2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第19講壓軸綜合題（講義）教師版

第19講壓軸綜合題（講義）

本節(jié)主要針對(duì)高一下學(xué)期的壓軸題進(jìn)行總結(jié)，綜合性較強(qiáng)，也是高考的熱門

考點(diǎn)。

一、單選題

1.（2020?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二月考）在AABC中，”是邊A3上一定點(diǎn)，滿足

AB=4HB，且對(duì)于邊A3上任一點(diǎn)P，恒有方2麗?布，貝U（）.

A./ABC=9（yB.ZBAC=90°C.AB^ACD.AC=BC

【答案】D

【分析】以AB所在的直線為x軸，以A8的中垂線為了軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A8=4,

C（a,b）,P（x,0）,山題意寫出麗，HC＜麗，正的坐標(biāo)，山麗?斤2麗.豆C

結(jié)合向量的數(shù)量的坐標(biāo)表示可得關(guān)于x的一元二次不等式，結(jié)合二次不等式的性質(zhì)即可求

出。得值，進(jìn)而可得正確答案.

【詳解】

以AB所在的直線為％軸，以AB的中垂線為＞軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=4，C（a,b）,P（x,0）,則5H=LA（-2,0）,B（2,0）,“（1,0）,

所以麗=（1,0）,麗=（2-x,0）,PC=（a-x,b）,HC=[a-\,b）,

PBPC=（2-x）（a-x）.HBHC^a-l＞

因?yàn)辂?定2麗?衣對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P都成立，

所以（2-司（"一%""1在[-2,2]上恒成立，

即f—（a+2）x+a+120在[—2,2]I二恒成立即（x—l）（x—a-1）20,Vxe[―2,2]

若I<x42,則x—a-120恒成立，故aVx-l恒成立，故。40,

若-2?x1，則x-a—1W0恒成立，故aix-l恒成立，故。2(),

故a=0即點(diǎn)。在A3的垂直平分線上，所以AC=BC,

故選:D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵想到建立直角坐標(biāo)系將麗.定之麗.正轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，

設(shè)，設(shè)AB=4，C(a,。)，尸(x,0),寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出而，HC,方，的坐

標(biāo)，可得(2-x)(a—x)之a(chǎn)—1恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a=0,可得點(diǎn)。在A5

的垂直平分線上即AC=BC

2.(2021?湖北高三期末)已知復(fù)數(shù)4和Z2滿足區(qū)一8-1用=石％-4—6，,

|z「Z21=3,則國(guó)的取值范圍為()

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

【答案】A

【分析】設(shè)4=x+yi,x,yeR,由忸一8—144=石區(qū)一4一6，[可得

(x-3)2+()'-4尸=25,設(shè)Z2=/〃+〃/；加,〃eR,則點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(九〃)距離為3,作圖圖

象即可得解.

【詳解】設(shè)4=x+yi,x,yeR,

則|z「8-14]=石區(qū)—4一6?[表示點(diǎn)(X,y)到點(diǎn)(8,14)的距離是到點(diǎn)(4,6)距離的加倍.

則J*-8)2+(y-14)2=國(guó)d)2+(y—6)2.

化簡(jiǎn)得:(x-3)2+(y-4)2=25,

即復(fù)數(shù)4在復(fù)平面對(duì)應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)為圓心，5為半徑的圓上的點(diǎn).

設(shè)Z2=m+應(yīng),根,"GR,因?yàn)閇Z]-Z2|=3,所以點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(加,〃)距離為3,

所以復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)為圓心，2為半徑的圓即以(3,4)為圓心，8為半

徑的圓上構(gòu)成的扇環(huán)內(nèi)(含邊界)，如圖所示:

區(qū)|表示點(diǎn)(九〃)和原點(diǎn)(0,0)的距離，由圖可知同的最小為0,最大為10+3=13.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)得幾何意義，坐標(biāo)化，設(shè)

z^x+yi.x.yeR,得。一3)2+(丁-4)2=25,進(jìn)而可以利用數(shù)形結(jié)合解決問題，屬于難

題.

