第二章第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程不等式

第三節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象,會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù),以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.考情分析考點(diǎn)考法:本節(jié)是高考的必考內(nèi)容之一,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等內(nèi)容相結(jié)合命題,重點(diǎn)考查不等式的求解等問題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數(shù),a≠0).2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).【微點(diǎn)撥】二次函數(shù)的零點(diǎn)為對(duì)應(yīng)方程的根,是一個(gè)實(shí)數(shù),不是點(diǎn)的坐標(biāo).3.三個(gè)二次的對(duì)應(yīng)關(guān)系(其中a>0)判別式Δ=b24acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1,或x>x2}__R__ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}??【微點(diǎn)撥】1.解一元二次不等式一定要結(jié)合二次函數(shù)開口方向和不等號(hào)的方向下結(jié)論.2.若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集為(m,n),則x=m與x=n為一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個(gè)根.4.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(∞,a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集為(a,a).【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1和x2B.若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0C.不等式x2≤a的解集為[a,a]D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為R【解析】選AB.C.對(duì)于不等式x2≤a,當(dāng)a>0時(shí),其解集為[a,a];當(dāng)a=0時(shí),其解集為{0},當(dāng)a<0時(shí),其解集為?.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集為?.2.(必修第一冊(cè)P52例3變條件)不等式x25x+6≥0的解集為 ()A.{x|6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤6}【解析】選A.不等式x25x+6≥0可化為x2+5x6≤0,即(x+6)(x1)≤0,解得6≤x≤1,所以不等式的解集為{x|6≤x≤1}.3.(必修第一冊(cè)P55習(xí)題2.3T3變條件)已知集合A=x|x2-2x-3≤0,B=xy=A.2,3 B.2,3C.2,3 D.2,3【解析】選C.因?yàn)閤22x3≤0,所以x+1x-3≤0,即1≤x≤3,所以A=x|-1≤x≤3,B=x|x4.(忽略a=0的情形致誤)不等式ax2ax+a+1>0對(duì)?x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.0,+∞B.0,+∞C.-∞,-43D.-∞,-43【解析】選B.①當(dāng)a=0時(shí),1>0成立,②當(dāng)a≠0時(shí),只需a>0解得a>0,綜上可得a≥0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,+∞.【巧記結(jié)論·速算】1.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足a>02.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為?,則一定滿足a<03.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足a<04.已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為?,則一定滿足a>0【即時(shí)練】1.“3<m<1”是“不等式m-1x2+m-1x1<0對(duì)任意的x∈R恒成立”的 (A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當(dāng)m=1時(shí),m-1x2+m-1x1<0對(duì)任意的x∈R當(dāng)m≠1時(shí),則m<1Δ<0,解得3<m<1,故m的取值范圍為{m|3<故“3<m<1”是“3<m≤1”的充分不必要條件.2.若關(guān)于x的不等式mx2mx1≥0的解集是?,則m的取值范圍是 ()A.[4,0] B.(4,0]C.[0,4) D.(4,0)【解析】選B.當(dāng)m=0時(shí),mx2mx1≥0即1≥0,解集是?,當(dāng)m≠0時(shí),不等式mx2mx1≥0的解集是?,需滿足m<0解得4<m<0,所以m的取值范圍是(4,0].【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一一元二次不等式的解法【考情提示】一元二次不等式是高考的熱點(diǎn)問題,它常與集合的交集、并集、補(bǔ)集相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題中.含參數(shù)的一元二次不等式常與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相交匯出現(xiàn)在解答題中,重點(diǎn)考查分類討論思想和推理論證能力.角度1不含參數(shù)的一元二次不等式[例1]解下列不等式:(1)2x2+5x3<0;(2)3x2+6x≤2;(3)9x26x+1>0;(4)x2<6x10.