2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題54 一次函數(shù)中的45°角問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（12，0），點B（0，4），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B將直線AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．【變1-2】．如圖，已知點A：（2，﹣5）在直線l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的圖象交于點B，且點B的橫坐標(biāo)為8，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線l2，相交于點Q，則點Q的坐標(biāo)為．【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別與x軸，y軸相交于A，B兩點．將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點C，則點C的坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣2的圖象分別交x、y軸于點A、B，直線BC與x軸正半軸交于點C，若∠ABC＝45°，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝3x﹣2 B．y＝x﹣2 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2【變2-2】．如圖，一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經(jīng)過點M（1，3），且與x軸，y軸分別交于A，B兩點．（1）填空：b＝；（2）將該直線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．1．如圖，直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，點C在x軸上，若∠ABO+∠ACO＝45°，則點C的坐標(biāo)為．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m（m≠0）分別交x軸，y軸于A，B兩點，已知點C（2，0）．設(shè)點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y＝﹣x+3．點C是AO上一點且OC＝1，點D在線段BO上，分別連接BC，AD交于點E，若∠BED＝45°，則OD的長是．4．如圖，直線y＝4x+4交x軸于點A，交y軸于點B，直線BC：y＝﹣x+4交x軸于點C，點P為線段BC上一點，∠PAB＝45°，求點P的坐標(biāo)．5．如圖，正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A，點A在第二象限，過點A作AC⊥y軸于點C，AC＝2，且△AOC的面積為5．（1）求正比例函數(shù)的解析式；（2）若直線y＝ax上有一點B滿足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C為坐標(biāo)軸上的三個點，且OA＝OB＝OC＝6，過點A的直線AD交直線BC于點D，交y軸于點E，△ABD的面積為18．（1）求點D的坐標(biāo)．（2）求直線AD的表達(dá)式及點E的坐標(biāo)．（3）過點C作CF⊥AD，交直線AB于點F，求點F的坐標(biāo)．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y＝﹣x+3分別交x、y軸于點B、A．（1）如圖1，點C是直線AB上不同于點B的點，且CA＝AB．則點C的坐標(biāo)為；（2）點C是直線AB外一點，滿足∠BAC＝45°，求出直線AC的解析式；（3）如圖3，點D是線段OB上一點，將△AOD沿直線AD翻折，點O落在線段AB上的點E處，點M在射線DE上，在x軸的正半軸上是否存在點N，使以M、A、N、B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（9，4），AB⊥x軸于點B，AC垂直y軸于點C，點D為x軸上的一個動點，若CD＝2．（1）直接寫出點D的坐標(biāo)；（2）翻折四邊形ACOB，使點C與點D重合，直接寫出折痕所在直線的解析式；（3）在線段AB上找點E使∠DCE＝45°．①直接寫出點E的坐標(biāo)；②點M在線段AC上，點N在線段CE上，直接寫出當(dāng)△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形時點M的坐標(biāo)．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（6，0）為坐標(biāo)軸上的點，點C為線段AB的中點，過點C作DC⊥x軸，垂足為D，點E為y軸負(fù)半軸上一點，連接CE交x軸于點F，且CF＝FE．（1）直接寫出E點的坐標(biāo)；（2）過點B作BG∥CE，交y軸于點G，交直線CD于點H，求四邊形ECBG的面積；（3）直線CD上是否存在點Q使得∠ABQ＝45°，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣6，6），以A為頂點的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如圖1，連接OA，當(dāng)AB＝AC時，試說明：OA＝OB．