2025《初中數(shù)學》專題突破專題71 函數(shù)中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講考點1一次函數(shù)新定義問題【例1】．定義：我們把一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與正比例函數(shù)y＝x的交點稱為一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的“不動點”．例如求y＝2x﹣1的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則y＝2x﹣1的“不動點”為（1，1）．（1）由定義可知，一次函數(shù)y＝3x+2的“不動點”為；（2）若一次函數(shù)y＝mx+n的“不動點”為（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直線y＝kx﹣3（k≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線y＝kx﹣3上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得S△ABP＝3S△ABO，求滿足條件的P點坐標．變式訓練【變1-1】．在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式一一利用函數(shù)圖象研究其性質一一運用函數(shù)解決問題”的學習過程．在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象．同時，我們也學習了絕對值的意義．結合上面經(jīng)歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當x＝2時，y＝﹣4；當x＝0時，y＝﹣1．（1）求這個函數(shù)的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．考點2反比例函數(shù)新定義問題【例2】．探究函數(shù)性質時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）寫出函數(shù)關系式中m及表格中a，b的值；m＝，a＝，b＝；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為．變式訓練【定義】在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當AB的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點A與直線l1之間的距離，當l2∥l1時，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．【應用】（1）如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D為AB邊上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是；（2）如圖3，已知直線l3：y＝﹣x+4與雙曲線C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）與B兩點，點A與點B之間的距離是，點O與雙曲線C1之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80m時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南﹣西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m．現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線l4的函數(shù)表達式為y＝﹣x，小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達式為y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？考點3二次函數(shù)新定義問題【例3】．小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四個實數(shù)根，則m的取值范圍是．（2）延伸思考：將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當1＜y1≤2時，自變量x的取值范圍．變式訓練【變3-1】．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|ax2+bx+c|的圖象（如圖所示），下列結論正確的是（）A．圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1.5 B．有且只有﹣1≤x≤1時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大 C．若a＜0，則8a+c＞0 D．若a＜0，則a+b≥m（am+b）（m為任意實數(shù)）【變3-2】．已知拋物線y＝ax2+c過點A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點，交x軸于另一點B．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點P是BD上方拋物線上一點，連接AD，BD，PD，當BD平分∠ADP時，求P點坐標；（3）將拋物線圖象繞原點O順時針旋轉90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M，N分別是旋轉前后拋物線的頂點，點E、F是旋轉前后拋物線的交點．①直線EF的解析式是；②點G、H是“心形”圖案上兩點且關于EF對稱，則線段GH的最大值是．1．對于實數(shù)a，b，定義符號max|a，b|，其意義為：當a≥b時，max|a，b|＝a，當a＜b時，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若關于x的函數(shù)y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，則該函數(shù)的最小值為（）A． B．1 C． D．32．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b），若點P′的坐標為（ka+b，a+）（其中k為常數(shù)且k≠0），則稱點P′為點P的“k關聯(lián)點”．已知點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上運動，且點A是點B的“關聯(lián)點”，當線段OB最短時，點B的坐標為．3．定義：由a，b構造的二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax+b叫做二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函數(shù)y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數(shù)”是y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“不動點”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不動點”．已知雙曲線．（1）下列說法不正確的是．A．直線y＝x的圖象上有無數(shù)個“不動點”B．函數(shù)的圖象上沒有“不動點”C．直線y＝x+1的圖象上有無數(shù)個“不動點”D．函數(shù)y＝x2的圖象上有兩個“不動點”（2）求雙曲線上的“不動點”；（3）若拋物線y＝ax2﹣3x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個“不動點”，①當a＞1時，求c的取值范圍．