【解析】(1)因?yàn)棣?49>0,所以方程2x2+5x3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=3,x2=12畫出函數(shù)y=2x2+5x3的圖象,如圖①所示.由圖可得原不等式的解集為{x-3<x<(2)原不等式等價(jià)于3x26x+2≥0.因?yàn)棣?12>0,所以方程3x26x+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=3-33,x2=3+33,畫出函數(shù)y=3x26x+2的圖象,如圖②所示,由圖可得原不等式的解集為{(3)因?yàn)棣?0,所以方程9x26x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,解得x1=x2=13.畫出函數(shù)y=9x26x+1的圖象如圖③所示.由圖可得原不等式的解集為{xx≠(4)原不等式可化為x26x+10<0,因?yàn)棣?4<0,所以方程x26x+10=0無(wú)實(shí)數(shù)根,畫出函數(shù)y=x26x+10的圖象如圖④所示,由圖象可得原不等式的解集為?.【解題技法】解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化:把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2)判:計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式,根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無(wú)實(shí)根時(shí),不等式的解集為R或?).(3)求:求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集.角度2含參數(shù)的一元二次不等式[例2]解關(guān)于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a24.①當(dāng)Δ=a24≤0,即2≤a≤2時(shí),原不等式無(wú)解.②當(dāng)Δ=a24>0,即a>2或a<2時(shí),方程x2+ax+1=0的兩根分別為x1=-ax2=-a-x-綜上所述,當(dāng)2≤a≤2時(shí),原不等式無(wú)解;當(dāng)a>2或a<2時(shí),原不等式的解集為x-(2)若a=0,原不等式等價(jià)于x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等價(jià)于x-1a(x1)>0,解得x<1a若a>0,原不等式等價(jià)于x-1a(x1①當(dāng)a=1時(shí),1a=1,x-1a(②當(dāng)a>1時(shí),1a<1,解x-1a(x1)<0,得③當(dāng)0<a<1時(shí),1a>1,解x-1a(x1)<0,得1<綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),解集為{x|x<1a或x當(dāng)a=0時(shí),解集為{x|x>1};當(dāng)0<a<1時(shí),解集為{x|1<x<1a當(dāng)a=1時(shí),解集為?;當(dāng)a>1時(shí),解集為{x|1a<x<1}【解題技法】解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí),應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的關(guān)系.(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集;確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·莆田模擬)不等式1-xx-3<0的解集是A.-1,3B.-3,1C.{xx<1或x>3}D.{xx<3或x>1}【解析】選C.由1-xx-3<0,可得(x1)(x3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集為{xx<1或2.不等式-2x+5x【解析】不等式-2x+5x-2>0等價(jià)于-2解得2<x<52所以不等式-2x+5x-2答案:x3.(2024·玉林模擬)已知關(guān)于x的不等式ax2b≥2xaxa,(1)若不等式的解集為x-2≤x≤-1,求a,(2)若a<0,b=2,解不等式.【解析】(1)原不等式可化為ax2+a-2xb由題知,2,1是方程ax2+a-2xb=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系得a<0-a(2)當(dāng)a<0時(shí),原不等式化為x-當(dāng)2a>1,即a<2時(shí),解原不等式可得1≤x≤2當(dāng)2a=1,即a=2時(shí),原不等式即為x+12≤0,解得當(dāng)2a<1,即2<a<0時(shí),解得2a≤x綜上所述,當(dāng)2<a<0時(shí),不等式的解集為x2當(dāng)a=2時(shí),不等式的解集為-1;當(dāng)a<2時(shí),不等式的解集為x-1≤考點(diǎn)二三個(gè)二次的關(guān)系[例3](1)(2024·通遼模擬)已知不等式ax2+bx1>0的解集為x-12<x<-13,則不等式xA.{x|x≤3或x≥2}B.{x|3≤x≤2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|x≤2或x≥3}【解析】選A.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx1>0的解集為x-所以ax2+bx1=0的兩根分別為12,13,即-12+-13=-所以不等式x2bxa≥0可化為x2+5x+6≥0,其解集為{x|x≤3或x≥2}.(2)(多選題)(2024·安慶模擬)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為x-12<xA.b>0B.c>0C.a+b+c>0D.ab+c>0【解析】選ABC.由題意可知,方程ax2+bx+c=0的解為x1=12,x2=2,且a則ba=x1+x2=32,ca=x1x解得b=32a,c=a令fx=ax2+bx+c=ax232axaa對(duì)于A,b=32a>0,故A正確對(duì)于B,c=a>0,故B正確;對(duì)于C,a+b+c=f1=a32aa=32a>0,故C對(duì)于D,ab+c=f-1=a+32aa=32a<0,故D【解題技法】一元二次不等式與方程的關(guān)系的解題策略1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(多選題)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為xm<x<n,其中n>mA.