（2）過點A作AD⊥x軸，垂足為D，當(dāng)DC＝2時，將∠BAC沿AC所在直線翻折，翻折后邊AB交y軸于點M，求點M的坐標(biāo)．11．模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．易證：△BEC≌△CDA模型應(yīng)用：如圖2，已知直線l1：y＝x+4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)45°至l2．（1）在直線l2上求點C，使△ABC為直角三角形；（2）求l2的函數(shù)解析式；（3）在直線l1、l2分別存在點P、Q，使得點A、O、P、Q四點組成的四邊形是平行四邊形？請直接寫出點Q的坐標(biāo)．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M（﹣2，﹣2），過點M作直線AB，交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸負(fù)半軸于點B（0，m）．（1）如圖1，當(dāng)m＝﹣6時．i）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；ii）過點A作y軸的平行線l，點N是l上一動點，連接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求滿足條件的點N的坐標(biāo)．（2）如圖2，將直線AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°后，交x軸正半軸于點C，過點C作CD⊥BC，交直線AB于點D．試問：隨著m值的改變，點D的橫坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，求出點D的橫坐標(biāo)；若變化，請說明理由．13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x﹣4與x軸，y軸分別交于點A、B，與直線y＝3交于點C，點D為直線y＝3上點C右側(cè)的一點．（1）如圖1，若△ACD的面積為6，則點D的坐標(biāo)為；（2）如圖2，當(dāng)∠CAD＝45°時，求直線AD的解析式；（3）在（2）的條件下，點E為直線AD上一點，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，△ACE的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍．14．（1）基本圖形的認(rèn)識：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是邊BC上一點，AB＝EC，BE＝CD，連結(jié)AE、DE，求證：△AED是等腰直角三角形．（2）基本圖形的構(gòu)造：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，3），連結(jié)AB，過點A在第一象限內(nèi)作AB的垂線，并在垂線截取AC＝AB，求點C的坐標(biāo)；（3）基本圖形的應(yīng)用：如圖3，一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，直線AC交x軸于點D，且∠CAB＝45°，求點D的坐標(biāo)．15．【模型建立】：（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA；【模型應(yīng)用】：（2）如圖②，已知直線l1：y＝﹣2x+4與x軸交于點A、與y軸交于點B，將直線l1繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖③，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點B（﹣4，﹣6），過點B作BA⊥x軸于點A、BC⊥y軸于點C，點P是線段AB上的動點，點D是直線y＝3x+3上的動點且在第三象限內(nèi)．試探究△CPD能否成為等腰直角三角形？若能，求出點D的坐標(biāo)，若不能，請說明理由．

例題精講例題精講【例1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（12，0），點B（0，4），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標(biāo)為（5，﹣6）．解：如圖所示，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，則點C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣8），由于旋轉(zhuǎn)可知，△ABC為等腰直角三角形，令線段AC和線段BP交于點M，則M為線段AC的中點，所以點M的坐標(biāo)為（4，﹣4），又B為（0，4），設(shè)直線BP為y＝kx+b，將點B和點M代入可得，解得k＝﹣2，b＝4，可得直線BP為y＝﹣2x+4，由于點P為直線BP和直線y＝﹣x﹣1的交點，則由解得，所以點P的坐標(biāo)為（5，﹣6），故答案為（5，﹣6）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B將直線AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x+4．