3.(2020?浙江)已知復(fù)數(shù)z滿足回=1,且有z"+z=l，求2=()

15/3.口V31.3V2..挪不什

A.一±---1B.---±—iCr.---±---11).制，4、對(duì)

222~222

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可設(shè)z=cos6+isin。(i為虛數(shù)單位)；然后再利用棣莫佛公式，可得

/、/、一fcosl7^+cos0=\

(cos176>+cos6()+z(sin176>+sin0)=1,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得《..八八，

'sin17y+sin0=0

利用三角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出e的值，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槟?1,設(shè)z=cos8+isin6(i為虛數(shù)單位);

由棣莫佛公式，可得

z17+z=cosl7e+isinl7e+cose+isine=(cosl7e+cose)+i(sinl7e+sin。),

所以(8sl76+8se)+i(sinl76+sin夕)二1

cos178+cos0=1fcos176=1—cos6

所以《八，即《

sin176+sin0=0[sin176=-sin6

因?yàn)?sinl7，『+(cos17，1二1，

所以(sin17e『+(cos17夕『=(_sin+(l-cos9)2=1；

化簡(jiǎn)可得sir?^+cos2。一2cos，=0，即1-2cos6=0

所以cos0=—,所以sin0-±V1—cos20-±——；

22

所以z=』±i-

22

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，熟練掌握復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.(2021?上海高一單元測(cè)試)在小鉆C中，-+-=4cosC,cos(A-B)=-,])lij

ab6

cosC=.

【答案】I

【分析】根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)2+g=4cosC,得到cosC=￡；由題意，在比上取。,

ab2ab

使得BD=AD,連接49,找出4-6,設(shè)Q=x,在△/加中兩次利用余弦定理將cos(A-

皮及cost表示出，分別求出x建立關(guān)于a,b的方程，化簡(jiǎn)變形后利用整體換元求出答

案.

【詳解】由題意知，—+-=4cosC

abf

由余弦定理得，:+方=4'區(qū)囁

化簡(jiǎn)可得/+〃=202,則cosC=J,

2ab

又AABC中不妨設(shè)日>6,??">〃.在以上取〃使得㈤=被連接力〃

設(shè)BD=x,IJllJAD=x,DC=a-x,AC=b9

在中，cosZDAC=cos（A-B）=—,

6

由余弦定理得：（a-x）2=x2+b2-2A-b--,

6

即：（b-6a）x-3h2-3a2<

解得：x=即--3J①

b-6a

b1+（Q-X）~-x2

又在△』加中，由余弦定理還可得cosC=

2?〃?（。一x）

2b1+（Q-X）2-x29

.「Cac-

..COSL=--------=,化簡(jiǎn)得x=,②

2ab2a2-c2

由①②可得3“2="_o'2又八"2c2,

聯(lián)立可得ab（〃+-3（片+h2y+24a2b2,BPab（2c2）--3（2c2）-+24a2/72,

2（2、22

c2

兩邊同時(shí)除以4a2〃，得￡?=—3—+6,令——=t，則12產(chǎn)+，_6=0，解得t=；

2abIab,2ab3

或-之,

4

c22

又由題意cosC>0,t二COSC=--------=—

2ab3

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算化簡(jiǎn)的技巧，考查利用幾何圖形解決

問題的能力，屬于難題.

5.(2021?上海高一單元測(cè)試)函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在區(qū)間--—,0上的最大值

為1，則。的值是.

TT

【答案】一￡

2

【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，易將函數(shù)化為二次型的函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性

「2-

質(zhì)，及函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在一1乃，。上的最大值為1，易求出。的值.

【詳解】?/函數(shù)/(1)=5訪21+2。5%=一(：0521+2。05%+1=—(。05%-1)2+2

「2

又??,函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在一個(gè)冗、。上的最大值為1,

/.cosx<0,

-2；

又???X￡-］兀、9,

27r

且丁=85%在彳口—號(hào),。］上單調(diào)遞增,

所以cos8=0

即”一C.

2

JT

故答案為：一■—

2

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，將函數(shù)

化為二次型的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

6.(2021?上海高一專題練習(xí))如圖AABC中，ZACB^90°,NC4B=30°,BC=\,

M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，D為垂足，則MD+MC的最小值為；

3

【答案】一

2

【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出MD+MC的值，然后利用

換元法求解出MD+MC對(duì)應(yīng)的最小值即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)M（x,y）,所以=

根據(jù)條件可知:A（0,⑹,8（1,0）,所以"百-瓜，

冗

設(shè)1=r8$。，y=rsin6>,6e0,—,re（0,+oo）,

所以百rcos6+rsin?二G，所以r=

J5cos8+sin。

所以MD+MC=x+yjx1+y2=r(l+cos6)=J---------

V3cos+sin

d

1-tantan—+—

222

1+tan

所以當(dāng)tan&=3時(shí)，MD+MC有最小值，最小值為

232

3

故答案為：一.

