理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫試題微專題4高考中的立體幾何問題（考題幫數(shù)學(xué)理）

微專題4高考中的立體幾何問題一、選擇題(每小題5分,共30分)1.一個多面體的三視圖如圖41所示,則此多面體的表面積是()圖41A.22 B.242 C.22+2 D.20+22.如圖42,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫的是某組合體的三視圖,則該組合體的體積是()圖42A.233+23π B.233+163πC.4+1633.已知正方體ABCDA1B1C1D1的所有頂點均在球O的表面上,E,F,G分別為AB,AD,AA1的中點,若平面EFG截球O所得圓的半徑為153,則該正方體的棱長為()A.15 B.10 C.3 D.24.[數(shù)學(xué)文化題]如圖43為中國傳統(tǒng)智力玩具魯班鎖,它起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分嚙合,外觀看是嚴絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱,六根完全相同的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來.現(xiàn)有一魯班鎖的正四棱柱的底面正方形的邊長為2,欲將其放入球形容器內(nèi)(容器壁的厚度忽略不計),若球形容器的表面積的最小值為56π,則正四棱柱的高為()A.6 B.223 C.6 D.2515.[數(shù)學(xué)文化題]中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細沙全部在上部容器中,細沙通過連接管道流到下部容器.如圖44所示,某沙漏由上、下兩個圓錐形容器組成,圓錐形容器的底面圓的直徑和高均為8cm,細沙全部在上部時,其高度為圓錐形容器高度的23(細管長度忽略不計).若細沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為()圖44A.2cm B.43cm C.83cm D.6.如圖45,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2AB,E,F分別為BC,BB1的中點,M,N分別為AA1,A1C1的中點,則直線MN與EF所成角的余弦值為()圖45A.35 B.32C.12二、填空題(每小題5分,共10分)7.若側(cè)面積為8π的圓柱有一外接球O,則當(dāng)球O的體積取得最小值時,圓柱的表面積為.

8.如圖46,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,作以A為頂點,分別以AB,AD,AA1為軸,底面圓半徑為r(0<r≤1)的圓錐.當(dāng)半徑r變化時,正方體挖去三個14圓錐部分后,余下的幾何體的表面積的最小值是圖46三、解答題(共48分)9.(12分)如圖47,在直角△ABC中,∠BAC=60°,點F在斜邊AB上,且AB=4AF,D,E是平面ABC同一側(cè)的兩點,AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,AD=3,AC=BE=4.(1)求證:平面CDF⊥平面CEF;(2)若M是線段CB的中點,求異面直線CF與EM所成角的余弦值.圖4710.(12分)如圖48所示,在多面體ABDA1B1C1D1中,四邊形A1B1C1D1,ADD1A1,ABB1A1均為正方形,點M是BD的中點,點H在C1M上,且A1H與平面ABD所成角的正弦值為33(1)證明:B1D1∥平面BC1D;(2)求二面角AA1HB的大小.圖4811.(12分)在如圖49所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.(1)在線段AB(含端點)上是否存在一點P,使得FP∥平面AED?若存在,求出APAB的值;若不存在,請說明理由(2)求直線AF與平面BDF所成角的正弦值.圖4912.(12分)如圖410(1),正方形ABCD的邊長為4,AB=AE=BF=12EF,AB∥EF,把四邊形ABCD沿AB折起,使得AD⊥底面AEFB,G是EF的中點,連接BG,如圖410(2)(1)求證:AG⊥平面BCE;(2)求二面角CAEF的余弦值.(1)(2)圖410答案1.C根據(jù)題中三視圖知,該多面體是從一個棱長為2的正方體的左上角截去一個直三棱柱后剩余的部分,因此其表面積為6×221×1×2+2×1=22+2,故選C.2.D觀察題中三視圖可知該組合體的上面是三棱錐,下面是半徑為1的半球,其直觀圖如圖D41所示.圖D41解法一如圖D42所示,將組合體中三棱錐ABEF“補”成正方體,頂點A,B,E,F分別是正方體的棱的中點.取EF的中點C,連接AC,BC,則EF⊥平面ABC,由已知得,EF=AB=2,AC=BC=5,所以S△ABC=12×2×2=2,三棱錐ABEF的體積V1=13×S△ABC×EF=43,半球的體積V2=12×43π×13=23π.