解：∵一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，∴令x＝0，得y＝4，令y＝0，則x＝2，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，在△ABO和△FAE中，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，∴F（﹣2，﹣2），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+4，把F的坐標(biāo)代入得，﹣2＝﹣2k+4，解得k＝3，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝3x+4，故答案為：y＝3x+4．【變1-2】．如圖，已知點A：（2，﹣5）在直線l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的圖象交于點B，且點B的橫坐標(biāo)為8，將直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°與直線l2，相交于點Q，則點Q的坐標(biāo)為（，﹣）．解：過Q作QE⊥AQ交AB于E，過Q作FG∥y軸，過A作AF⊥FG于F，過E作EG⊥FG于G，將點A的坐標(biāo)代入y＝2x+b中，得﹣5＝2×2+b，解得：b＝﹣9，∴直線l1的解析式為y＝2x﹣9，將x＝8代入y＝2x﹣9中，解得：y＝7，∴點B的坐標(biāo)為（8，7），將點B的坐標(biāo)代入y＝kx﹣1中，得7＝8k﹣1，解得：k＝1，∴直線l2的解析式為y＝x﹣1，∵∠G＝∠F＝∠EQA＝90°，∴∠EQG+∠AQF＝90°，∠QAF+∠AQF＝90°，∴∠EQG＝∠QAF，∵∠EQA＝90°，∠QAE＝45°，∴△AQE是等腰直角三角形，∴EQ＝QA，在△EGQ和△QFA中，，∴△EGQ≌△QFA（AAS），∴EG＝QF，QG＝AF，設(shè)Q（a，a﹣1），∵A（2，﹣5），∴AF＝2﹣a，F(xiàn)Q＝a+4，GE＝a+4，QG＝2﹣a，∴點E坐標(biāo)（2a+4，1），把E（2a+4，1）代入y＝2x﹣9中，得4a+8﹣9＝1，解得：a＝，∴點Q的坐標(biāo)為（，﹣）．故答案為：（，﹣）．【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別與x軸，y軸相交于A，B兩點．將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點C，則點C的坐標(biāo)為（0，﹣6）．解：一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別與x軸，y軸相交于A，B兩點．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，作DB⊥AB交直線AC于D，過點D作DE⊥y軸與E，∵∠BAD＝45°，∴△BAD是等腰直角三角形，∴AB＝DB，∵∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠DBE＝90°，∴∠OAB＝∠DBE，在△ABO和△BDE中，∴△ABO≌△BDE（AAS），∴BE＝OA＝2，DE＝BO＝4，∴D（﹣4，6），設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+4，把A、D的坐標(biāo)代入得，解得，∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣3x﹣6，∴點C的坐標(biāo)為（0，﹣6）．故答案為：（0，﹣6）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x﹣2的圖象分別交x、y軸于點A、B，直線BC與x軸正半軸交于點C，若∠ABC＝45°，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝3x﹣2 B．y＝x﹣2 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣2的圖象分別交x、y軸于點A、B，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，則x＝1，∴A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，如圖，過A作AF⊥AB交BC于F，過F作FE⊥x軸于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（3，﹣1），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，，∴，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x﹣2，故選：B．【變2-2】．如圖，一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經(jīng)過點M（1，3），且與x軸，y軸分別交于A，B兩點．（1）填空：b＝1；（2）將該直線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經(jīng)過點M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，故答案為1；（2）∵一次函數(shù)y＝2x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y軸于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），設(shè)直線l的解析式為y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直線l的解析式為y＝x+．1．如圖，直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，點C在x軸上，若∠ABO+∠ACO＝45°，則點C的坐標(biāo)為（﹣2，0）（2，0）．