2

八J,

【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能

力，屬于較難題

(D利用換元法求解最值時(shí)注意，換元后新元的取值范圍；

2tan—1-tan"—

(2)三角函數(shù)中的一組'‘萬能公式"：sin<9=------%,cos0=----------

1+tan2—l+tan?一

22

7.(2021?上海高一單元測(cè)試)設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，函數(shù)

/,(x)=|sin-(x-a?)|,xe[a,??1滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)mG[0,1),f(x)=m總有

nn+1n

兩個(gè)不同的根，則J的通項(xiàng)公式是

n(n-l)7r

[答案]———

2

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式和數(shù)列的遞推公式，可得

-4=〃%，再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解.

【詳解】由題意,因?yàn)?=0,當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=|sinx|,x€[(),%],

又因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)me[0,1),力(x)=m總有兩個(gè)不同的根，所以4=乃，

所以<(x)=sinx,xe[0,捫，④=萬，

\\X

又上(入)=|5足5(工一〃2)1=|5訪5(工一兀)|=cos—[肛％]，

對(duì)任意的實(shí)數(shù)相力*)二根總有兩個(gè)不同的根，所以火=3萬，

\\X

又力(x)=|sin§(x-a3)l=lsin5(x-3萬)|=cos-,xe[3^,a4],

對(duì)任意的實(shí)數(shù)力。)=%總有兩個(gè)不同的根，所以4=6萬，

由此可得見+i一。“=〃萬,

/、/、，/八〃(〃一1)%

卜力以Cln=q+(%—%)+,,?+(4〃—Q〃_1)=1+7T+?,,+(71—1)7T=--------,

所以4=幽”

故答案為止巫.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式，數(shù)列的遞推關(guān)系

式和“累加”方法等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

8.(2021?上海高一單元測(cè)試)已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且xVO時(shí)，/(X)單

調(diào)遞增，已知/(-1)=0,設(shè)8(%)=5足2%+/^€?%-2，?7,集合

M=<w|對(duì)任意xw0仁，有g(shù)(x)V。},集合

N=</〃|對(duì)任意xe0,],有y[g(x)]vo},則Afp|N=.

【答案】(4-272,+oo)

【分析】由己知可得：x<-4時(shí)，〃x)<0,0<x<lH't,/(x)<0,將/[g(x)]<0

轉(zhuǎn)化成g(x)<-1或0<g(x)<1,即可將McN轉(zhuǎn)化成：

71=1"2|對(duì)任意工￡0,—,有g(shù)(x)<T},即可轉(zhuǎn)化成：-----<m

IL2」J12-cosx」1rax

對(duì)任意xe0,y成立，令r=2-cosx,整理得：一弓+[+4<m,再利用基本

-」L'，」max

不等式即可得解.

【詳解】因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù)，XV0時(shí)，/(力單調(diào)遞增，且/(-1)=0

所以x<-l時(shí)，/(x)<0,0<x<l時(shí)，/(x)<0,

所以/[g(x)]<?？苫癁椋篻(x)<T或0<g(x)<l,

所以集合N=＜加|對(duì)任意xe0,y,有/'[g(x)]vO”可化為:

冗,

集合N=，/%|對(duì)任意%￡0,—,有g(shù)(x)v-l或0vg(x)＜l＞,

-rjr1、

所以A/nN=A=＜，川對(duì)任意xe0,—,有g(shù)(x)＜-4＞

即：si/x+mcosx—2加＜一1對(duì)任意尤￡°，,恒成立.

即：---------＜加對(duì)彳王忘XE0,—怛成u,即：---------＜m

2-COSXL2J12-COSX」max

G2

記y=41￡21_￡,令f=2-cosx,則f?L3],且cosx=2-r,代入得：

2-cosx

y=—1：+，+44—2后?+4=—2夜+4,當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí)，等號(hào)成立.

所以＞皿=一2夜+4，

所以—2夜+4＜M，

所以MPIN=(4—2及,+oo)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了交集運(yùn)算及參變分

離法解決恒成立問題，還考查了換元法、轉(zhuǎn)化思想及利用基本不等式求最值，屬于難題.

9.(2021?上海高一單元測(cè)試)將函數(shù)/(x)=2sin2x的圖象向右平移9(0＜夕＜〃)個(gè)

單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對(duì)滿足|/(xj-g(x2)|=4的%、々，有歸一引的最小

冗

值為=，則夕=______.