所以該組合體的體積V=V1+V2=4圖D42解法二如圖D43所示,將組合體中的三棱錐ABEF“補”成正方體,頂點A,B,E,F分別是正方體的棱的中點,取AB的中點G,過EF和點G作截面EFDC,則截面EFDC將三棱錐ABEF分成兩個相同的小三棱錐,且AG=1,S△EFG=12×2×2=2,所以三棱錐ABEF的體積V1=2×13×S△EFG×AG=43,半球體積V2=12×43π×13=23π,所以該組合體的體積V=V1+V2=4圖D433.D設(shè)正方體的棱長為a,則AC1=3a,由正方體ABCDA1B1C1D1的外接球球心O為對角線AC1的中點,可知球O的半徑R=32a,因為E,F,G分別為AB,AD,AA1的中點,所以EF=EG=FG=22a,所以△EFG為等邊三角形,S△AEF=12×a2×a2=a28,S△EFG=12×2a2×2a2×32=3a28.設(shè)點A到平面EFG的距離為h,由等體積法得S△AEF×AG×134.C設(shè)正四棱柱的高為h,表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為4,2,h的長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為R,則4πR2=56π,所以4R2=56.又(2R)2=42+22+h2,所以56=20+h2,解得h=6.故選C.5.D由題意可知,開始時,沙漏上部分圓錐形容器中的細沙的高為H=23×8=163,底面半徑為r=23×4=83,故細沙的體積V=13πr2H=13π×(83)2×163=1024π81.當(dāng)細沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為4,設(shè)其高為H',則V=13π6.C解法一如圖D44,在原三棱柱的上方,再放一個完全一樣的三棱柱,連接AC1,CB1,C1B',易得MN∥AC1,EF∥CB1∥C1B',圖D44那么∠AC1B'或∠AC1B'的補角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA1=2AB=2a,則AC1=C1B'=3a,連接AB',則AB'=a2+(2由余弦定理,得cos∠AC1B'=(3a)則直線MN與EF所成的角為∠AC1B'的補角,其余弦值為12.故選C解法二如圖D45,連接AC1,C1B,CB1,圖D45設(shè)C1B,CB1交于點O,取AB的中點D,連接CD,OD,則MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,那么∠DOC或∠DOC的補角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA1=2AB=2a,則AC1=CB1=3a,所以O(shè)D=OC=3a2,又CD=3a2故∠DOC=60°,所以∠DOC即為直線MN與EF所成的角,且cos∠DOC=12,所以直線MN與EF所成角的余弦值為12解法三取AB的中點O,連接CO,則CO⊥AB,以點O為坐標(biāo)原點,OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,過點O且平行于CC1的直線為z軸建立如圖D46所示的空間直角坐標(biāo)系.圖D46設(shè)AB=2,則AA1=22,則A(1,0,0),A1(1,0,22),M(1,0,2),C(0,3,0),C1(0,3,22),N(12,32,22),E(12,32,0),B1(1,0,22),F(1,0,2),所以MN=(12,32,2),EF=(cos<MN,EF>=MN·EF|MN||EF7.12π由球體的對稱性可知,圓柱的高即球心到圓柱兩底面圓心的距離之和,設(shè)圓柱的底面半徑為r,球心到圓柱底面的距離為d,外接球O的半徑為R.由球心到圓柱底面的距離、圓柱底面的半徑、球的半徑之間構(gòu)成直角三角形,可得r2+d2=R2.由題設(shè)可得2πr×2d=8π,所以d=2r,則R2=r2+d2=r2+4r2≥2r2·4r2=4,當(dāng)且僅當(dāng)r=2時取等號,此時球O的體積取得最小值.故此時圓柱的表面積S表=8π+2πr28.3+3(2-1)4π由題知,余下幾何體的表面積由原正方體的表面的剩余部分和3個14圓錐的側(cè)面組成,其表面積S=34πr·r2+1+3(1r)+3(114πr2)=6+34π(rr2+1r24rπ),其中0<r≤1.設(shè)f(x)=xx2+1x24xπ,0<x≤1,求導(dǎo)并整理得2x2+1x2+1(2x+1)<2x2+1(2x+1)=2x(x1)≤0,∴2x2+1x2+1<2x+1,∴f'(x)=2x2+1x2+12x4π<2x+12x4π=9.(1)連接DE,如圖D47所示.圖D47因為AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,CF?平面ABC,所以AD∥BE,AD⊥CF.因為AC=4,∠BAC=60°,∠ACB=90°,所以AB=8,所以AF=14AB=2,BF=34CF=AC2+A所以AC2=AF2+CF2,所以AB⊥CF.(2分)又AD?平面ABED,AB?平面ABED,AD∩AB=A,所以CF⊥平面ABED,因為EF?平面ABED,所以CF⊥EF.又AD=3,BE=4,所以DE=(BE-AD)2+AB2=65,DF=AD2+AF2所以DF⊥FE.(5分)又CF?平面CDF,DF?平面CDF,CF∩DF=F,所以EF⊥平面CDF,又EF?平面CEF,所以平面CDF⊥平面CEF.(7分)(2)解法一取BF的中點N,連接MN,EN,如圖D48所示.圖D48因為M,N分別為BC,BF的中點,所以MN∥CF,且MN=12CF=3所以∠EMN為異面直線CF與EM所成的角.