解：∵直線y＝x+1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點∴當(dāng)x＝0時，y＝1；當(dāng)y＝0時，x＝﹣3∴點A（0，1），點B（﹣3，0）如圖：取點D（﹣1，0），當(dāng)點C在原點右邊，設(shè)點C（a，0）∵點A（0，1），點D（﹣1，0），點B（﹣3，0）∴OA＝OD＝1，OB＝3，BD＝2∴∠ADO＝∠DAO＝45°，AB＝＝∴∠ABO+∠BAD＝45°又∵∠ABO+∠ACO＝45°∴∠ACO＝∠BAD，且∠ABO＝∠ABO∴△ABD∽△CBA∴即∴a＝2∴點C坐標(biāo)為（2，0）若點C在原點左邊，記為點C1，∵∠ABO+∠ACO＝45°，∠ABO+∠AC1O＝45°∴∠ACO＝∠AC1O且∠AOC＝∠AOB＝90°，AO＝AO∴△ACO≌△AC1O（AAS）∴OC＝OC1＝2∴點C1（﹣2，0）故答案為：（2，0），（﹣2，0）2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+m（m≠0）分別交x軸，y軸于A，B兩點，已知點C（2，0）．設(shè)點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是12．解：作OD＝OC＝2，連接CD．則∠PDC＝45°，如圖，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．當(dāng)m＜0時，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此時∠CPA＞45°，故不合題意．∴m＞0．∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，∴△PCD∽△APB，∴，即＝，解得m＝12．故答案是：12．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y＝﹣x+3．點C是AO上一點且OC＝1，點D在線段BO上，分別連接BC，AD交于點E，若∠BED＝45°，則OD的長是．解：方法一：在x軸負(fù)半軸截取OF＝，過點F作FH⊥AF交AD的延長線于點H，過點H作HP⊥x軸于點P，∵OC：OB＝1：4，OF：OA＝÷3＝1：4，∴將△BOC逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，再將點B平移到與點A重合時，此時的∠FAO和∠CBO重合，∴∠FAO＝∠CBO，∵FH⊥AF，∴∠AFO+∠HFP＝90°，而∠AFO+∠FAO＝90°，∴∠FAO＝∠HFP＝∠CBO，∴BC∥FH，∴∠FHA＝∠BED＝45°，∴△AFH為等腰直角三角形，∴AF＝FH，而∠AOF＝∠FPH，∠FPH＝∠AFO，∴△AOF≌△FPH（AAS），∴PF＝AO＝3，PH＝OF＝，故OP＝FP﹣OF＝3﹣＝，故點H（，﹣），設(shè)直線AH的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，故直線AH的表達(dá)式為y＝﹣x+3，令y＝0，則y＝﹣x+3＝0，解得：x＝，故點D（，0），故OD＝，故答案為．方法二：過點A作x軸的平行線MN，交過點E與y軸的平行線于點M，交過點F與y軸的平行線于點N，由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+1，同理可證：△EMA≌△ANF（AAS），則AN＝ME＝3+m﹣1＝m+2，NF＝AM＝m，則點F的坐標(biāo)為（﹣m﹣2，3﹣m），將點F的坐標(biāo)代入直線BC的表達(dá)式并解得m＝，故點E的坐標(biāo)為（，），由點A、E的坐標(biāo)得，直線AE的表達(dá)式為y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝，故OD＝，故答案為．4．如圖，直線y＝4x+4交x軸于點A，交y軸于點B，直線BC：y＝﹣x+4交x軸于點C，點P為線段BC上一點，∠PAB＝45°，求點P的坐標(biāo)．解：由題可得A（﹣1，0），B（0，4），C（4，0），設(shè)P（m，4﹣m），過點P做PD⊥AB，∴AB＝，AC＝5，△ABC的面積＝＝+××PD，∴PD＝m，∵∠PAB＝45°，∴AP＝m，∴（m）2＝（4﹣m）2+（m+1）2，∴m＝，∴P（，）；5．如圖，正比例函數(shù)y＝kx經(jīng)過點A，點A在第二象限，過點A作AC⊥y軸于點C，AC＝2，且△AOC的面積為5．（1）求正比例函數(shù)的解析式；（2）若直線y＝ax上有一點B滿足∠AOB＝45°，且OB＝AB，求a的值．解：（1）∵AC⊥y軸．∴∠ACO＝90°∵△AOC的面積為5，∴S△AOC＝AC?OC＝5，又∵AC＝2，∴OC＝5．∴A（﹣2，5），將點A（﹣2，5）代入y＝kx，解得k＝﹣，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝﹣x；（2）①當(dāng)點B在第二象限時，如圖，∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠ABO＝90°，∴∠ABF+∠EBO＝90°，如圖，過B作BE⊥x軸于E，交CA延長線于點F．∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，∴四邊形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，∴∠ABF+∠FAB＝90°，∴∠EBO＝∠FAB，∴△EBO≌△FAB（AAS）．∴BE＝AF，EO＝FB．