6

【答案】g或?qū)?/p>

33

【分析】先求解g(x)的解析式，根據(jù)|/(西)一8(/)|=4可知一個(gè)取得最大值一個(gè)是最小

值，不妨設(shè)/(石)取得最大值，g(w)取得最小值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)|石-々|的最小

兀

值為高，即可求解夕的值：

6

【詳解】山函數(shù)〃x)=2sin2x的圖象向右平移。，可得g(x)=2sin(2x—20)

不妨設(shè)/(石)取得最大值，g(￡)取得最小值，

式3乃

2%|=—+2kjr,2x1—2(p―—F2k.兀,keZ.

可得2(菁_9)+20="

-xj的最小值為g,即％-馬=±g.

66

,71八

/.±一+2/=冗

,口冗42乃

得/=二或丁

33

故答案為王或多.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(@x+>)的解析式，函數(shù)y=Asin(&)x+。)的圖

象變換規(guī)律，屬于中檔題.

10.(2021?上海高一單元測(cè)試)已知函數(shù)

/(x)=5sin(2x—弓，xe[O,5句，若函數(shù)尸(x)=/(x)—3的所有零點(diǎn)依次

記為王,尤2，芻，…，X"且玉<七<…<X"T<X"，riGN：若

83

玉+2x2+2X34---F2玉―2+2%7+xn=—7t,則。=.

【答案】]71

rrn0K7E

【詳解】由題意，令2x—。=2+攵肛左eZ,解得■#eZ.

2422

?.?函數(shù)/(x)的最小正周期為7=夸=萬，，x?O,5句

當(dāng)％=0時(shí)，可得第一個(gè)對(duì)稱軸8=工+且，當(dāng)4=9時(shí)，可得x="工+’<5".

4242

函數(shù)/(x)在[0,5句上有9條對(duì)稱軸

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：函數(shù)/(x)=5sin(2x-6)與y=3的交點(diǎn)有9個(gè)點(diǎn)，即

“十7te、”十3乃6,c,n6、

玉，工2關(guān)卜尤=不+,對(duì)稱，12，工3關(guān)于X="^+萬"對(duì)不小，…，即X]+元2=2x(W+5),

c3nc,17冗。\

x2+x3=2x(—+-),…，xn_]+xn=2x(-^—+—).

cccc83

%1+2%2+2/+???+2X〃_2+2x〃_]+Xn=71

.、尸e3九。177r0.83〃

..2x(—H--+—+—+…+---+—)=----

4242422

?“十

71

故答案為《.

點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是性質(zhì)的考查，比如周期

性，單調(diào)性，對(duì)稱性等，處理抽象的性質(zhì)最好的方法結(jié)合函數(shù)的圖象，本題解答的關(guān)鍵是

根據(jù)對(duì)稱性找到七1與五的數(shù)量關(guān)系，本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，會(huì)算錯(cuò)定義域內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，這就需結(jié)合對(duì)稱軸和數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，防止出錯(cuò).

11.(2020?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中)已知3，B，"是非零向量，|￡-4=26，

(c-?)(c-ft)=-2,X為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)￡-3與￡的夾角為?時(shí)，評(píng)砌的最小值是

【答案】；

【分析】設(shè)方=￡，而="PC=C'c(x,y),利用口一4=26可以設(shè)4卜6,0)

8(60)利用僅一￡)?伍詞=—2即可求出點(diǎn)0的軌跡為單位圓，p—砌=附+4司,

|c-A?|的最小值是點(diǎn)C到直線PA的距離，從而求得答案.

【詳解】設(shè)方=￡,PB=b-PC=c^。(羽丁)

因?yàn)闅w一］=|百一麗卜|祠=26,

y

A（->/3,0）,8（石,0）,

因?yàn)椤?石與￡的夾角為?，所以麗與兩夾角為工，所以N5AP=（,

所以|oR=|Q4|tan60'=3,所以P（-3,0）,

因?yàn)閭鱛@}k_石）=_2得：所AC-BC=（無+g,y）?（x_b,y）=%2+y2_3=_2,

所以f+y2=i,所以點(diǎn)。的軌跡為單位圓，

|c-Aa|=|PC-APA|=|PC+AAP|

所以苗-/1￡|的最小值是點(diǎn)C到直線PA的距離.

