江蘇無(wú)錫市玉祁高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上第一次月考試卷【含答案】

江蘇無(wú)錫市玉祁高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上第一次月考試卷一．選擇題（共7小題）1．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A． B． C． D．2．已知平面α的一個(gè)法向量為＝（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），且A?α，B∈α，則點(diǎn)A到平面α的距離為（）A． B． C． D．13．如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB、AC，M、N分別是對(duì)邊OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且＝2，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)＝x+y+z，則x、y、z的值分別是（）A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝ C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝

4．設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為（8，6，4），則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A．（10，12，14） B．（14，12，10） C．（12，14，10） D．（4，3，2）5．設(shè)A（﹣2，3），B（1，2），若直線ax﹣y﹣1＝0與線段AB相交，則a的取值范圍是（）A．[﹣2，3] B．（﹣2，3） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）6．設(shè)定點(diǎn)A（2，1），B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C是直線y＝x+1上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C． D．

7．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)H在棱AA1上，且，在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長(zhǎng)為的正方形EFGC1，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，HP的最小值是（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）8．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），且點(diǎn)A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（）A．2x+3y﹣18＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．x+2y+2＝0 D．2x﹣3y+6＝0（多選）9．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D為原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（）A．BD′⊥AC B．平面A′C′D的一個(gè)法向量為（﹣2，﹣3，6） C．異面直線A′D與BD′所成角的余弦值為 D．平面C′A′D與平面A′DD′夾角的余弦值為

（多選）10．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB1，DD1交于M，N．設(shè)BM＝x，x∈[0，1]，以下正確的是（）A．平面MENF⊥平面BDD1B1 B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形MENF的面積最小 C．四邊形MENF的周長(zhǎng)L＝f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù) D．四棱錐C1﹣MENF的體積V保持不變?nèi)羁疹}（共3小題）11．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則AC1與面ABB1A1所成的角為．12．直線l經(jīng)過(guò)A（2，1），B（1，m2）兩點(diǎn)（m∈R），那么直線l的傾斜角的取值范圍是．

13．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為12，點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離為．四．解答題（共2小題）14．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求點(diǎn)D到平面PBC的距離；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