又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，AC＝CF﹣AF＝2，∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，解得：EO＝，BE＝．∴B（﹣，），將B（﹣，）代入y＝ax，解得a＝﹣．∴a＝﹣．②當(dāng)點B在第一象限時，OB1＝OB，過點O作OB1⊥OB，則∠AOB1＝45°，如圖所示，過點B1作B1G⊥x軸于點G，則∠B1GO＝∠BEO＝90°，又∵∠B1OB＝90°，∴∠B1OG+∠BOE＝90°，∵∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠OBE＝∠B1OG，∴△OBE≌△B1OG（AAS），∴OE＝B1G＝，BE＝OG＝，∴B1（，），將B1（，）代入y＝a1x，解得a1＝．綜上，a的值為﹣或．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C為坐標(biāo)軸上的三個點，且OA＝OB＝OC＝6，過點A的直線AD交直線BC于點D，交y軸于點E，△ABD的面積為18．（1）求點D的坐標(biāo)．（2）求直線AD的表達(dá)式及點E的坐標(biāo)．（3）過點C作CF⊥AD，交直線AB于點F，求點F的坐標(biāo)．解：（1）由題可得，B（6，0），C（0，6），設(shè)BC為y＝kx+b（k≠0），則，解得，∴BC的解析式為y＝﹣x+6，∵OA＝OB＝6，∴AB＝12，∵△ABD的面積為18，∴12×yD＝18，解得yD＝3，當(dāng)y＝3時，3＝﹣x+6，解得x＝3，∴點D的坐標(biāo)為（3，3）．（2）由題可得，A（﹣6，0），設(shè)直線AD的表達(dá)式為y＝mx+n（m≠0），則，解得，∴直線AD的表達(dá)式為y＝x+2，令x＝2，則y＝2，∴點E的坐標(biāo)為（0，2）．（3）∵CF⊥AD，CO⊥AB，∴∠FCO+∠AFC＝90°，∠EAO+∠AFC＝90°，∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴FO＝EO＝2，∴F（2，0）．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y＝﹣x+3分別交x、y軸于點B、A．（1）如圖1，點C是直線AB上不同于點B的點，且CA＝AB．則點C的坐標(biāo)為（﹣4，6）；（2）點C是直線AB外一點，滿足∠BAC＝45°，求出直線AC的解析式；（3）如圖3，點D是線段OB上一點，將△AOD沿直線AD翻折，點O落在線段AB上的點E處，點M在射線DE上，在x軸的正半軸上是否存在點N，使以M、A、N、B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）如圖1，直線y＝﹣x+3，當(dāng)x＝0時，y＝3；當(dāng)y＝0時，由﹣x+3＝0，得x＝4，∴A（0，3），B（4，0）；∵CA＝AB，且點C不同于點B，∴點A是線段BC的中點，即點C與點B關(guān)于點A對稱，∴點C的橫坐標(biāo)為﹣4，當(dāng)x＝﹣4時，y＝﹣×（﹣4）+3＝6，∴C（﹣4，6），故答案為：（﹣4，6）．（2）如圖2，射線AC在直線AB的上方，射線AC′在直線AB的下方，∠BAC＝∠BAC′＝45°；作線段AB的垂直平分線交AC于點G，交AC′于點H，交AB于點Q，連接BG、BH，則Q（2，）；作GP⊥y軸于點P，GF⊥x軸于點F，則AG＝BG，AH＝BH，∵BG＝AG，BH＝AH，∴∠GBA＝∠BAC＝45°，∠HBA＝∠BAC′＝45°，∴∠BGA＝∠GAH＝∠AHB＝90°，∴四邊形AHBG是正方形；∵∠AGB+∠AOB＝180°，∴∠GBF+∠OAG＝180°，∵∠GAP+∠OAG＝180°，∴∠GBF＝∠GAP，∵∠GFB＝∠GPA＝90°，∴△GBF≌△GAP（AAS），∴BF＝AP，GF＝GP，∵∠FOP＝∠OPG＝∠GFO＝90°，∴四邊形OFGP是正方形，∴OF＝OP，∵OB＝4，OA＝3，∴4﹣BF＝3+AP，∴4﹣AP＝3+AP，解得AP＝，∴OP＝OF＝3+＝，∴G（，）；∵點H與點G關(guān)于點Q（2，）對稱，∴H（，）；設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴y＝x+3；設(shè)直線AC′的解析式為y＝mx+n，則，解得，∴y＝﹣7x+3，綜上所述，直線AC的解析式為y＝x+3或y＝﹣7x+3．（3）存在，如圖3，平行四邊形AMBN以AB為對角線，延長ED交y軸于點R，設(shè)OD＝r，由折疊得，∠AED＝∠AOD＝90°，ED＝OD，∴ED＝r，ED⊥AB；∵AB＝＝5，AE＝AO＝3，∴BE＝5﹣3＝2，∵S△AOB＝×3×4＝6，且S△AOD+S△ABD＝S△AOB，∴×3r+×5r＝6，解得r＝，∴ED＝OD＝，∴D（，0）；∵∠DOR＝∠DEB＝90°，∠ODR＝∠EDB，∴△ODR≌△EDB（ASA），∴RO＝BE＝2，∴R（0，﹣2），設(shè)直線DE的解析式為y＝px﹣2，則p﹣2＝0，解得p＝，∴y＝x﹣2；∵點N在x軸上，且AM∥BN，∴AM∥x軸，∴點M與點A的縱坐標(biāo)相等，都等于3，當(dāng)y＝3時，由x﹣2＝3，得x＝，∴M（，3），∵BN＝AM＝，∴ON＝4﹣＝，∴N（，0）；如圖4，平行四邊形ABNM以AB為一邊，則AM∥x軸，且AM＝BN＝．∵ON＝4+＝，∴N（，0），綜上所述，點N的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．8．直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（9，4），AB⊥x軸于點B，AC垂直y軸于點C，點D為x軸上的一個動點，若CD＝2．（1）直接寫出點D的坐標(biāo)；（2）翻折四邊形ACOB，使點C與點D重合，直接寫出折痕所在直線的解析式；（3）在線段AB上找點E使∠DCE＝45°．