過點(diǎn)。作O”_LP4于點(diǎn)H,交單位圓于點(diǎn)G，

所以力”=色咽=回也，

△A"，22

即典2=叵兩。叫,解得：|?！▅=3,

222

Q1

所以口_之@=\GH\^\OH\-\OG\=^-l=~,

故答案為：；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的幾何意義，運(yùn)用坐標(biāo)法可以使向量問題更簡(jiǎn)單，屬于難

題.

12.（2020?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）在AABC中，BD^^DC,荏=麗，點(diǎn)尸

為△AOC內(nèi)（包括邊界）任意一點(diǎn)，若麗=/1而+〃而，則4-2〃的取值范圍為

【答案】[-8,-1]

【分析】記麗=—2西，可得出喬=4麗—2〃方，設(shè)直線EF交BG于點(diǎn)N,設(shè)

_______EF\

EN=mEB+tiEG，證明出加+〃=1,設(shè)EF=&EN，可得出九一2〃=%=—扁，

一\E局P\'求出局\EP的\最大值和

然后過點(diǎn)F作BG的平行線交CE于點(diǎn)P,進(jìn)而得出攵

最小值，進(jìn)而可得出久-2幺的取值范圍.

【詳解】記而=一2而，從而麗=4麗+〃麗=4而一2M的,

在直線BG上任取一點(diǎn)N,設(shè)麗=加麗+〃旃，

由于麗〃的，則存在實(shí)數(shù)x,使得麗=》的，即麗一麗=x（函一函）,

:.EN=（l-x）EB+xEG=niEB+nEG,則m+n=\—x+x=l,

設(shè)直線EE交直線BG于點(diǎn)N,過點(diǎn)F作直線BG的平行線交直線CE于點(diǎn)P,

\EF\\EP\____

則標(biāo)彳=向4，設(shè)EF=kEN，^\EP=kEM.

且彷=%函=4（加麗+〃的），EpAEB-2/JEG=kmEB+knEG,

___uuui4—kin.、

由于麗、EG不共線，則〈八,，:.九一2jLi=km+kn=k（m+n）=k,

—2〃=kn

一_.7\EP\

由于EP與.EM方向相反，則k<0且％=

\EM\

過點(diǎn)A作宜線BG的平行線交CE于點(diǎn)Q，

\EP\|EP||E4|

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)局取得最小值，此時(shí)局=局

=1，即Amax=T

\EP\

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)閾取得最大值,

設(shè)直線AQ交于點(diǎn)5,直線AQ交。G于點(diǎn)T，

易證AAET三ABEG,可得|EG|=|,

,ED=-2EG＞可得|七。|=2|￡6|=2|￡71,所以，T為線段ED的中點(diǎn),

\DS\_\DT\_1

-.AS//BG,\BD\~\DG\~3

?.?麗=；嵐，則|￡>C|=2忸=6|D5|,

取的中點(diǎn)U，連接UE,則UE〃AS，且忸U|=；忸必，從而依。|=8忸

幽幽

vAS//BG,則EU〃BG,所以,

\EM\\BU\

\EP\

所以’后的最大值為8,即端=.

綜上所述，4-2〃的取值范圍是卜8,—1].

故答案為：[-

【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求含參代數(shù)式的取值范圍，考查了等和線性質(zhì)

的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力，屬于難題.

13.（2020?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高二月考）已知點(diǎn)。在以。為圓心的圓弧A3

2—.—.—.

上運(yùn)動(dòng)，且NA08=§萬，若OC=xQ4+yO3,則2x+3y的取值范圍為.

【答案】[2,2咨]

【分析】設(shè)刀為直角坐標(biāo)系的X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.記反與函夾角為

0\0<0<^\,求出三個(gè)向量坐標(biāo),進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可得到

2x+3y=Z字sin（。+夕）（其中tane=乎），結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案.

【詳解】設(shè)方為直角坐標(biāo)系的x軸,建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，記說與礪夾角

為《0"嚀）

則反=(cose,sin。),函=(1,0),礪=,代入4=》礪+)，而，有

<227

(y百/

(cos0,sin0)=(x,0)+,——-,

I22J

.ya上y.Q.百?c,a26.aI1

??x--=cost/,———=sin6/，??x=——sin6/+cost/,y=----sine/?U

2233

2尤+3y=2^7sin(6+e)(其中tan(p=

),

0?。4—°?。+°S-^-+°,而sin(p=，sin[0+2萬)3757V57

->-

338lF'

當(dāng)6+0=工時(shí)，2x+3y取最大值宜豆，當(dāng)6+。=。，即。=0時(shí)，2x+3y取最小值

23

2,

2x+3y的取值范圍為［2,

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性關(guān)系,運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)求最值,關(guān)鍵在于建立

合適的平面直角坐標(biāo)系,將所求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù),屬于中檔題.