②如果a＝1，過雙曲線圖象上第一象限的“不動點”做平行于x軸的直線l，若拋物線上有四個點到l的距離為m，直接寫出m的取值范圍．5．在并聯(lián)電路中，電源電壓為U總＝6V，小亮根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理知道：I總＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1為定值電阻，當R變化時，干路電流I總也會發(fā)生變化，且干路電流I總與R之間滿足如下關系：I總＝1+．（1）定值電阻R1的阻值為Ω；（2）小亮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)I2＝來探究函數(shù)I總＝1+的圖象與性質．①列表：如表列出I總與R的幾組對應值，請寫出m，n的值：m＝，n＝；R…3456…I2＝…21.51.21…I總＝1+…3m2.2n…②描點、連線：在平面直角坐標系中，以①給出的R的取值為橫坐標，以I總相對應的值為縱坐標，描出相應的點，并將各點用光滑曲線順次連接起來；（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①I總隨R的增大而；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)I總＝1+的圖象是由I2＝的圖象向平移個單位而得到．6．小欣研究了函數(shù)的圖象與性質．其研究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y）；③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整．（2）探究函數(shù)性質：下列說法不正確的是A．函數(shù)值y隨x的增大而減小B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限C．函數(shù)圖象與直線x＝﹣1沒有交點D．函數(shù)圖象對稱中心（﹣1，0）（3）如果點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，如果x1+x2＝﹣2，則y1+y2＝．7．九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質后，進一步研究了函數(shù)的圖象與性質，其探究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象，列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描點：根據(jù)表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出各點，請你描出剩下的點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，已經(jīng)畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整；（2）通過觀察圖象，下列關于該函數(shù)的性質表述正確的是：；（填寫代號）①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②關于y軸對稱；③關于原點對稱；（3）在上圖中，若直線y＝2交函數(shù)的圖象于A，B兩點（A在B左邊），連接OA．過點B作BC∥OA交x軸于C．則S四邊形OABC＝．8．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應用】（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標．9．小明在學習函數(shù)的過程中遇到這樣一個函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時，[x]＝x2﹣1；若x＜0時，[x]＝﹣x﹣1．小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對該函數(shù)進行了探究．（1）①列表：下表列出y與x的幾組對應值，請寫出m，n的值m＝；n＝；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描點：在平面直角坐標系中，以①給出的自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點并連線，作出函數(shù)圖象；（2）下列關于該函數(shù)圖象的性質正確的是；（填序號）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖象關于y軸對稱；③當x＝0時，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．（3）若函數(shù)值y＝8，則x＝；（4）若關于x的方程2x+c＝[x]有兩個不相等的實數(shù)根，請結合函數(shù)圖象，直接寫出c的取值范圍是．10．某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關系進行了探究．下面是小紅的探究過程，請補充完整：（1）經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應值，如表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為米；②公園欲開設游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為米．（精確到0.1米）11．小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運用性質解決問題．（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．①列出y與x的幾組對應值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝；②結合上表，在下圖所示的平面直角坐標系xOy中，畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象；③觀察圖象，當x＝時，y有最大值為；（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點坐標；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點在函數(shù)M的圖象上，當y1＜y2時，請直接寫出m的取值范圍．12．定義：平面直角坐標系xOy中，若點M繞原點順時針旋轉90°，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點M為函數(shù)圖象W的“直旋點”．例如，點是函數(shù)y＝x圖象的“直旋點”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三點中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點”的有（填序號）；（2）若點N（3，1）為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，求k的值；（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象的“直旋點”且在直線AC上，求D點坐標．13．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1．（1）直接判斷函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，直接寫出其邊界值；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的邊界值是3，且這個函數(shù)的最大值是2，求這個一次函數(shù)的解析式；（3）將二次函數(shù)y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向上平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是n，當m在什么范圍時，滿足≤n≤1．