①直接寫出點E的坐標(biāo)；②點M在線段AC上，點N在線段CE上，直接寫出當(dāng)△EMN是等腰三角形且△CMN是直角三角形時點M的坐標(biāo)．解：（1）如圖1，∵點A的坐標(biāo)為（9，4），AC⊥y軸于點C，∴OC＝4，∵點D為x軸上的一個動點，CD＝2，由勾股定理得：OD＝＝＝2，∴D（2，0）或（﹣2，0）；（2）分兩種情況：①當(dāng)D（2，0）時，如圖2，連接ED，設(shè)ED＝x，由翻折得CD⊥EF，CE＝ED＝x，∴OE＝4﹣x，Rt△OED中，由勾股定理得：x2＝22+（4﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝4﹣＝，∵∠OCD+∠CEF＝∠OCD+∠CDO＝90°，∴∠CEF＝∠CDO，∵∠ECF＝∠COD＝90°，∴△FCE∽△COD，∴，即，∴FC＝5，∴F（5，4），設(shè)直線EF的解析式為：y＝kx+b，則，解得，∴直線EF的解析式為：y＝；②當(dāng)D（﹣2，0）時，如圖3，連接ED，同理得：E（0，），∵△DOC∽△EOF，∴＝，∴OF＝2OE＝3，∴F（3，0），同理得EF：y＝﹣x+，綜上，折痕所在直線的解析式是y＝或y＝﹣x+；（3）①當(dāng)D（2，0）時，如圖4，過E作EF⊥CD，交CD的延長線于F，過F作FH⊥y軸于H，延長AB，HF交于點G，∵∠DCE＝45°，∴△CFE是等腰直角三角形，∴CF＝EF，∵∠HCF+∠CFH＝∠CFH+∠EFG＝90°，∴∠HCF＝∠EFG，∵∠CHF＝∠FGE＝90°，∴△CHF≌△FGE（AAS），∴CH＝FG，∵OD∥FH，∴，即，∴，設(shè)FH＝a，則CH＝FG＝2a，∵GH＝OB＝9，即2a+a＝9，∴a＝3，∴CF＝＝3，∴CE＝CF＝3，Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴BE＝4﹣3＝1，∴E（9，1）；當(dāng)D（﹣2，0）時，如圖5，∠DCB＞90°，此種情況不存在符合條件的點E，綜上，點E的坐標(biāo)是（9，1）；②i）當(dāng)∠CMN＝90°，MN＝EN時，如圖6，由①知：AE＝3，∵M(jìn)N∥AE，∴，即，∴，設(shè)MN＝b，則CM＝3b，EN＝b，∴CN＝b，∵CE＝3，∴3＝b+b，解得：b＝，∴CM＝3b＝10﹣，∴M（10﹣，4）；ii）當(dāng)∠CNM＝90°，MN＝EN時，如圖7，∵∠CNM＝∠CAE＝90°，∠MCN＝∠ACE，∴△MCN∽△ECA，∴＝3，設(shè)MN＝m，則CN＝3n，EN＝n，∴CE＝3n+n＝3，∴n＝，∴CM＝n＝，∴M（，4）；綜上，點M的坐標(biāo)是（10﹣，4）或（，4）．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（6，0）為坐標(biāo)軸上的點，點C為線段AB的中點，過點C作DC⊥x軸，垂足為D，點E為y軸負(fù)半軸上一點，連接CE交x軸于點F，且CF＝FE．（1）直接寫出E點的坐標(biāo)；（2）過點B作BG∥CE，交y軸于點G，交直線CD于點H，求四邊形ECBG的面積；（3）直線CD上是否存在點Q使得∠ABQ＝45°，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）∵CD⊥x軸，∴∠CDF＝90°＝∠EOF，又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，∴△CDF≌△EOF（AAS），∴CD＝OE，又∵A（0，4），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6，∵點C為AB的中點，CD∥y軸，∴CD＝OA＝2，∴OE＝2，∴E（0，﹣2）；（2）設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，∵C為AB的中點，A（0，4），B（6，0），∴C（3，2），∴，解得，∴直線CE的解析式為y＝x﹣2，∵BG∥CE，∴設(shè)直線BG的解析式為y＝x+m，∴×6+m＝0，∴m＝﹣8，∴G點的坐標(biāo)為（0，﹣8），∴AG＝12，∴S四邊形ECBG＝S△ABG﹣S△ACE＝×AE×OD＝×6×3＝27．（3）直線CD上存在點Q使得∠ABQ＝45°，分兩種情況：如圖1，當(dāng)點Q在x軸的上方時，∠ABQ＝45°，過點A作AM⊥AB，交BQ于點M，過點M作MH⊥y軸于點H，則△ABM為等腰直角三角形，∴AM＝AB，∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠HAM＝∠ABO，∵∠AHM＝∠AOB＝90°，∴△AMH≌△BAO（AAS），∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，∴M（4，10），∵B（0，6），∴直線BM的解析式為y＝﹣5x+30，∵C（3，2），CD∥y軸，∴C點的橫坐標(biāo)為3，∴y＝﹣5×3+30＝15，∴Q（3，15）．如圖2，當(dāng)點Q在x軸下方時，∠ABQ＝45°，過點A作AN⊥AB，交BQ于點N，過點N作NG⊥y軸于點G，同理可得△ANG≌△BAO，∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，∴N（﹣4，﹣2），∴直線BN的解析式為y＝x﹣，∴Q（3，﹣）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（3，15）或（3，﹣）．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣6，6），以A為頂點的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點（B在C左面），且∠BAC＝45°．