14.(2019?上海市建平中學(xué)高二期中)設(shè)復(fù)數(shù)4=-l—i,Z2=3+3i,若

z=&sin6+i(亞cos6+2),6wR,則|z-zj+|z—的最小值為.

【答案】4&

【分析】根據(jù)題意，將|z-zj+|z-z2|轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離公式,求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,可

知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓.再由點(diǎn)到直線距離公式可判定圓與兩個(gè)定點(diǎn)形成的直線相切，進(jìn)而

可知兩點(diǎn)間距離即為|z-zJ+|z-Z2|的最小值.

【詳解】因?yàn)?=一1一八Z2=3+3i,z=0sin9+i(J^cos9+2)

則|z-zj+jz—z2]

=|(&sine+l)+(亞cos6+3)+sin6-3)+(痣cos。一1計(jì)

=J(瓜ne+iy+(0cos8+3『+J(&sin夕一3『+(夜cos8-

設(shè)4(—1,—3),8(3,1),P(夜sin。,及cos。)，OeR,

由參數(shù)方程可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為/+V=2

所以上一馬|+,一22|表示點(diǎn)A與點(diǎn)B到圓V+y2=2上任意一點(diǎn)的距離之和

設(shè)直線A6的方程為y=依+/代入4(-1,一3),B(3,l)可得

-4=-"+hk=T

1=35'解方程可得

0=—2

所以直線A3的方程為x-y-2=0

|-2|p-

圓心(0,0)到直線A8的距離為d=-J===V2

因?yàn)閐=r=5/2

所以直線AB與圓相切，設(shè)切點(diǎn)為M

則當(dāng)P與M重合時(shí)，|AP|+忸P|取得最小值

所以（卜-小2-22%="+忸”=/

=7（3+1）2+（1+3）2=472

故答案為4夜

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，將模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式,利用數(shù)形結(jié)合的思想

解決最短距離，屬于中檔題.

15.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）（后一if“、.

【答案】-2237（l+6i）

【分析】利用（"+1丫=8,（行1）（6二）（后-1）］.即得解.

【詳解】/_「/1）（盤）（61）『:盧即"）

''V3i-1V3i-1（V3i-l）（V3i+l）

二巴等U叫+網(wǎng)

故答案為：—2237（1+

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的事指數(shù)運(yùn)算，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

三、解答題

16.（2021?上海高一單元測(cè)試）用a,Ac分別表示AA6c的三個(gè)內(nèi)角A3,C所對(duì)邊的邊

長(zhǎng)，R表示AABC的外接圓半徑.

（1）A=2,a=2,B=45。，求A3的長(zhǎng)；

（2）在AAbC中，若NC是鈍角，求證：a2+b2<4/?2;

（3）給定三個(gè)正實(shí)數(shù)其中hVa,問滿足怎樣的關(guān)系時(shí)?，以。功為邊長(zhǎng)，

R為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個(gè)或存在兩個(gè)（全等的三角形算作同一個(gè)）？

在△MC存在的情況下，用a,"A表示

【答案】（1）c=娓+近（2）見解析（3）見解析

【分析】（1）先根據(jù)正弦定理得力，再根據(jù)余弦定理求A8的長(zhǎng)；

（2）先根據(jù)余弦定理得M+kcc?,再根據(jù)正弦定理放縮證明結(jié)果；

（3）先根據(jù)正弦定理討論三角形解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)余弦定理求仁

【詳解】（1）由正弦定理得人=2/?sin8=2x2x注=2&

2

所以/=a2+c2-2accos—8=4+c2-2\/2c/.c-V6+y/2（負(fù)舍）;

4

（2）因?yàn)椤?+。2一。2=2a〃cosC，NC是鈍角，

所以〃+。2一。2<。.癥+/<c2=（2RsinC）2<（2R）2=4R2

22

因此/+b<4/?；

（3）當(dāng)時(shí)，AABC不存在，

當(dāng)a>2R>。時(shí)，AABC不存在，

當(dāng)a=2R>。時(shí)，存在一個(gè)△ABC，此時(shí)A=工,c=二P'