14．在平面直角坐標系中，由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線C1與拋物線C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分圖象組成一個“月牙線”，相同的交點分別為M，N（點M在點N的左側），與y軸的交點分別為A，B，且點A的坐標為（0，﹣1）．（1）求M，N兩點的坐標及拋物線C1的解析式；（2）若拋物線C2的頂點為D，當m＝時，試判斷三角形MND的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，點P（t，﹣）是拋物線C1上一點，拋物線C2第三象限上是否存在一點Q，使得S△APM＝S△ONQ，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．15．閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內任取x＝a與x＝﹣a時，函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實數(shù)范圍內任取x＝a時，y＝a2；當x＝﹣a時，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1對稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當x≥0時，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請在圖1中畫出x＜0時，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當它與直線y＝﹣x+n恰有3個交點時，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個交點時，求b的取值范圍．16．定義：把一個半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，8），AB為半圓的直徑，半圓的圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為3．（1）請你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)，自變量的取值范圍是；（2）請你求出過點C的“蛋圓”切線與x軸的交點坐標；（3）求經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式．17．規(guī)定：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一組點是關于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“O—函數(shù)”．這組點稱為“XC點”．例如：點P（1，1）在函數(shù)y＝x2上，點Q（﹣1，﹣1）在函數(shù)y＝﹣x﹣2上，點P與點Q關于原點對稱，此時函數(shù)y＝x2和y＝﹣x﹣2互為“O—函數(shù)”，點P與點Q則為一組“XC點”．（1）已知函數(shù)y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互為“O—函數(shù)”，請求出它們的“XC點”；（2）已知函數(shù)y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互為“O—函數(shù)”，求n的最大值并寫出“XC點”；（3）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）與y＝2bx+1互為“O—函數(shù)”有且僅存在一組“XC點”，如圖，若二次函數(shù)的頂點為M，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，過頂點M作x軸的平行線l，點P在直線l上，記P的橫坐標為﹣，連接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．18．如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“CJ三角形”．（1）判斷下列三角形是否為“CJ三角形”？如果是，請在對應橫線上畫“√”，如果不是，請在對應橫線上畫“×”；①其中有兩內角分別為30°，60°的三角形；②其中有兩內角分別為50°，60°的三角形；③其中有兩內角分別為70°，100°的三角形；（2）如圖1，點A在雙曲線y＝（k＞0）上且橫坐標為1，點B（4，0），C為OB中點，D為y軸負半軸上一點，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求證：△ABC為“CJ三角形”；②若△OAB與△OBD相似，直接寫出D的坐標；（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E為BC邊上一點，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），記BE＝t，過A，E作拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右側，且在x軸上，點Q在拋物線上，使得tan∠ABQ＝，若符合條件的Q點個數(shù)為3個，求拋物線y＝ax2+bx+c的解析式．

例題精講例題精講考點1一次函數(shù)新定義問題【例1】．定義：我們把一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與正比例函數(shù)y＝x的交點稱為一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的“不動點”．例如求y＝2x﹣1的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則y＝2x﹣1的“不動點”為（1，1）．（1）由定義可知，一次函數(shù)y＝3x+2的“不動點”為（﹣1，﹣1）；（2）若一次函數(shù)y＝mx+n的“不動點”為（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直線y＝kx﹣3（k≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，且直線y＝kx﹣3上沒有“不動點”，若P點為x軸上一個動點，使得S△ABP＝3S△ABO，求滿足條件的P點坐標．解：（1）聯(lián)立，解得，∴一次函數(shù)y＝3x+2的“不動點”為（﹣1，﹣1），故答案為：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函數(shù)y＝mx+n的“不動點”為（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不動點”為（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直線y＝kx﹣3上沒有“不動點”，∴直線y＝kx﹣3與直線y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），設P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，∴S△ABP＝×|t﹣3|×3，S△ABO＝×3×3，∵S△ABP＝3S△ABO，∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．變式訓練【變1-1】．在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式一一利用函數(shù)圖象研究其性質一一運用函數(shù)解決問題”的學習過程．在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象．