(9分)因為AC=4,∠BAC=60°,∠ACB=90°,所以BC=43,BM=23,所以EM=BM2+BE2由(1)知BF=6,所以BN=3,所以EN=BE2+BN2=在△EMN中,由余弦定理可得cos∠EMN=ME2+MN所以異面直線CF與EM所成角的余弦值為2114.(12分)解法二以C為坐標(biāo)原點,以CA,CB所在的直線分別為x軸,y軸,以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖D49所示,則C(0,0,0),M(0,23,0),E(0,43,4),F(3,3,0),所以ME=(0,23,4),CF=(3,3,0),(10分)所以cos<ME,CF>=ME·CF|ME||所以異面直線CF與EM所成角的余弦值為2114.(12分)圖D4910.(1)∵四邊形ADD1A1,ABB1A1均為正方形,∴DD1∥AA1且DD1=AA1,BB1∥AA1且BB1=AA1,∴DD1∥BB1且DD1=BB1,∴四邊形BDD1B1是平行四邊形.∴BD∥B1D1.(3分)又BD?平面BC1D,B1D1?平面BC1D,∴B1D1∥平面BC1D.(4分)(2)解法一∵四邊形A1B1C1D1,ADD1A1,ABB1A1均為正方形,∴多面體ABDA1B1C1D1可補成正方體ABCDA1B1C1D1,如圖D410所示.圖D410設(shè)其棱長為1,連接A1C,AC,∵A1AA1C∴A1C與平面ABD所成角的正弦值為33又A1H與平面ABD所成角的正弦值為33∴H在正方體的體對角線A1C上.又點H在C1M上,∴H為A1C與C1M的交點.(6分)∵BD⊥AC,BD⊥A1A,又AC,A1A是平面A1AC內(nèi)兩條相交的直線,∴BD⊥平面A1AC,∴BD⊥A1C,同理得BC1⊥A1C.又BD,BC1是平面BC1D內(nèi)兩條相交的直線,∴A1C⊥平面BC1D,(8分)∴A1H⊥HM,A1H⊥HB,∴二面角AA1HB的平面角為∠BHM.(9分)又Rt△CHM∽Rt△CAA1,∴HMAA1∴HM=66∵BD=BC1=C1D=2,M是BD的中點,∴C1M⊥BM,BM=22∴tan∠BHM=BMHM=3∴∠BHM=60°,∴二面角AA1HB的大小為60°.(12分)解法二∵四邊形A1B1C1D1,ADD1A1,ABB1A1均為正方形,∴AA1,A1B1,A1D1兩兩垂直且相等.又AD∥A1D1,AB∥A1B1,∴AA1,AB,AD兩兩垂直且相等.設(shè)AA1=1,以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸,y軸,z軸建立如圖D411所示的空間直角坐標(biāo)系.則A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),M(12,12,0).圖D411設(shè)H(x,y,z),則A1H=(x,y,∵A1H與平面ABD所成角的正弦值為33AA1=(0,0,1)為平面ABD∴A1H與AA1∴z-1x2+∵C1H=(x1,y1,z1),C1M=(1且C1H∥∴x-1-12=y聯(lián)立①②,得x=23,y=23,z=13,則H(23,23∴A1H=(23,23,23),BH=(13同理,設(shè)平面AA1H的法向量為n1=(x1,y1,z1),則有n1·取x1=1,得n1=(1,1,0),設(shè)平面BA1H的法向量為n2=(x2,y2,z2),可得n2=(1,0,1).(10分)設(shè)二面角AA1HB的平面角為θ,由圖易知θ∈(0,π2∴cosθ=|n1·n2∴二面角AA1HB的大小為60°.(12分)11.(1)存在點P滿足題意,此時P為AB的中點,理由如下:∵在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,∴∠ADC=∠DCB=120°,∠DBC=∠CDB=30°.∴∠ADB=90°,∠DBA=30°.∴AD⊥BD,AB=2AD=2DC.又AE⊥BD,AD∩AE=A,∴BD⊥平面AED,又BD?平面ABCD,∴平面AED⊥平面ABCD.(2分)如圖D412,過點E作EG⊥AD于點G,則EG⊥平面ABCD,圖D412又FC⊥平面ABCD,∴EG∥FC.∵EG?平面AED,FC?平面AED,∴FC∥平面AED.(4分)取AB的中點P,連接CP,FP,則DC∥AP,DC=AP,∴四邊形APCD為平行四邊形,∴AD∥PC.又AD?平面AED,PC?平面AED,∴PC∥平面AED.又FC∩PC=C,∴平面AED∥平面FCP.又FP?平面FCP,∴FP∥平面AED.∴存在滿足題意的點P,且P是AB的中點,此時APAB=12.(2)連接AC,由(1)易知AC⊥BC,∵FC⊥平面ABCD,∴CA,CB,CF兩兩垂直.以C為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz如圖D413所示.圖D413設(shè)CB=2,則CA=23,AB=4,F(0,0,2),B(0,2,0),D(3,1,0),A(23,0,0),AF=(23,0,2),BD=(3,3,0),FB=(0,2,2),(8分)設(shè)平面BDF的法向量為m=(x,y,z),則m即3取y=1,則x=3,z=1,則m=(3,1,1)為平面BDF的一個法向量.(10分)所以cos<m,AF>=m·AF|m||故直線AF與平面BDF所成角的正弦值為55.(12分)12.(1)因為BC∥AD,AD⊥底面AEFB,所以BC⊥底面AEFB,又AG?底面AEFB,所以BC⊥AG,因為AB=12E