（1）如圖1，連接OA，當(dāng)AB＝AC時，試說明：OA＝OB．（2）過點A作AD⊥x軸，垂足為D，當(dāng)DC＝2時，將∠BAC沿AC所在直線翻折，翻折后邊AB交y軸于點M，求點M的坐標(biāo)．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°．過點A作AE⊥OB于E，如圖1，∵A（﹣6，6），∴△AEO是等腰直角三角形，∠AOB＝45°，∴∠BAO＝67.5°＝∠ABC，∴OA＝OB．（2）設(shè)OM＝x，當(dāng)點C在點D右側(cè)時，如圖2，連接CM，過點A作AE⊥y軸于點E，由∠BAM＝∠DAE＝90°，可知：∠BAD＝∠MAE；∴在△BAD和△MAE中，，∴△BAD≌△MAE．∴BD＝EM＝6﹣x．又∵AC＝AC，∠BAC＝∠MAC，∴△BAC≌△MAC．∴BC＝CM＝8﹣x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴M點坐標(biāo)為（0，3）．當(dāng)點C在點D左側(cè)時，如圖3，連接CM，過點A作AF⊥y軸于點F，同理，△BAD≌△MAF，∴BD＝FM＝6+x．同理，△BAC≌△MAC，∴BC＝CM＝4+x．在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2＝CM2，即82+x2＝（4+x）2，解得：x＝6，∴M點坐標(biāo)為（0，﹣6）．綜上，M的坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣6）．11．模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．易證：△BEC≌△CDA模型應(yīng)用：如圖2，已知直線l1：y＝x+4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)45°至l2．（1）在直線l2上求點C，使△ABC為直角三角形；（2）求l2的函數(shù)解析式；（3）在直線l1、l2分別存在點P、Q，使得點A、O、P、Q四點組成的四邊形是平行四邊形？請直接寫出點Q的坐標(biāo)．（1）解：過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，如圖2①，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰Rt△，∵△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線l1：y＝x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），①當(dāng)∠ABC＝90°時，∵△CDB≌△BAO，∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，3）；②當(dāng)∠ACB＝90°時，如圖2②，同理：△CDB≌△AEC，∴AE＝CD，BD＝CE，∴AE＝OA﹣BD＝OB+BD，即4﹣BD＝3+BD，∴BD＝，∴OD＝CD＝3.5∴C（﹣3.5，3.5），綜上，在直線l2點C的坐標(biāo)為（﹣7，3）或（﹣3.5，3.5）時，△ABC為直角三角形；（2）設(shè)l2的解析式為y＝kx+b（k≠0），∵A（0，4），C（﹣7，3）；∴，∴，∴l(xiāng)2的解析式：y＝x+4；（3）如圖2，①當(dāng)AO為邊時，∵A（0，4），∴OA＝4，設(shè)Q1的橫坐標(biāo)為x，則Q1（x，x+4），P（x，x+4），∵四邊形AOPQ是平行四邊形，∴PQ1＝OA＝4，即x+4﹣（x+4）＝4，或x+4﹣（x+4）＝4，解得x＝﹣或∴Q1（﹣，）或（，）．②當(dāng)AO為對角線時，Q3與Q2重合．綜上，存在符合條件的平行四邊形，且Q點的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M（﹣2，﹣2），過點M作直線AB，交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸負(fù)半軸于點B（0，m）．（1）如圖1，當(dāng)m＝﹣6時．i）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；ii）過點A作y軸的平行線l，點N是l上一動點，連接BN，MN，若S△MBN＝S△ABO，求滿足條件的點N的坐標(biāo)．（2）如圖2，將直線AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°后，交x軸正半軸于點C，過點C作CD⊥BC，交直線AB于點D．試問：隨著m值的改變，點D的橫坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，求出點D的橫坐標(biāo)；若變化，請說明理由．