2

當(dāng)2A>a=b時(shí)，存在一個(gè)△ABC，

此時(shí)c=2acosB=2aV1-sin2B=2tzjl-=2ajl一，

當(dāng)2R>a>b時(shí)，存在兩個(gè)△ABC，

cosC=一cos（A+3）=sinAsin8-cosAcosB

當(dāng)A為銳角時(shí)，

cosC=sinAsin8-Jl-sin2Ajl-sin2B=———

2R2RV4/?2V4H2

r-27~2,77I212n>—y]4R"—(2~yl4/?"—b'

c=\a~+b'-labcosC=da2+b~-lab-------------------------------

\4R2

=]?①砌"-J4H2-a力4R2_白]

-v+2F

當(dāng)A為鈍角時(shí),

cosC-sinAsinB+Jl-sin?/ijl-sin?Bahf

2R2R+yl一幫1-4F

I~2~2~~~I2ic,ab+74R--a~\J4-R~—h~

c=\a"+h"-labcosC=Ja-+-lab------------；---------

V4R2

(2?、ab[ab+d4R2-7“心—H]

=V+市

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難

題.

17.(2021?上海高一專題練習(xí))對(duì)于定義域?yàn)?的函數(shù)y=/(x),部分x與>的對(duì)應(yīng)關(guān)

系如表：

X-2-1012345

y02320-102

(1)求/｛/[/(O)]｝：

(2)數(shù)列｛玉｝滿足玉=2,且對(duì)任意〃wN*，點(diǎn)(x“,X"+i)都在函數(shù)y=/(x)的圖象

上，求玉+々+巧+....+七”

(3)若y=/(%)=Asin(0x+0)+h,其中24>0,0</<肛0<0<乃,0<人<3,求此

函數(shù)的解析式，并求/(1)+/(2)+???+f(3n)(neN*).

【答案】(1)2；(2)4〃；(3)見解析

【分析】(1)由內(nèi)往外計(jì)算即可；

(2)由已知，通過計(jì)算易得數(shù)列｛玉｝是以4為周期的周期數(shù)列，先計(jì)算％+々+%+匕

的值，利用玉+電+x3+.......+x4ll=n(%+々+W+X4)即可得到答案；

(3)代入表中數(shù)據(jù)即可得到y(tǒng)=/(x)的解析式，再分〃為奇數(shù)、偶數(shù)討論求和即司;

【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得/｛/"(0)]｝=/(/(3))=/(-1)=2.

(2)玉=2,由于x“+|=/'(無“)，則々=/(%)=/(2)=0,七=/(工2)=/(0)=3,

%4=/(工3)=/(3)=-1,%5=/'(匕)=/'(-1)=2,所以玉=毛，…，依次遞推可得數(shù)列

卜“｝的周期為4,又玉+X2+X3+X4=4,所以玉+々+￡+....+.,=4〃.

/(-I)=2

/⑴=2

(3)山題意得《，山/(-1)=/'(I),得sin(<w+°)=sin(-<y+Q),即

/(0)=3

/(2)=0

sin(ycos^=0,又0＜啰(不，則sin。。。，從而cose=0,而0＜。＜萬，所以

f(0)=A+b=3

Acosco+3-A=2

(p=—,故，/(2)=Acos2a)+b=0,消b,得，

2A(2cos2<y-l)+3-A=0

f(i)-Acosa)+h-2

所以2A2-4A+2-2A2+3A=0,解得A=2,6=l,cos<y=！，又0<。<乃,

2

兀jrjrjr

所以<y=§,所以/(x)=2sin(y%+—)+1=2cosyx+l,

此函數(shù)有最小正周期6,且/(6)=/(0)=3,

/(D+/(2)+”3)+/(4)+/(5)+/(6)=6,

當(dāng)〃=2左，左eN*時(shí)，/(I)+/(2)+-??+/(3n)=

/(l)+/(2)+L+/(6^)=^[/(l)+/(2)+L+/(6)]=6Z=3〃；

當(dāng)〃=2%—1,左eN*時(shí)，/(1)+/(2)4-----1-f(3n)=

/(D+/(2)+L+f(6k)-f(6k-2)-f(6k-1)-f(6k)=M/(l)+/(2)+L+/(6)]-5

=6k-5=3”-2.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到求三角函數(shù)的解析式、周期數(shù)列的

和，是一道中檔題.

18.(2021?上海高一單元測(cè)試)設(shè)函數(shù)

f(x)=5cos8sinx—5sin(x-6)+(4tan8—3)sinx-5sin8為偶函數(shù).