同時，我們也學習了絕對值的意義．結合上面經(jīng)歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題：在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當x＝2時，y＝﹣4；當x＝0時，y＝﹣1．（1）求這個函數(shù)的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜9．解：（1）∵在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當x＝2時，y＝﹣4；當x＝0時，y＝﹣1，∴，解得，∴這個函數(shù)的表達式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函數(shù)y＝x﹣7過點（2，﹣4）和點（4，﹣1）；函數(shù)y＝﹣x﹣1過點（0，﹣1）和點（﹣2，2），該函數(shù)的圖象如圖所示，性質：當x＞2時，y的值隨x的增大而增大；（3）由函數(shù)的圖象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的圖象，由圖象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個不相等實數(shù)根，則0＜a＜9，故答案為：0＜a＜9．考點2反比例函數(shù)新定義問題【例2】．探究函數(shù)性質時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各小題．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）寫出函數(shù)關系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，點（3，1）在該函數(shù)圖象上，∴將點（3，1）代入函數(shù)解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函數(shù)的解析式為：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；當x＝1時，y＝3；當x＝4時，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案為：﹣2，3，4；（2）通過列表—描點—連線的方法作圖，如圖所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，實際上求出函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m的圖象位于函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8圖象上方的自變量的范圍，∴由圖象可知，當x＜0或x＞4時，滿足條件，故答案為：x＜0或x＞4．變式訓練【定義】在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當AB的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點A與直線l1之間的距離，當l2∥l1時，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．【應用】（1）如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D為AB邊上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是；（2）如圖3，已知直線l3：y＝﹣x+4與雙曲線C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）與B兩點，點A與點B之間的距離是2，點O與雙曲線C1之間的距離是；【拓展】（3）按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80m時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南﹣西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m．現(xiàn)以高速路上某一合適位置為坐標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線l4的函數(shù)表達式為y＝﹣x，小區(qū)外延所在雙曲線C2的函數(shù)表達式為y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？解：（1）如圖，過點D作DH⊥BC于點H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案為：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴雙曲線C1的解析式為y＝，聯(lián)立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如圖，作FG∥AB，且FG與雙曲線y＝只有一個交點，設直線FG的解析式為y＝﹣x+b，則﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合題意，舍去），∴直線FG的解析式為y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案為：2，；（3）如圖，設點S（a，b）是雙曲線y＝（x＞0）上任意一點，且a＜b，以點S為圓心，80為半徑作⊙S交l4于E，過點S作SF⊥直線l4于F，交y軸于W，SH⊥x軸于H，SG⊥y軸于G，則SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直線y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，設b﹣a＝m（m＞0），則OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的長度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80米．考點3二次函數(shù)新定義問題【例3】．小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質：函數(shù)圖象關于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四個實數(shù)根，則m的取值范圍是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當1＜y1≤2時，自變量x的取值范圍．解：（1）觀察探究：①該函數(shù)的一條性質為：函數(shù)圖象關于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜m＜0．故答案為：函數(shù)圖象關于y軸對稱；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象向右平移1個單位，向上平移2個單位可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的圖象，當1＜y1≤2時，自變量x的取值范圍是﹣1＜x＜3且x≠1，變式訓練【變3-1】．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|ax2+bx+c|的圖象（如圖所示），下列結論正確的是（）A．圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1.5 B．有且只有﹣1≤x≤1時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大 C．若a＜0，則8a+c＞0 D．