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集為xD.cx2+bx+a>0的解集為xx<【解析】選ABC.因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c>0的解集為xm<x<n,所以a因?yàn)閚>m>0,令fx=ax2+bx+c,所以b2a>0,即b>0,故B由上所述,易知f0<0,c<0,由題意可得m,n為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根,則m+n=ba,mn=c則1n·1m=ac,1n+1m即1n,1m為方程cx2+bx+a=0則不等式cx2+bx+a>0的解集為x1n<x<1m考點(diǎn)三一元二次不等式恒(能)成立問題角度1在R上的恒成立問題[例4](2024·重慶模擬)當(dāng)a∈(t1,t2)時(shí),不等式2-ax-x21-x+x2<3對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則A.7 B.6 C.7 D.8【解析】選B.由于1x+x2=(x-12)2+34>0,則不等式2-ax-x依題意,不等式4x2+(a3)x+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則Δ=(a3)216<0,解得1<a<7,于是t1=1,t2=7,所以t1+t2=6.【解題技法】ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的條件1.ax2+bx+c>0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c>0或(2)a>02.ax2+bx+c<0的解集為R,則一定滿足(1)a=b=0,c<0或(2)a<0角度2在給定區(qū)間上的恒成立問題[例5]金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰(1)(一題多法)若對(duì)于x∈[1,3],mx2mx+m6<0(m≠0)恒成立,則m的取值范圍是________.

【解析】由已知得,m(x12)2+34m6<0(m≠0)在x∈[1,3]方法一:令g(x)=m(x12)2+34m6(m≠0),x∈[1,3].當(dāng)m>0時(shí),g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)max=g(3)=7m6<0,所以m<67,則0<m<67.當(dāng)m<0時(shí),g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(1)=m6<0,所以m<6,綜上所述,m的取值范圍是{m0<m方法二:因?yàn)閤2x+1=(x12)2+34>0,又因?yàn)閙(x2x+1)6<0,所以m<6x2-x+1.因?yàn)楹瘮?shù)y=6x2-x+1=6(x-12)

2+答案:{m0<(2)若mx2mx1<0對(duì)于m∈[1,2]恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________.

【解析】設(shè)g(m)=mx2mx1=(x2x)m1,其圖象是直線,當(dāng)m∈[1,2]時(shí),圖象為一條線段,則g(1)<0,g(2)<0,即x2-x-1<0,2x2-2x-1<0,解得1-3答案:(1-32,【解題技法】在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.(3)對(duì)于以下兩種題型,可以利用二次函數(shù)在端點(diǎn)m,n處的取值特點(diǎn)確定不等式求范圍.①ax2+bx+c<0(a>0)對(duì)x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)對(duì)x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道誰(shuí)的范圍,就選誰(shuí)當(dāng)主元;求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).如本例(1)中建立關(guān)于x的函數(shù),m為參數(shù),本例(2)中建立關(guān)于m的函數(shù),x為參數(shù).角度3不等式能成立或有解問題[例6](一題多法)若關(guān)于x的不等式x2ax+7>0在2,7上有實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是 ()A.-∞,8 B.-∞,8C.-∞,27 D.【解析】選A.方法一:(分離參數(shù)法)不等式x2ax+7>0在2,7上有實(shí)數(shù)解,等價(jià)于不等式a<x+7x在2,7上有實(shí)數(shù)解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+7x在(2,7)上單調(diào)遞減,在(7,7)上單調(diào)遞增又由f(2)=2+72=112,f7=7+所以fxmax<f7=8,所以a<8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,8方法二:(最值轉(zhuǎn)化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2ax+7>0在(2,7)上無(wú)解,則4-2a+7≤049-7a+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2ax+7>0在【解題技法】一元二次不等式在給定區(qū)間上的有解問題解題策略(1)分離參數(shù)法:把不等式化為a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值轉(zhuǎn)化法;若f(x)>0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)圖象列出約束條件求解.(4)最后一定要注意檢驗(yàn)區(qū)間的開閉.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·大同模擬)已知命題p: