(5+3〃?)(2-3m),

(5+3/n)2+(2-3/n)2=40,

72=40+2(5+3機(jī))(2—3m),

(5+3m)(2-3W)=1X(72-40)=4.5；

(4)解：如圖所示,

故答案為:(a+?)(a+b).

【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和因式分解的應(yīng)用，熟練運(yùn)用完全平方公式，并且能夠通

過(guò)圖形分割的方法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?北京西城?八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校校考期中)閱讀下列材料：

在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替(即換元)，不僅

可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分

解，我們把這種因式分解的方法稱(chēng)為"換元法"

下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式(J-4x+l)(x2-4x+7)-7進(jìn)行因式分解的過(guò)程

解：設(shè)①，將①帶入原式后，

原式=(y+D(y+7)-7(第一步)

=y2+8y(第二步)

=y(y+8)(第三步)

=(X2-4X)(X2-4X+8)(第四步)

請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：

⑴小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的方法；

(2)老師說(shuō)，小涵因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算得出該因式分解的最后結(jié)果；

⑶請(qǐng)你用"換元法”對(duì)多項(xiàng)式(丁+幻，+》+2)+(尤2+》+1)，+工一1)+1進(jìn)行因式分解

【答案】(1)提取公因式

(2)x(x-4)(x2-4x+8)

(3)2x(x+l)(x2+x+l)

【分析】(1)根據(jù)因式分解的方法判斷即可；

(2)因式分解必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止，將因式一一4萬(wàn)分解成

x(x-4)即可；

(3)用換元法設(shè)Y+x=r,代入多項(xiàng)式，然后仿照題干的換元法解答即可.

【詳解】(1)解：由題意得：從V+8y到y(tǒng)(y+8)運(yùn)用了因式分解中的提取公因式法

故答案為：提取公因式

(2)解：由題意得：

(爐—4X)(%2-4X+8)

=x(x-4)(x2-4x+8)

(3)解：設(shè)=將X?+x=，代入(X?+尤)(%2+x+2)+(f+工+1)(12+大一-1)+1中得：

r(r+2)+(r+l)(r-1)+1

原式=?+2，+*-i+i

=2t2+2t

=2?r+l)

=2(X2+X)(X2+X+1)

=2X(X+1)(A：2+X+])

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法和運(yùn)用，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用換元法對(duì)較為復(fù)雜的多項(xiàng)

式進(jìn)行因式分解，達(dá)到去繁化簡(jiǎn)的效果.

4.(2022秋?河南鶴壁?八年級(jí)校考期中)一個(gè)代數(shù)式，若字母取值為整數(shù)，它的結(jié)果一定是

偶數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)式子為"雙喜式”.例如：

①2",

回〃為整數(shù)，

回2〃是偶數(shù)，

回2〃是"雙喜式"；

②X?+X,

將其變形得好+了=犬(犬+1),

E1X為整數(shù)，

I3X與(X+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，必有一個(gè)偶數(shù)，

I3X(X+1)是偶數(shù)，

回Y+X是偶數(shù)，

I3f+x是"雙喜式".

⑴下列各式中，不是“雙喜式"的是()

A.6m；B.4y+2；C.(2"；D.x2

(2)求證：d-x是，，雙喜式，，.

【答案】⑴D

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)"雙喜式”的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案；

（2）根據(jù)“雙喜式"的定義，按照閱讀材料中的方法求證即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)“雙喜式”的定義，

A、6m,

團(tuán)為整數(shù)，

回6，”是偶數(shù)，

團(tuán)6機(jī)是"雙喜式"，不符合題意；

B、4y+2,

將其變形得4y+2=2（2y+l）,

團(tuán)y為整數(shù)，則2y+l為整數(shù)，

回2（2?+1）是偶數(shù)，

團(tuán)4y+2是“雙喜式"，不符合題意；

C、（2"，

（2以=8巴

回b為整數(shù)，則戶為整數(shù),

回8/是偶數(shù)，

回（2牙是"雙喜式"，不符合題意；

D、若取x=l,則Y=i,為奇數(shù)，/不是"雙喜式，，，符合題意，

故選：D；

（2）證明：^-^=^（%+1）（%-1）,

1ax為整數(shù)，

0（X-1）,X與（X+1）是三個(gè)連續(xù)整數(shù)，必有一個(gè)偶數(shù)，

回x（x+l）（x—l）是偶數(shù)，

回V—X是偶數(shù)，即V-X是“雙喜式”.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，涉及因式分解，讀懂題意，按照新定義要求分析求證是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?山東淄博?八年級(jí)統(tǒng)考期中）【知識(shí)再現(xiàn)】在研究平方差公式時(shí)，我們?cè)谶呴L(zhǎng)為a

的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形Ca>b）,如圖1,把余下的陰影部分再剪拼成一個(gè)

長(zhǎng)方形（如圖2）,根據(jù)圖1、圖2陰影部分的面積關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于“，匕的等式

①.

【知識(shí)遷移】在邊長(zhǎng)為a的正方體上挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為h（a泌）的小正方體后，余下的部分

（如圖3）再切割拼成一個(gè)幾何體（如圖4）

a"http://

b

圖4

圖3中的幾何體的體積為②.

圖4中幾何體的體積為③.

根據(jù)它們的體積關(guān)系得到關(guān)于a,b的等式為④.（結(jié)果寫(xiě)成整式的積的形式）

請(qǐng)按照要求在橫線處填上合適的式子.

【知識(shí)運(yùn)用】

（1）因式分解：8x3-1;

（2）已知a-8=4,ab-3,求的值.

W+r4153S-4-?

（3）有人進(jìn)行了這樣的化簡(jiǎn)芋4=型，3<=土，…面對(duì)這樣荒謬的約分，一笑

33+233+253+335+3

之后，再認(rèn)真檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果竟然是正確的！仔細(xì)觀察式子，我們猜想：

a3+b3_a+b

a3+（a—Z?）3a+（a-匕），

試說(shuō)明此猜想的正確性.(參考公式：x3+/=(x+y)(x2-^+y2))

【答案】①。--=(a+8)(。—b)；(2)ct3—;③)c「(a-b)+ab(a-b)+(a-b)；(4)

33222

a-b^(a-b)(a+ab+b);(1)(2x-l)(4x+2x+1)；(2)100；(3)正確，說(shuō)明見(jiàn)解析

【分析】①根據(jù)圖1和圖2圖形的面積相等列出等式即可；

②用體積公式表示圖3的體積；

③用體積公式表示圖4的體積；

④根據(jù)兩個(gè)圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒(méi)有改變列出等式即可；

(1)利用知識(shí)遷移中的結(jié)論，對(duì)8/-1進(jìn)行因式分解；

(2)利用結(jié)論對(duì)。3一"進(jìn)行變形，化為含有和必的式子，然后代入即可；

o'+h3

(3)利用知識(shí)遷移中的結(jié)論，對(duì)。3+._=3進(jìn)行變形化簡(jiǎn)即可求證結(jié)論;

22

【詳解】①根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得：a-b=(a+b)(a-b)f

故答案為：~b~=(a+b)(a—b)；

②根據(jù)圖3可知：體積為：a3-b\

故答案為：a3-by;

③根據(jù)圖4可知：體積為：〃2(々_力+曲〃—份+〃(〃_〃)，

故答案為：a~(ci-b)+cib(a—b)+b~(ci—b)；

④根據(jù)兩個(gè)圖形只是形狀發(fā)生變化，體積沒(méi)有改變可得：

a3-Z?3=a2^a-b^ab(a-b)+b2(?-/7)=(a-/7)(a2+aZ?+Z72),

a+b

故答案為:

a+(^a-b)

【知識(shí)運(yùn)用】(1)—1=(2x)3—1=(2x—l)(4f+2x+1)

(2)團(tuán)a-b=4,ab=3,

06f2+/?2=(〃一b)2+2ah=16+6=22

團(tuán)/一〃=3-6)(/+"+62)=4x(22+3)=100

/+〃(a+b)(a2-ab+b2)

(3)團(tuán)____________=__________________\____________L________

/+(a-，(a+a-b)(^a2-a2+ab+cr-2次?+/)

a+b_a+b

a+a-ba+(a-b)

a'+a+b

團(tuán)7不廣許這一猜想正確.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)對(duì)于形如爐+2奴+儲(chǔ)可用“配方法”將它分解成

(x+“)2的形式，如在二次三項(xiàng)式V+2(zr-3a2中先加上一項(xiàng)使它與/+2xa的和成為一

個(gè)完全平方式，再減去不,它不會(huì)改變整個(gè)式子的值，其變化過(guò)程如下：

x2+2ax—3a2=(x2+2ax+a1)—a1—3a2=(x+a)2-4a2={x+a)2—(2a)1=(x+3〃)(x-a)像這

種"因式分解"的方法稱(chēng)為"配方法"?請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

⑴利用"配方法”分解因式：x2+4xy-5y2；

(2)已知a,h,c是一ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2+o2+c2+5()=6a+8b+lOc,求J1BC的周長(zhǎng)；

⑶在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，請(qǐng)比較多項(xiàng)式2f+2x-3與f+3x-4的大小，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴(x+5y)(x—y)

⑵12

⑶2》2+2》-3>/+3》-4；見(jiàn)解析

【分析】(1)在原式中先加一項(xiàng)4)2,再減去4yt用完全平方公式對(duì)式子進(jìn)行因式分解，

最后利用平方差公式再進(jìn)行一次因式分解即可；

(2)根據(jù)題目中的式子，利用配方法進(jìn)行因式分解，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a,b,c的

值，算出一/3C的周長(zhǎng)即可；

(3)將兩式作差，和0比較大小即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：原式+4盯+49-4y2-5)、

=(x+2y)--9y2

=(x+2y+3A(x+2y_3y)

=(x+5y)(x-y)

(2)解：a2+h2+c2+50=6a+8b+l0c,

.?.〃-6a+9+尸-泌+16+/-10。+25+50-9-16-25=0,

則(a-3)2+(6_4『+(―5)2=o,

,a,b,c是JlBC的三邊長(zhǎng)，

a=3fb=4,c=5f

CABC=3+4+5=12；

(3)解：2%2+2x-3-(x?+3x—4)

—2x~+2x—3——3x+4

=x2-x+l

211l

44

7.(2022秋?海南海口?八年級(jí)海南華僑中學(xué)?？计谥?閱讀下列文字：我們知道，圖形是一

種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難

入微".例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

⑴如圖，利用陰影面積的不同表示方法寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：;

⑵解決問(wèn)題：如果a-b=5,ab=\2,求黯+"的值；

⑶類(lèi)比第(2)問(wèn)的解決方法探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為(x-2)和(x-6),且

(X-2)2+(X-6)2=30,求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.

【答案】⑴(。-6)2=/-2“6+從；

(2)49；

(3)7.

【分析】(1)根據(jù)圖形的面積的兩種不同的計(jì)算方法得到完全平方公式;

(2)根據(jù)完全平方公式變形即可求解；

(3)根據(jù)矩形的周長(zhǎng)和面積公式以及完全平方公式即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：方法一:通過(guò)觀察可得，陰影部分的長(zhǎng)為6,寬也為a-b,

即陰影部分為一個(gè)正方形，貝US陰=(。-加2；

方法二：邊長(zhǎng)為a的大正方形，減去2個(gè)長(zhǎng)為a,寬為b的長(zhǎng)方形，再加上多減掉一次的邊

長(zhǎng)為b的小正方形，

即為陰影部分的面積；則

-b)2=a2-2ab+b2；

(2)解：a—b=5,ab=12,

???/+/=(。一與2+2M=52+2X12=49；

(3)解：設(shè)%-6=Z?,

a—b=x—2—x+6=4,

(X-2)2+(X-6)2=30,

a2+h2=(a-h)2+lab=42+2ah=30,

ab=l9

所以長(zhǎng)方形的面積為：(x-2)(x-6)=必=7.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型四、因式分解求參

【解惑】

(2019秋,吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期中)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題.

【例題】已知關(guān)于x的多項(xiàng)式丁-以+機(jī)有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式及切的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為。+〃)，

貝ljx2—4x+m=(x+3)(x+n),HPx2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.

fn+3=-4,[w=-21,

???t解得7

\3n=m.[雇=—7.

回另一個(gè)因式為(x-7),加的值為-21.

【問(wèn)題】仿照以上方法解答下面問(wèn)題：

(1)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式d+7x+a有一個(gè)因式是(x-2),求另一個(gè)因式及“的值.

(2)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式2x2+3x-4有一個(gè)因式是(x+4),求％的值.

【答案】(1)(x+9),-18；(2)20.

【分析】(1)按照例題的解法，設(shè)另一個(gè)因式為(x+b),則x2+7x+a=(x-2)(x+6),展開(kāi)

后對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可求出a,b的值，進(jìn)而得到另一個(gè)因式；

（2）同理，設(shè)另一個(gè)因式為（2x+〃）,則2/+3%-左=（x+4）（2x+/z）,展開(kāi)后對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,

可求出k的值.

【詳解】解：⑴設(shè)另一個(gè)因式為（x+A）

則f+7x+”=(x—2)(x+h),即f+7X+Q=x?+(/?—2)x-2Z?.

8-2=7,tz=-18,

0解得

a=-2b.b=9.

回另一個(gè)因式為（x+9）,a的值為-18.

（2）設(shè)另一個(gè)因式為（2x+〃），

貝lj2d+3x—&=(x+4)(2x+〃)，HP2x2+3x-k=2x2+(h+8)x+4h.

/?+8=3,h=-5,

0解得

-k=4h.々=20.

回％的值為20.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握兩個(gè)多項(xiàng)式相等，則對(duì)應(yīng)系數(shù)相等是關(guān)鍵.

【融會(huì)貫通】

1.（2022秋?上海松江?七年級(jí)校考期中）已知多項(xiàng)式加+法+0?分解因式得（x-3乂》+2）,

則。，b,c的值分別為（）

A.1,-1,6B.111,-6C.19-1,-6D.1,1,6

【答案】C

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則將（X-3/X+2）展開(kāi)，分別對(duì)應(yīng)以2+法+C即可得

出答案.

【詳解】解：（x-3）（x+2）=％2-x-6,

團(tuán)多項(xiàng)式ax?+fer+c分解因式得（工一3）（工+2）,

回。=1,/?=一1,。=一6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，也可根據(jù)十字相乘法因式分解得

c=-3x2=—6,力=—3+2=—1,4=1x1=1進(jìn)行求解.

2.（2022春?四川達(dá)州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知多項(xiàng)式2f+法+c分解因式的結(jié)果為

2（x—2）（x+l）,則奶—0的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】把2（x-2）（x+l）根據(jù)乘法法則計(jì)算后與2x?+法+c比較即可.

【詳解】解:2（x-2）（x+l）

=2（X2+X-2X-2）

=2/+2x?4x-4

=2X2-2X-4,

22

團(tuán)2x+bx+c=2x-2x-4f

M=-2,c=-4,

.\2&-c=2x（-2）-（^l）=0

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，熟練掌握因式分解與乘法

運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2022春,浙江紹興,七年級(jí)校聯(lián)考期中）多項(xiàng)式77f_13工-30可因式分解成

（7x+a）（t>x+c）,其中。，b,c均為整數(shù)，6+ac的值為（）

A.0B.10C.22D.-19

【答案】D

【分析】根據(jù)已知可得77/-131-3（）=（7了+0）（笈+c）,然后利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，從而可得7b=77,"+7c=-13,ac=-30,進(jìn)而求出。的值，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：77x2-13x-30=（7x+?）（te+c）,

.'.Tlx1-13x-30=7bx2+abx+lcx+ac

.,.77x2-13x-3O=7Z>x2+（而+7c）x+ac,

...78=77,ab+7c=-l3,ac=-3（）,

."+ac=ll-30=-19,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查/因式分解-十字相乘法，熟練掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

4.（2022秋?湖南永州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）若（x+2）是多項(xiàng)式4/+5x+加的一個(gè)因式，則相等

于（）

A.-6B.6C.-9D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，一個(gè)因式（x+2）,可得另

一個(gè)因式，即可得答案.

【詳解】解：回4/+5工+,"=（x+2）（4x+n）=4/+（8+〃）尢+2”

08+77=5,m-2n,

勖?=-3,m=-6

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出

m的值.