解：（1）i）、∵m＝﹣6，∴B（0，﹣6），∴設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx﹣6，∵點M（﹣2，﹣2）在直線AB上，∴﹣2＝﹣2k﹣6，∴k＝﹣2，∴直線AB的表達(dá)式為y＝﹣2x﹣6；ii）、如圖1，由i）知，直線AB的表達(dá)式為y＝﹣2x﹣6，令y＝0，則﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴直線l為x＝﹣3，∴設(shè)N（﹣3，t），∴AN＝|t|，∵A（﹣3，0），B（0，﹣6），∴OA＝3，OB＝6，∴S△AOB＝OA?OB＝×3×6＝9，∵S△MBN＝S△ABO，∴S△MBN＝S△ABO＝，過點M作MF⊥AN于F，過點B作ME⊥AN于E，∴MF＝1，BE＝3，∴S△MBN＝S△BAN﹣S△AMN＝AN?BE﹣AN?FM＝（BE﹣MF）＝|t|（3﹣1）＝|t|＝，∴t＝±，∴N（﹣3，）或（﹣3，﹣）；（2）如圖2，∵∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝45°＝∠ABC，∴CD＝CB，∴△BDC是等腰直角三角形，∵M(jìn)（﹣2，﹣2），B（0，m），∴直線AB的表達(dá)式為y＝x+m，設(shè)點C（a，0），分別過點D，B作y軸的垂線，過點C作x的垂線，交前兩條直線和y軸于點G，H，L，則∠H＝∠G＝∠OCH＝∠OBH＝90°，∴四邊形OBHC是矩形，∴OC＝BH，∵∠G＝∠BCD＝90°，∴∠CDG+∠DCG＝∠DCG+∠BCH＝90°，∴∠CDG＝∠BCH，∴△DCG≌△CBH（AAS），∴BH＝OC＝CG＝|a|，CH＝DG＝|m|，∴D（m+a，a），∴a＝?（m+a）+m，∴m2+ma+4m＝0，∵m≠0，∴m+a＝﹣4，即點D的橫坐標(biāo)為﹣4，保持不變．13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x﹣4與x軸，y軸分別交于點A、B，與直線y＝3交于點C，點D為直線y＝3上點C右側(cè)的一點．（1）如圖1，若△ACD的面積為6，則點D的坐標(biāo)為（，3）；（2）如圖2，當(dāng)∠CAD＝45°時，求直線AD的解析式；（3）在（2）的條件下，點E為直線AD上一點，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，△ACE的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍．解：（1）如圖1，對于直線y＝﹣2x﹣4，當(dāng)y＝0時，由﹣2x﹣4＝0得，x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；當(dāng)y＝3時，由﹣2x﹣4＝3得，x＝﹣，∴C（﹣，3），設(shè)D（r，3），∵點D在點C右側(cè)，∴CD＝r+，由題意，得×3（r+）＝6，解得，r＝，∴D（，3），故答案為：D（，3）．（2）如圖2，過點D作DG⊥AC于點G，過點G作MN⊥x軸于點N，交直線y＝3于點M，則∠AGD＝∠GNA＝90°，∵直線y＝3與x軸平行，∴∠DMG＝180°﹣∠GNA＝90°＝∠GNA，∵∠GAD＝45°，∴∠GDA＝45°＝∠GAD，∴DG＝GA，∵∠DGM＝90°﹣∠AGN＝∠GAN，∴△DGM≌△GAN（AAS），∴GM＝AN，DM＝GN，設(shè)AN＝t，則N（﹣2﹣t，0），∵點G在直線y＝﹣2x﹣4上，∴yG＝﹣2（﹣2﹣t）﹣4＝2t，∴G（﹣2﹣t，2t），∵M(jìn)（﹣2﹣t，3），∴GM＝3﹣2t，由GM＝AN得，3﹣2t＝t，解得t＝1，∴N（﹣3，0），M（﹣3，3），∵DM＝GN＝2t＝2，∴D（﹣1，3），設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴y＝3x+6．（3）由（1）、（2）得，C（﹣，3），D（﹣1，3），∴CD＝﹣1﹣（﹣）＝，∴S△ACD＝××3＝，過點E作直線y＝3的垂線，垂足為點F，∵點E在直線y＝3x+6上，且點E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，3m+6），如圖3，點E在線段AD上，則﹣2＜m≤﹣1，此時，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，由S△ACE＝S△ACD﹣S△ECD得，S＝﹣×（﹣3m﹣3）＝m+；如圖4，點E在線段AD的延長線上，則m＞﹣1，此時，EF＝3m+6﹣3＝3m+3，由S△ACE＝S△ACD+S△ECD得，S＝+×（3m+3）＝m+，∴當(dāng)m＞﹣2時，S＝m+；如圖5，點E在線段DA的延長線上，則m＜﹣2，此時，EF＝3﹣（3m+6）＝﹣3m﹣3，由S△ACE＝S△ECD﹣S△ACD得，S＝×（﹣3m﹣3）﹣＝﹣m﹣，綜上所述，．14．（1）基本圖形的認(rèn)識：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是邊BC上一點，AB＝EC，BE＝CD，連結(jié)AE、DE，求證：△AED是等腰直角三角形．（2）基本圖形的構(gòu)造：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），B（0，3），連結(jié)AB，過點A在第一象限內(nèi)作AB的垂線，并在垂線截取AC＝AB，求點C的坐標(biāo)；（3）基本圖形的應(yīng)用：如圖3，一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，直線AC交x軸于點D，且∠CAB＝45°，求點D的坐標(biāo)．（1）證明：∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：過點C作CH⊥x軸于點H，如圖2，則∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∴點C的坐標(biāo)為（5，2）；（3）解：如圖3，過點B作BE⊥AB，交AD于點E，過點E作EF⊥OD，交OD于點F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴點A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴點B的坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EB