(1)求tan。的值：

(2)若/(x)的最小值為-6,求Ax)的最大值及此時(shí)x的取值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=X/(s)-/+其中2＞0,0＞0.已知

y=g(x)在x=￡處取得最小值并且點(diǎn)(竺,3-3/l]是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，試求

2+。的最小值.

3

【答案】(1)-；(2)最大值為0,此時(shí)x的取值為x=2br,左@Z；(3)6+7

4

【分析】(1)根據(jù)/(幻是偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為(4tan6—3)sinx=0對(duì)一切xeR恒成立求

解.

(2)由(1)得到/(x)=5sin(9(cosx-l),根據(jù)/(x)最小值為一6，則cosx=-l，

3

得到sin，=],然后再求最大值.

TT

(3)由(2)得到g(x)=3/lcos<yx-3>l+3sin0x+3，根據(jù)8(%)在*="處取最小

6

值，點(diǎn)(與’3-3九)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，，由8(-?)=8(^]=3-3;1求解.

【詳解】

(1)因?yàn)?(x)=5cosxsine+(4tan8-3)sinx-5sine,f(x)是偶函數(shù),

所以(4tan(9-3)sinx=0對(duì)一切xeR恒成立，

3

所以tan6=—.

4

(2)由(1)知/(x)=5sin6(cos尤-1),

因?yàn)槠渥钚≈禐?6,

3

所以sin^=—,cosx=-l,

所以/(x)=3(cosx-1),

當(dāng)8sx=1時(shí)，f(x)取得最大值0,此時(shí)x=2匕T,ZGZ；

(3)由⑵知：g(X)=/l/(3X)-/(3X+J|)，

=32cos3/1-3cosa>x+—+3,

I2

=3Acosiox+3sin+3-3/1,

TT-^-,3-321是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,

因?yàn)間(x)在冗=二處取最小值，目一點(diǎn)

6

cc23nc.2(071八

32cos------b3sm-------=0,

33

4,CO7T,10)71,(.2Gt,,0)71,2(071

所以％=tan----=-tan------=tanKTT-------,則-----=k兀--------,

33I3J33

即<y=A(kGZ),

又因?yàn)?>0,。>0,

所以/tan等…年=60=3/-2(/eN*),

當(dāng)G=1時(shí),^(x)=3>/3cosx+3sinx+3-373=6sinx+—1+3-3石,

g(§=6sin仁+(卜3-36=9一3百，g。)在片高處取得最大值，不符合題意;

當(dāng)勿=4時(shí)，g(x)=3百cos4x+3sin4x+3-3百=6sin(4x+q)+3-3省,

g(令=6sin[4x^+q)+3-30=3-3月，g(x)在x=^■取不到最小值,，不符合

題意；

當(dāng)①=7時(shí)，g(x)=3百cos7x+3sin7x+3-3\/^=6sin(7x+^)+3—3百,

^(^-)=6sin^7x^4-yj+3-3V3=-3-3>/3,g(x)在工=7處取得最小值，

g(-^-)=6sin(7x?-+1]+3-36二3-3百,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(羊,3-36)中

心對(duì)稱，

所以4+G的最小值為y/3+7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.

1T

19.（2020?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二期中）如圖，Z.xOy=—,定義平面坐標(biāo)系為仿

射坐標(biāo)系，在該仿射坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義：［、或分別為與x軸、y

umiuLI

軸正方向同向的單位向量，若。P=xq+ye?。/eR），則規(guī)定點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（x,y）.

（1）求以。為圓心，半徑為1的圓在該仿射坐標(biāo)系中的方程；

（2）已知點(diǎn)A的斜坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)8的斜坐標(biāo)為（—2,0）,求直線AB在該仿射坐標(biāo)系中

的方程.

【答案】（1）x2+y2+xy-\=0；（2）2x—3y+4=0

【分析】（1）先設(shè)出直角坐標(biāo)卜沿％軸，V軸的方向向量，再根據(jù)仿射坐標(biāo)系的定義，寫

出OP.轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)變換以及圓在直角坐標(biāo)下的方程即可求出；

（2）利用向量共線即可求出.

【詳解】解：（1）設(shè)在直角坐標(biāo)系下，沿x軸，V軸的方向向量分別為

7T

又???在仿射坐標(biāo)系中，ZxOy=-f

3

e、=i,e2

22

又?.?OP=