若a＜0，則a+b≥m（am+b）（m為任意實數(shù)）解：由圖象可得，圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝＝1，故選項A錯誤，不符合題意；當﹣1≤x≤1或x＞3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故選項B錯誤，不符合題意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故選項C錯誤，不符合題意；∵y＝ax2+bx+c開口向下，對稱軸為直線x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m為任意實數(shù)），∴a+b≥m（am+b）+c，故選項D正確，符合題意；故選：D．【變3-2】．已知拋物線y＝ax2+c過點A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點，交x軸于另一點B．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點P是BD上方拋物線上一點，連接AD，BD，PD，當BD平分∠ADP時，求P點坐標；（3）將拋物線圖象繞原點O順時針旋轉90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M，N分別是旋轉前后拋物線的頂點，點E、F是旋轉前后拋物線的交點．①直線EF的解析式是y＝x；②點G、H是“心形”圖案上兩點且關于EF對稱，則線段GH的最大值是．解：（1）∵拋物線y＝ax2+c過點A（﹣2，0）和D（﹣1，3）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4；（2）過點B作BE⊥x軸交DP延長線于點E，過D作DF⊥x于點F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，則﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，則B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），設直線DE的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線DE的解析式為y＝x+，聯(lián)立，解得或，則P（，）；（3）①∵拋物線關于y軸對稱，所以旋轉后圖形關于x軸對稱，∴對于拋物線上任意一點P（a，b）關于原點旋轉90°后對應點為P1（b，﹣a）在旋轉后圖形上，P1（b，﹣a）關于x軸對稱的點P2（b，a）在旋轉后圖形上，∵P（a，b）與P2（b，a）關于y＝x對稱，∴圖形2關于y＝x對稱，∴直線EF的解析式為y＝x，故答案為：y＝x；②如圖，連接GH，交EF與點K，則GH＝2GK，過點G作x軸的垂線，交EF于點I，∴當GK最大時，△GFE面積最大，又∵S△GFE＝GI?（xE﹣xF），設G（m，﹣m2+4），則I（m，m），∴GI＝y(tǒng)G﹣yI＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴當m＝﹣時，△GFE面積最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）關于y＝x的對稱點H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值為，故答案為：．1．對于實數(shù)a，b，定義符號max|a，b|，其意義為：當a≥b時，max|a，b|＝a，當a＜b時，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若關于x的函數(shù)y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，則該函數(shù)的最小值為（）A． B．1 C． D．3解：當2x﹣1≥﹣x+5時，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此時x＝2時，y有最小值，最小值為2×2﹣1＝3；當2x﹣1≤﹣x+5時，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此時x＝2時，y有最小值，最小值為﹣2+5＝3；綜上所述，該函數(shù)的最小值為3．故選：D．2．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b），若點P′的坐標為（ka+b，a+）（其中k為常數(shù)且k≠0），則稱點P′為點P的“k關聯(lián)點”．已知點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上運動，且點A是點B的“關聯(lián)點”，當線段OB最短時，點B的坐標為（，）或（﹣，﹣）．解：設B（x，y），∵點A是點B的“關聯(lián)點”，∴A（x+y，x+）∵點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，當點B在直線y＝﹣x+上時，設直線y＝﹣x+與x軸、y軸相交于點M、N，則M（1，0）、N（0，），當OB⊥MN時，線段OB最短，此時OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得點B（，）；設直線y＝﹣x﹣時，同理可得點B（﹣，﹣）；故答案為：（，）或（﹣，﹣）．3．定義：由a，b構造的二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax+b叫做二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函數(shù)y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數(shù)”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函數(shù)”是y＝﹣2x﹣1，故答案為：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“不動點”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不動點”．已知雙曲線．（1）下列說法不正確的是C．A．直線y＝x的圖象上有無數(shù)個“不動點”B．函數(shù)的圖象上沒有“不動點”C．直線y＝x+1的圖象上有無數(shù)個“不動點”D．函數(shù)y＝x2的圖象上有兩個“不動點”（2）求雙曲線上的“不動點”；（3）若拋物線y＝ax2﹣3x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個“不動點”，①當a＞1時，求c的取值范圍．②如果a＝1，過雙曲線圖象上第一象限的“不動點”做平行于x軸的直線l，若拋物線上有四個點到l的距離為m，直接寫出m的取值范圍．解：（1）設坐標平面內任意一個“不動點”的坐標為（n，n），直線y＝x，當x＝n時，則y＝n，∴點（n，n）在直線y＝x上，∴直線y＝x上有無數(shù)個“不動點”，故A正確；將（n，n）代入y＝，得n＝，此方程無解，∴函數(shù)y＝的圖象上沒有“不動點”，故B正確；將（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程無解，∴直線y＝x+1上沒有“不動點”，故C錯誤；將（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函數(shù)y＝x2的圖象上有兩個“不動點”（0，0）和（1，1），故D正確，故選：C．（2）設雙曲線上的“不動點”為（x，x），則x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴雙曲線上的“不動點”為（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①設拋物線y＝ax2﹣3x+c上的“不動點”為（x，x），則x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵該拋物線上有且只有一個“不動點”，∴關于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵當a＝1時，則＝1，∴c＝4，∴拋物線為y＝x2﹣3x+4，由（2）得，雙曲線在第一象限的不動點為（3，3），∴直線l即直線y＝3，如圖，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴該拋物線的頂點B（，），對稱軸為直線x＝，設直線r在直線l下方且到直線l的距離為m，直線x＝交直線l于點A，交直線r于點C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，設直線t與直線r關于直線l對稱，∵當點C在點B的上方時，拋物線上有四個點到l的距離為m，∴0＜m＜．5．在并聯(lián)電路中，電源電壓為U總＝6V，小亮根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理知道：I總＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1為定值電阻，當R變化時，干路電流I總也會發(fā)生變化，且干路電流I總與R之間滿足如下關系：I總＝1+．（1）定值電阻R1的阻值為6Ω；（2）小亮根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)I2＝來探究函數(shù)I總＝1+的圖象與性質．①列表：如表列出I總與R的幾組對應值，請寫出m，n的值：m＝2.5，n＝2；R…3456…I2＝…21.51.21…I總＝1+…3m2.2n…②描點、連線：在平面直角坐標系中，以①給出的R的取值為橫坐標，以I總相對應的值為縱坐標，描出相應的點，并將各點用光滑曲線順次連接起來；（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①I總隨R的增大而減小；（填“增大”或“減小”）②函數(shù)I總＝1+的圖象是由I2＝的圖象向上平移1個單位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案為：6；（2）①當R＝4時，m＝1+1.5＝2.5，當R＝6時，n＝1+1＝2，故答案為：2.5，2；②圖象如下：（3）①根據(jù)圖象可知，I總隨R的增大而減小，故答案為：減??；②函數(shù)I總＝1+的圖象是由I2＝的圖象向上平移1個單位得到，故答案為：上，1．6．小欣研究了函數(shù)的圖象與性質．其研究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝1；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y）；③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整．（2）探究函數(shù)性質：下列說法不正確的是AA．函數(shù)值y隨x的增大而減小B．函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限C．函數(shù)圖象與直線x＝﹣1沒有交點D．函數(shù)圖象對稱中心（﹣1，0）（3）如果點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，如果x1+x2＝﹣2，則y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，圖象如下所示：故答案為：1，圖象如上所示；（2）A．當x＜﹣1或x＞﹣1時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，故選項A不正確；B．根據(jù)圖象可得，函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限，故選項B正確；C．根據(jù)函數(shù)表示可得：x≠﹣1，所以函數(shù)圖象與直線x＝﹣1沒有交點，故選項C正確；D．根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象對稱中心（﹣1，0），故選項D正確；故選：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案為：0．7．九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質后，進一步研究了函數(shù)的圖象與性質，其探究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象，列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描點：根據(jù)表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出各點，請你描出剩下的點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，已經(jīng)畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整；（2）通過觀察圖象，下列關于該函數(shù)的性質表述正確的是：②；（填寫代號）①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②關于y軸對稱；③關于原點對稱；（3）在上圖中，若直線y＝2交函數(shù)的圖象于A，B兩點（A在B左邊），連接OA．過點B作BC∥OA交x軸于C．則S四邊形OABC＝4．解：（1）將x＝3代入得y＝，故答案為：．（2）由（1）中的圖象可知，在第一象限內，y隨x的增大而減?。辉诘诙笙迌?，y隨x的增大而增大；函數(shù)圖象關于y軸對稱，故②正確；故答案為：②．（3）將y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直線y＝2上，OC在x軸上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四邊形OABC為平行四邊形，∴S四邊形OABC＝AB?yA＝2×2＝4．故答案為：4．8．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應用】（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為30°；（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標．解：（1）延長BA交x軸于點D，過點C作CE⊥x軸于點E，∵點，，，∴AB∥y軸，，OE＝3，∴AB⊥x軸，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原點O對三角形ABC的視角為30°過答案為：30°（2）證明：如圖，過圓O2上任一點P作圓O1的兩條切線交圓O1于A，B，連接OA，OB，OP，則有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圓O2上任意一點P對圓O1的視角是60°，∴圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值．（3）當在直線AB與直線CD之間時，視角是∠APD，此時以E（﹣4，0）為圓心，EA半徑畫圓，交直線于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合視角的定義，P3，P6舍去．同理，當在直線AB上方時，視角是∠BPD，此時以A（﹣2，2）為圓心，AB半徑畫圓，交直線于P1，P5，P5不滿足；過點P1作P1M⊥AD交DA延長線于點M，則AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴當在直線CD下方時，視角是∠APC，此時以D（﹣2，﹣2）為圓心，DC半徑畫圓，交直線于P2，P4，P4不滿足；同理得：；綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標或．9．