5.(2021春?四川成都?八年級(jí)校考期中)已知二次三項(xiàng)式f-4x+m有一個(gè)因式是(x-3),

則m值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)二次三項(xiàng)式V-4x+/n有一個(gè)因式是(x-3),且

x2-4x+m=x2-3x-x+m=x(x-3)-(x-m),即可得至的值.

【詳解】解：國(guó)二次三項(xiàng)式丁-4》+%有一個(gè)因式是(x-3),

x2-4x+m=x2-3x-x+m=x(x-3)-(x-m),

Sx-m=x-3,

m=3,

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是湊因式(x-3).

6.(2022秋?四川眉山?八年級(jí)?？计谥?若多項(xiàng)式/-〃氏+〃(加，"是常數(shù))分解因式后，

a'"

有一個(gè)因式是x-2,則代數(shù)式一的值為

3”

【答案】81

【分析】設(shè)另一個(gè)因式為x-a,因?yàn)檎匠朔ㄊ且蚴椒纸獾哪孢\(yùn)算，所以將兩個(gè)因式相乘后

結(jié)果得/-(0+2萬(wàn)+2“，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)相等列式，計(jì)算可得2〃L”=4.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為x-a,

貝ljx?-OTV+〃=(x-2)(x-a)=x2—ax-2x+2a=x2-(a+2)x+2a,

[?+2=m(D

得|〃=2a②'

由①得：a=m-2③,

把③代入②得：幾=2(m-2),即2時(shí)〃=4,

QIIIo2/n

—=—=32m-n=34=81=34=81,

3"3”

故答案為：81.

【點(diǎn)睛】本題是因式分解的意義和同底數(shù)毒的除法，因式分解與整式乘法是相反方向的變形,

二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式；因此具體作法是：按多項(xiàng)式法則將分解的兩個(gè)因式相乘,

7.(2021秋?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期中)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：

例題：已知：二次三項(xiàng)式x2-4x+〃?有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及，〃的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+〃)，得

x2-4x+m=(x+3)(x+n),

貝！Ix2-4A+/H=JC2+(n+3)x+3n

[n+3=-4

解得："=-7,m--21

回另一個(gè)因式為(x-7),機(jī)的值為-21.

問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：

已知二次三項(xiàng)式2x2+3x-&有一個(gè)因式是(%-5),求另一個(gè)因式以及女的值.

【答案】另一個(gè)因式為(2x+13),%的值為65.

【分析】設(shè)另一個(gè)因式為(女+〃)，根據(jù)題意列出等式，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等列出得到關(guān)于a

和k的方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為(Zr+a),得2/+3x-%=(x-5)(2x+q)

貝lj2/+3x-k=2x2+(a-10)x-5a

"10=3

0.,>

[-5a=-k

解得：a=13,k=65.

故另一個(gè)因式為(2x+13),我的值為65.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解和整式乘法的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出另一個(gè)因式列

出等式求解.

類(lèi)型五、十字相乘法

【解惑】

(2021秋?湖南懷化?七年級(jí)?？计谥?閱讀下列材料：

材料1：將一個(gè)形如f+px+q的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，如果能滿足4=〃加，且〃=加+〃，

則可以把V+px+q分解因式成(x+〃?)(x+”).例如：①f+5x+6=(x+2)(x+3)；②

X2-5x-6=(%-6)(%+1).

材料2：因式分解：4(x+y>+4(x+y)+l.

解：將"x+y"看成一個(gè)整體，令x+y=m,則原式=4〃[2+4，"+1=(2m+1)2.

再將"旭”還原，得原式=(2x+2y+lf.

上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題.

⑴根據(jù)材料1,分解因式：x2-7x4-12.

⑵結(jié)合材料1和材料2,完成下面小題：

①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3.

②分解因式：(a+b)(a+b-2)-3.

【答案】⑴(X-3)(X-4)

(2)①(x-y+l)(x-y+3)；②(“+￡?-3)(a+b+l)

【分析】(1)將X2-7X+12寫(xiě)成X2+(-3-4)X+(-3)X(-4),根據(jù)材料1的方法可得

(x-3)(x-4))即可；

(2)①令x-y=A,原式可變?yōu)锳2+4A+3,再利用十字相乘法分解因式即可；

②令Bib,原式可變?yōu)?(8-2)-3,即B