北京魯迅中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

北京市魯迅中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試高三數(shù)學(xué)2024.10本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分，全卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.第一部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，那么A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【詳解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.【詳解】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知向量滿足，則（）A. B.0 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】先求出，進(jìn)而利用向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：C5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于，由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)得，令解得，則所求系數(shù)為，故選：D6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最大值為（）A. B.3 C.9 D.36【答案】C【解析】【分析】先求得的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，也即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C7.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，且為上的增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以，即“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，由的單調(diào)性知，，即，所以“”是“”成立的必要條件.綜上，“”是“”的充要條件.故選：C8.函數(shù)是A.奇函數(shù)，且最大值為2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.奇函數(shù)，且最大值為 D.偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.9.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.10.在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是且落在整點(diǎn)處．則點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.【詳解】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為，因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因?yàn)椋瑒t或，當(dāng)時(shí)，則次數(shù)為；當(dāng)，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故選：B.第二部分（共110分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________________【答案】【解析】【分析】通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知，解得，故定義域.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的相關(guān)計(jì)算，比較基礎(chǔ).12.邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，設(shè)，，，則______．【答案】2【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出模長(zhǎng)即可．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；在正方形ABCD中，，，，則，∴．故答案為：2．13.設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前n和為,且,則_________;_________．【答案】①.②.##15.5【解析】【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求出從而求出,再代入等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】由,又因?yàn)?所以;所以；故答案為:8；.14.如圖，某地一天從時(shí)至?xí)r的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，其中，且函數(shù)在與時(shí)分別取得最小值和最大值.這段時(shí)間的最大溫差為_(kāi)__；的一個(gè)取值為_(kāi)__________.【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)圖像直接可得最大溫差，再根據(jù)函數(shù)的最值情況與周期情況可得，，，代入點(diǎn)，可得.【詳解】由圖像可知最大值為，最小值為，所以最大溫差為，即，解得，又由已知可得，即，且，所以，所以函數(shù)解析式為，又函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入得，所以解得，，所以的一個(gè)可能取值為（答案不唯一），故答案為：，（答案不唯一）.15.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，的最小值為；②當(dāng)時(shí)，存在最小值；③的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)椋虎墚?dāng)時(shí)，對(duì)任意．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①③【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷①②，根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合條件分類討論可判斷③，利用特值可判斷④.【詳解】對(duì)①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的最小值為，①正確；對(duì)②，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，；若，，如時(shí)，，函數(shù)不存在最小值，②錯(cuò)誤；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)解，得或，如時(shí)，，由可得(舍去)，由得或，故此時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)，即；如時(shí)，，由可得，由得或，故此時(shí)三個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，，由可得，由得，故此時(shí)一個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，無(wú)解，時(shí)，，無(wú)解，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)，即.綜上，的值域?yàn)?，故③正確；對(duì)④，當(dāng)時(shí)，如時(shí)，，，，，此時(shí)，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，，因，所以，且，所以?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的面積為或.17.已知函數(shù)（）在處取得極小值.（1）求a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）最大值為，最小值為1.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)得到，由f′x>0求出單調(diào)遞增區(qū)間，由f（2）在（1）求出單調(diào)性的基礎(chǔ)上，得到最值.小問(wèn)1詳解】，由題意得，解得，，定義域?yàn)镽，，令f′x>0得或，令f′x故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，此時(shí)函數(shù)fx在x=2處取得極小值，滿足題意【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，又，其中，故在區(qū)間上的最小值為1，綜上，在區(qū)間上的最大值為，最小值為1.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.（3）若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則求m的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換得到，求出最小正周期，整體法得到函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到，求出；（3）轉(zhuǎn)化為在上有且僅有兩個(gè)解，求出，數(shù)形結(jié)合得到，求出答案.【小問(wèn)1詳解】，的最小正周期，令，，解得，故單調(diào)遞增區(qū)為，；【小問(wèn)2詳解】，，故，，故函數(shù)值域?yàn)椋弧拘?wèn)3詳解】函數(shù)，即，，故在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上有且僅有兩個(gè)解，，，要想在上有且僅有兩個(gè)解，則，解得，故m的取值范圍為.19.某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長(zhǎng)為，如圖所示．現(xiàn)要測(cè)是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)測(cè)得，；在點(diǎn)測(cè)得．（在同一平面內(nèi)）（1）求兩點(diǎn)之間的距離；（2）判斷直線與直線是否垂直，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線與直線不垂直，理由詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后根據(jù)向量法進(jìn)行判斷.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，，所以，，所以，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由余弦定理得.【小問(wèn)2詳解】在三角形中，由余弦定理得，，在三角形中，由正弦定理得，，直線與直線不垂直，理由如下：,所以直線與直線不垂直.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可得解；（3）由（2）知，時(shí)，在區(qū)間上恒成立，取，可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為即.【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，對(duì)，即，對(duì)，令，只需，，，當(dāng)時(shí)，有，則，在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，其對(duì)應(yīng)方程的判別式，若即時(shí)，有，即，在上單調(diào)遞減，符合題意，若即時(shí)，，對(duì)稱軸，又，方程的大于1的根為，，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，在區(qū)間上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上恒成立，即，對(duì)，取代入上式得，化簡(jiǎn)得.21.已知為有窮數(shù)列．若對(duì)任意的,都有（規(guī)定）,則稱具有性質(zhì)．設(shè)．（1）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？若具有性質(zhì),寫出對(duì)應(yīng)的集合;（2）若具有性質(zhì),證明:;（3）給定正整數(shù),對(duì)所有具有性質(zhì)數(shù)列,求中元素個(gè)數(shù)的最小值．【答案】（1）不具有性質(zhì),具有性質(zhì),（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)的定義,觀察到,可得不具有性質(zhì),根據(jù),可以發(fā)現(xiàn)中相鄰兩項(xiàng)及首尾兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值均小于等于1,故具有性質(zhì),根據(jù)定義代入求值,即可得出;(2)“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,利用反證法假設(shè)兩個(gè)元素都不在中,通過(guò)范圍推出矛盾即可.(3)設(shè)中元素個(gè)數(shù)最小值為,根據(jù)新定義可得,以此類推可得,由(2)中的結(jié)論可得,即可得,再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】解:由題知,即因?yàn)?所以不具有性質(zhì),由于,即因?yàn)楣示哂行再|(zhì),因?yàn)楣?【小問(wèn)2詳解】“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,假設(shè)兩個(gè)元素均不在中,則有不妨設(shè),若,則由,可得,