小明在學習函數(shù)的過程中遇到這樣一個函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時，[x]＝x2﹣1；若x＜0時，[x]＝﹣x﹣1．小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對該函數(shù)進行了探究．（1）①列表：下表列出y與x的幾組對應值，請寫出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描點：在平面直角坐標系中，以①給出的自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點并連線，作出函數(shù)圖象；（2）下列關于該函數(shù)圖象的性質正確的是③；（填序號）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖象關于y軸對稱；③當x＝0時，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限．（3）若函數(shù)值y＝8，則x＝3或﹣9；（4）若關于x的方程2x+c＝[x]有兩個不相等的實數(shù)根，請結合函數(shù)圖象，直接寫出c的取值范圍是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案為：0，3；②描點，連線，作出函數(shù)圖象如下：（2）從圖象可知：下列關于該函數(shù)圖象的性質正確的是③；故答案為：③；（3）若x≥0時，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0時，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案為：3或﹣9；（4）由圖象可知：關于x的方程2x+c＝[x]有兩個不相等的實數(shù)根，則c＞﹣2，故答案為：c＞﹣2．10．某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關系進行了探究．下面是小紅的探究過程，請補充完整：（1）經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應值，如表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)；（2）在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度AE為0.88米；②公園欲開設游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且CE＝DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．（精確到0.1米）解：（1）d是自變量，h是這個變量的函數(shù)，故答案為：d，h；（2）如圖，（3）①當x＝0時，y＝0.88，∴橋墩露出水面的高度AE為0.88米，故答案為：0.88；②設y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，對稱軸為直線x＝2，令y＝2，則2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案為：0.7．11．小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運用性質解決問題．（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．①列出y與x的幾組對應值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②結合上表，在下圖所示的平面直角坐標系xOy中，畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象；③觀察圖象，當x＝﹣2或2時，y有最大值為1；（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點坐標；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點在函數(shù)M的圖象上，當y1＜y2時，請直接寫出m的取值范圍．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案為：﹣3；②畫出當x＞0時函數(shù)M的圖象如下：③觀察圖象，當x＝﹣2或2時，y有最大值為1；故答案為：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點坐標為（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點在函數(shù)M的圖象上，且y1＜y2，∴m的取值范圍m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定義：平面直角坐標系xOy中，若點M繞原點順時針旋轉90°，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點M為函數(shù)圖象W的“直旋點”．例如，點是函數(shù)y＝x圖象的“直旋點”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三點中，是一次函數(shù)圖象的“直旋點”的有②③（填序號）；（2）若點N（3，1）為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，求k的值；（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象的“直旋點”且在直線AC上，求D點坐標．解：（1）①點（3，0）繞原點順時針旋轉90°得點（0，﹣3），當x＝0時，y＝1，∴點（3，0）不是一次函數(shù)圖象的“直旋點”；②點（﹣1，0）繞原點順時針旋轉90°得點（0，1），當x＝0時，y＝1，∴點（﹣1，0）是一次函數(shù)圖象的“直旋點”；③點（0，3）繞原點順時針旋轉90°得（3，0），當x＝3時，y＝＝0，∴點（0，3）是一次函數(shù)圖象的“直旋點”；∴是一次函數(shù)圖象的“直旋點”的有②③；故答案為：②③；（2）點N（3，1）繞原點順時針旋轉90°得點（1，﹣3），∵點N（3，1）為反比例函數(shù)圖象的“直旋點”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點C，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設直線AC的解析式為y＝kx+b，，解得：，∴直線AC的解析式為y＝3x+3，設點D（a，3a+3），則D（a，3a+3）繞原點順時針旋轉90°得點（3a+3，﹣a），∵點D是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象的“直旋點”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴點D的坐標為（0，3）或．13．對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界是1．（1）直接判斷函數(shù)y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，直接寫出其邊界值；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的邊界值是3，且這個函數(shù)的最大值是2，求這個一次函數(shù)的解析式；（3）將二次函數(shù)y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向上平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是n，當m在什么范圍時，滿足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函數(shù)；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函數(shù)，當x＝﹣4時，y＝9，當x＝2時，y＝﹣3，∴對于﹣4＜x≤2時，任意函數(shù)值都滿足﹣9＜y≤9，∴邊界值為9．