廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

肇慶市2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知樣本空間，事件，，則（）A. B. C. D.2.若向量，則下列與向量垂直的向量是（）A. B. C. D.3.某射手射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為5，6，9，8，7，則命中環(huán)數(shù)的方差為（）A.2 B.2.2 C.3 D.74.歐拉公式（為自然對數(shù)的底，是虛數(shù)單位，）建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．根據(jù)以上內(nèi)容，可知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知，則（）A B. C. D.6.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為（）A. B.1 C. D.27.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.8.已知單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限且在單位圓上．若，劣弧的中點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列命題為真命題的有（）A.的虛部為B.C.D.若是關(guān)于方程的一個(gè)根，則10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記事件“第一次向上的點(diǎn)數(shù)為”，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)為”，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）A. B.C.與是互斥事件 D.與相互獨(dú)立11.已知函數(shù)，，對都有，且零點(diǎn)有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有（）A.B.的取值范圍為C.使的有且只有2個(gè)D.方程所有根之和為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)________．13.已知函數(shù)，當(dāng)取得最大值時(shí)，________．14.如圖，到的電路中有5個(gè)元件，，，，，電流能通過，，，的概率都為0.8，電流能通過的概率為0.9，且電流能否通過各元件相互獨(dú)立，則電流能在與之間通過的概率為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某學(xué)校教研室為了解高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績情況，隨機(jī)抽取了120個(gè)學(xué)生，把記錄的數(shù)學(xué)成績分為5組：，，，，，并繪制成了頻率分布直方圖，如圖所示：注：90分及以上為及格．（1）求的值，并估計(jì)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)及眾數(shù)；（2）在樣本中，若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從樣本中抽取數(shù)學(xué)成績不及格和及格的學(xué)生共20人，求及格的學(xué)生應(yīng)抽取多少人．16.一個(gè)不透明的盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，5個(gè)球除顏色外完全相同．（1）從盒中有放回地摸球，求第一次與第二次摸到的都是紅球的概率；（2）每次從盒中任取兩個(gè)球，游戲規(guī)則：若都是紅球，則放回盒中；若有白球，則將白球換成紅球（非盒內(nèi)，且與原盒中紅球相同），再把兩個(gè)紅球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是紅球，游戲結(jié)束．求經(jīng)過2次抽取后游戲結(jié)束的概率．17.已知向量，滿足，，與的夾角為．（1）求；（2），，求的值；（3）若在方向上的投影向量為，求的最小值．18.如圖1，天津永樂橋摩天輪是天津市的地標(biāo)之一，又稱天津之眼，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功能．永樂橋摩天輪最高點(diǎn)距橋面，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置48個(gè)均勻分布的透明座艙，開啟后逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為．如圖2，設(shè)座艙距橋面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與橋面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系．游客從點(diǎn)進(jìn)艙，游客甲、乙的位置分別用點(diǎn)，表示，其中，是終邊落在，的正角．（1）證明：；（2）求游客甲位置距橋面的高度關(guān)于轉(zhuǎn)動時(shí)間的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，若游客甲、乙的座艙之間還有三個(gè)座艙，乙的位置距橋面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中的最大值．19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（1）求；（2）求的最小值；（3）若，求的取值范圍．

肇慶市2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知樣本空間，事件，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且事件，，則，所以.故選：A2.若向量，則下列與向量垂直的向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B錯(cuò)誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D錯(cuò)誤.故選：C3.某射手射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為5，6，9，8，7，則命中環(huán)數(shù)的方差為（）A.2 B.2.2 C.3 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由方差的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為，則方差為.故選：A4.歐拉公式（為自然對數(shù)的底，是虛數(shù)單位，）建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．根據(jù)以上內(nèi)容，可知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由題意可得，可得結(jié)論.【詳解】由歐拉公式（為自然對數(shù)的底，是虛數(shù)單位，），可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的和差角公式可得，再由正切函數(shù)的二倍角公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由可得，則.故選：C6.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的面積為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形面積公式求解三角形的面積即可.【詳解】由余弦定理得，則，則，則的面積為故選：B7.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合圖像變換的知識求解即可.【詳解】將所有點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長度后,得到，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，故選：A.8.已知單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限且在單位圓上．若，劣弧的中點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過單位圓、點(diǎn)坐標(biāo)及，得，設(shè)與正半軸的夾角為，則，求出即可.【詳解】由題意可知，，則，在第二象限且在單位圓上，設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，即，?設(shè)與正半軸的夾角為，則，因?yàn)椋?，則，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，故.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列命題為真命題的有（）A.的虛部為B.C.D.若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則【答案】ABD【解析】【分析】求得復(fù)數(shù)的虛部與?？膳袛郃B，求得，可判斷C；由已知可得，可求得判斷D.【詳解】對于A：由，可得復(fù)數(shù)的虛部為，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，解得，所以，故D正確；故選：ABD.10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記事件“第一次向上的點(diǎn)數(shù)為”，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)為”，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）A. B.C.與是互斥事件 D.與相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】由古典概型計(jì)算，，判斷A,B;運(yùn)用互斥事件概念判斷C；利用獨(dú)立事件的定義，結(jié)合古典概型判斷D.【詳解】拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種：，，，，，，表示第一次向上出現(xiàn)點(diǎn)，第二次向上任一點(diǎn),，則A正確.表示第二次向上出現(xiàn)3點(diǎn)且兩次向上點(diǎn)數(shù)之和不是7，則第一次向上出現(xiàn)不是4,則等價(jià)于說第一次出現(xiàn)，第二次向上是3點(diǎn).滿足題意的有，共5種，則概率為.故B錯(cuò)誤．表示點(diǎn)數(shù)組合，表示出現(xiàn)，不能同時(shí)發(fā)生，故與是互斥事件，故C正確．由A知道，,表示兩次點(diǎn)數(shù)之和是7，則包含結(jié)果數(shù)為，共6種,則概率．表示第一次出現(xiàn)點(diǎn)，且兩次和為7．滿足題意的有.則.故.則與相互獨(dú)立.故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)，，對都有，且的零點(diǎn)有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有（）A.B.的取值范圍為C.使的有且只有2個(gè)D.方程的所有根之和為【答案】AC【解析】【分析】，始終把看做一個(gè)整體，借助正弦函數(shù)的圖象、最值、方程的根來對選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】，令，則，令，即，，，則在上有3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故錯(cuò)誤；，，則，所以，故正確；若，即，或，故正確；，且的零點(diǎn)有且只有3個(gè)，所以方程有四個(gè)根，從小到大分別為.，即，則，則，故，即方程的所有根之和為，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住的大致范圍，如本題選項(xiàng)，具體方法為：（1）根據(jù)的范圍，求出的范圍；（2）把看成一個(gè)整體，即利用換元法，把變成來降低解決問題的難度，再借助正弦函數(shù)的圖象，要使有3個(gè)零點(diǎn)，則的最大值就必須在之間，列出不等式即可求出的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，又為純虛?shù)，所以，解得.故答案為：13.已知函數(shù)，當(dāng)取得最大值時(shí)，________．【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可.【詳解】其中當(dāng)取得最大值時(shí)，所以故答案為：14.如圖，到的電路中有5個(gè)元件，，，，，電流能通過，，，的概率都為0.8，電流能通過的概率為0.9，且電流能否通過各元件相互獨(dú)立，則電流能在與之間通過的概率為________．【答案】【解析】【分析】先應(yīng)用獨(dú)立事件的概率乘法公式，再結(jié)合互斥事件的概率和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)能通過電流分別為事件,事件相互獨(dú)立,設(shè)電流能在M與N之間通過為事件B,所以.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某學(xué)校教研室為了解高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績情況，隨機(jī)抽取了120個(gè)學(xué)生，把記錄的數(shù)學(xué)成績分為5組：，，，，，并繪制成了頻率分布直方圖，如圖所示：注：90分及以上為及格．（1）求的值，并估計(jì)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)及眾數(shù)；（2）在樣本中，若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從樣本中抽取數(shù)學(xué)成績不及格和及格的學(xué)生共20人，求及格的學(xué)生應(yīng)抽取多少人．【答案】（1）；中位數(shù)；眾數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由頻率分布直方圖的性質(zhì)代入計(jì)算，即可求得，再由中位數(shù)與眾數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，由頻率分布直方圖可得及格的人數(shù)，再由分層抽樣的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以中位?shù)在范圍內(nèi)，則，解得，則中位數(shù)為，再由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，及格人數(shù)為人，再由分層抽樣可得，及格的學(xué)生應(yīng)抽取人.16.一個(gè)不透明的盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，5個(gè)球除顏色外完全相同．（1）從盒中有放回地摸球，求第一次與第二次摸到的都是紅球的概率；（2）每次從盒中任取兩個(gè)球，游戲規(guī)則：若都是紅球，則放回盒中；若有白球，則將白球換成紅球（非盒內(nèi)，且與原盒中紅球相同），再把兩個(gè)紅球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是紅球，游戲結(jié)束．求經(jīng)過2次抽取后游戲結(jié)束的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）首先利用列舉法求出取一次球取到兩球都是紅球的概率，取到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率，取得兩球都是白球的概率，再分兩種情況討論，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)第一次與第二次摸到的都是紅球?yàn)槭录?，則.【小問2詳解】記3個(gè)紅球分別為，，，2個(gè)白球分別為、，則從盒子中任取兩個(gè)球所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，共種，所以取到兩球都是紅球的概率為，取到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為，取得兩球都是白球的概率為；經(jīng)過次抽取后盒中恰好都是紅球分兩種情況:①第一次取出兩個(gè)紅球，概率為，第二次取出兩個(gè)白球，概率為，故經(jīng)過次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為；②第一次取出一個(gè)紅球一個(gè)白球，概率為，第二次取出一個(gè)紅球一個(gè)白球，概率為，故經(jīng)過次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為；綜上，經(jīng)過次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為.17.已知向量，滿足，，與的夾角為．（1）求；（2），，求的值；（3）若在方向上的投影向量為，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的數(shù)量積的定義即可求解；（2）利用向量的夾角公式求解即可；（3）先求得投影向量，進(jìn)而計(jì)算可求的最小值.【小問1詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以；【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所?【小問3詳解】在方向上的投影向量為，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為．18.如圖1，天津永樂橋摩天輪是天津市的地標(biāo)之一，又稱天津之眼，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功能．永樂橋摩天輪最高點(diǎn)距橋面，轉(zhuǎn)盤直徑為，設(shè)置48個(gè)均勻分布的透明座艙，開啟后逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為．如圖2，設(shè)座艙距橋面最近的位置為點(diǎn)，以