15．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．（1）若|AB|＝3，求△OAB的面積的最大值和取得△OAB面積最大值時(shí)的直線AB的方程；（2）設(shè)|OA|＝a，|OB|＝b，若，求證：直線AB過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：因?yàn)榭臻g向量，，所以＝10，，所以向量在向量上的投影向量為＝．故選：C．2．【解答】解：＝（﹣1，﹣1，2）故點(diǎn)A到平面α的距離為，故選：B．3．【解答】解：∵M(jìn)、N分別是對(duì)邊OA、BC的中點(diǎn)，∴，．∴＝＝＝＝＝＝，因此，．故選：D．4．【解答】解：由已知得＝＝+6（）+4（）＝12+14+10＝（12，14，10）．故選：C．5．【解答】解：如下圖，直線ax﹣y﹣1＝0過(guò)定點(diǎn)C（0，﹣1），斜率為a，且與線段AB相交，即過(guò)定點(diǎn)C（0，﹣1），斜率為a的直線l繞點(diǎn)C從CB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CA，中間經(jīng)過(guò)y軸，則a≤kCA或a≥kCB，因?yàn)椋?，所以則a≤﹣2或a≥3，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．故選：D．6．【解答】解：設(shè)定點(diǎn)A（2，1），B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C是直線y＝x+1上的動(dòng)點(diǎn)，如圖，設(shè)點(diǎn)A（2，1）關(guān)于直線l：y＝x+1的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x1，y1），則由AA′⊥l，AA′的中點(diǎn)在直線l上可得：，解得，即A′（0，3），作點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A″（2，﹣1），連接A′A″，交直線y＝x+1于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)B，則AC＝A′C，AB＝A″B，此時(shí)△ABC周長(zhǎng)最小，∴△ABC周長(zhǎng)的最小值為．故選：B．7．【解答】解：根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)P（x，1，z），（0≤x≤1，0≤z≤1）∵點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長(zhǎng)，∴，化簡(jiǎn)得，則6x﹣1≥0，解不等式可得，又0≤z≤1，可得≤，解得x≤，綜上可得≤x≤．，所以當(dāng)時(shí)，HP取最小值．故選：D．二．多選題（共3小題）8．【解答】解：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），且點(diǎn)A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直線l的距離相等，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3，此時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離為5，點(diǎn)B到直線l的距離為1，此時(shí)不成立；當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，∴點(diǎn)A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直線l的距離相等，∴＝，解得k＝﹣，或k＝2，當(dāng)k＝﹣時(shí)，直線l的方程為，整理得2x+3y﹣18＝0，當(dāng)k＝2時(shí)，直線l的方程為y﹣4＝2（x﹣3），整理得2x﹣y﹣2＝0．綜上，直線l的方程可能為2x+3y﹣18＝0或2x﹣y﹣2＝0．故選：AB．9．【解答】解：由題意可得A（3，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D′（0，0，1），A′（3，0，1），C′（0，2，1），B′（3，2，1），選項(xiàng)A：，，即BD′⊥AC不成立；選項(xiàng)B：設(shè)平面A′C′D的一個(gè)法向量為，由，則，即，所以，取z＝6，得；選項(xiàng)C：，所以，所以異面直線A′D與BD′所成角的余弦值為；選項(xiàng)D：由上可得平面A′C′D的一個(gè)法向量為，又平面A′DD′的法向量為，則，所以兩個(gè)平面夾角的余弦值為，則D正確．故選：BD．10．【解答】解：對(duì)于A，連接EF，BD，B1D1，AC，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則，由BB1∥FC且EA∥BB1，得EA∥FC，則四邊形EACF是平行四邊形，則EF∥AC，由正方形ABCD中，AC⊥BD，由BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥AC，又BB1∩BD＝B，BB1?平面BDD1B1，BD?平面BDD1B1，則AC⊥平面BDD1B1，則EF⊥平面BDD1B1，又EF?平面MENF，所以平面MENF⊥平面BDD1B1，故A正確；對(duì)于B，連接MN，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB1，DD1交于M，N，即平面EMFN∩平面A1B1BA＝EM，平面EMFN∩平面D1C1CD＝NF，平面A1B1BA∥平面D1C1CD，所以EM∥NF，同理可得EN∥MF，則四邊形MENF是平行四邊形，因?yàn)镋F⊥平面BDD1B1，MN?平面BDD1B1，所以EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．設(shè)MN∩EF＝O，則O為EF的中點(diǎn)，如圖，在正方形BCC1B1中，過(guò)M作MM1⊥C1C，垂足為M1，則，在Rt△MOF中，，則，四邊形MENF的對(duì)角線，四邊形MENF的面積，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形MENF的面積最小，且最小值為1，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．則四邊形MENF的周長(zhǎng)，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)L＝f（x），x∈[0，1]不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四棱錐可分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C1EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐M﹣C1EF，N﹣C1EF，因?yàn)槿切蜟1EF的面積是常數(shù)，又BB1∥CC1，CC1?平面A1ACC1，BB1?平面A1ACC1，則BB1∥平面A1ACC1，又點(diǎn)M∈BB1，則M到平面C1EF的距離即點(diǎn)B到平面AA1C1C的距離，是常數(shù)，同理，則N到平面C1EF的距離也是常數(shù)，所以四棱錐C1﹣MENF的體積是常數(shù)，即四棱錐C1﹣MENF的體積V保持不變，故D正確．故選：ABD．三．填空題（共3小題）11．【解答】解：取A1B1中點(diǎn)D，連結(jié)C1D，AD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2，∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴AC1與面ABB1A1所成的角為∠DAC1，∵C1D＝＝，AD＝＝3，∴tan∠DAC1＝＝，∴∠DAC1＝．∴AC1與面ABB1A1所成的角為．故答案為：．12．【解答】解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，0≤θ＜π，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得AB的斜率為K＝＝1﹣m2，易得k≤1，由傾斜角與斜率的關(guān)系，即tanθ≤1，由正切函數(shù)的圖象，可得θ的范圍是．13．【解答】解：由正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為12，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則，解得，如圖，取AD的中點(diǎn)為E，則，顯然，當(dāng)PE的長(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為O，可求得，則球心O到點(diǎn)E的距離，所以內(nèi)切球上的點(diǎn)P到點(diǎn)E的最小距離為，即當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離為．故答案為：．四．解答題（共2小題）14．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，又AB⊥BC，且AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，在平面PAB內(nèi)作AH⊥PB，垂足點(diǎn)為H，則易得AH⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距離為AH，又AB＝AP＝1，且易得AP⊥AB，∴AH＝PB＝，易知AD∥平面PBC，∴點(diǎn)D到平面PBC的距離等于A到平面PBC的距離，∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為AH＝；（2）易知AP，AB，AD兩兩相互垂直，建系如圖，∵AB＝1，AD＝3，∠ADC＝45°，∴可得BC＝2，∴B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0），∴，，，設(shè)平面PBC的法向量為，平面PCD的法向量為，則，，取，，又兩法向