（2）當k＞0時，由有界函數(shù)的定義得函數(shù)過（1，2），（﹣2，﹣3）兩點，設y＝kx+b，將（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，當k＜0時，由有界函數(shù)的定義得函數(shù)過（﹣2，2），（1，﹣3）兩點，設y＝kx+b，將（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函數(shù)向上平移m個單位后，x＝0時，y＝m，此時邊界值t≥1，與題意不符，故m≤1，函數(shù)y＝﹣x2過點（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m個單位后，平移圖象經(jīng)過（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐標系中，由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線C1與拋物線C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分圖象組成一個“月牙線”，相同的交點分別為M，N（點M在點N的左側），與y軸的交點分別為A，B，且點A的坐標為（0，﹣1）．（1）求M，N兩點的坐標及拋物線C1的解析式；（2）若拋物線C2的頂點為D，當m＝時，試判斷三角形MND的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，點P（t，﹣）是拋物線C1上一點，拋物線C2第三象限上是否存在一點Q，使得S△APM＝S△ONQ，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）令y＝0，則mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），設拋物線C1的解析式為y＝a（x+6）（x﹣2），將點A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；（3）∵存在一點Q，使得S△APM＝S△ONQ，理由如下：∵點P（t，﹣）是拋物線C1上一點，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），設直線AM的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，過點P作PG∥y軸交AM于點G，當P（﹣1，﹣）時，G（﹣1，﹣），∴PG＝，∴S△APM＝6×＝，∵S△APM＝S△ONQ，∴××2×|yQ|＝，解得yQ＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；當P（﹣3，﹣）時，G（﹣3，﹣），∴PG＝，∴S△APM＝6×＝，∵S△APM＝S△ONQ，∴××2×|yQ|＝，解得yQ＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；綜上所述：Q點坐標為（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．閱讀材料：一般地，對于某個函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內任取x＝a與x＝﹣a時，函數(shù)值相等，那么這個函數(shù)是“對稱函數(shù)”．例如：y＝x2，在實數(shù)范圍內任取x＝a時，y＝a2；當x＝﹣a時，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝2|x|+1是對稱函數(shù)（填“是”或“不是”）．當x≥0時，y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，請在圖1中畫出x＜0時，y＝2|x|+1的圖象．（2）函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象如圖2所示，當它與直線y＝﹣x+n恰有3個交點時，求n的值．（3）如圖3，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），當二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個交點時，求b的取值范圍．解：（1）∵在實數(shù)范圍內任取x＝a時，y＝2|a|+1，當x＝﹣a時，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“對稱函數(shù)”．故答案為：是；y＝2|x|+1的圖象如圖1所示，（2）①當直線y＝﹣x+n經(jīng)過點（0，1）時，函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象與直線y＝﹣x+n恰有3個交點，∴n＝1；②當直線y＝﹣x+n與函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象的右半側相切時，函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象與直線y＝﹣x+n恰有3個交點，即方程組有一個解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有兩個相等的實數(shù)根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．綜上，函數(shù)y＝x2﹣2|x|+1的圖象與直線y＝﹣x+n恰有3個交點，則n的值為1或；（3）當x＞0時，函數(shù)y＝x2﹣bx+1的圖象與x軸相切時，方程x2﹣bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；當x＞0時，函數(shù)y＝x2﹣bx+1的圖象與直線DC相切時，方程x2﹣bx+1＝﹣3有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；當x＜0時，函數(shù)y＝x2+bx+1的圖象經(jīng)過點（﹣3，﹣3）時，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．綜上，當2＜b＜4或b＞時，二次函數(shù)y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的圖象與矩形的邊恰有4個交點．16．定義：把一個半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，8），AB為半圓的直徑，半圓的圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為3．（1）請你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)＝﹣x2+4x+8，自變量的取值范圍是﹣2≤x≤4；（2）請你求出過點C的“蛋圓”切線與x軸的交點坐標；（3）求經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式．解：（1）∵半圓的圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為3，∴A（﹣2，0），B（4，0），設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，則，解得，∴“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案為：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x≤4．（2）如圖，設過點C的切線與x軸相交于E，連接CM，∵CE與半圓相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