《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》參考教案

1/6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一、教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.2.過程與方法通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究.3．情態(tài)與價值培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；學(xué)會用公式解決一些實(shí)際問題，體會等差數(shù)列的前項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.難點(diǎn)：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講練結(jié)合.教學(xué)用具：投影儀.四、教學(xué)設(shè)想【創(chuàng)設(shè)情景】等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的問題.在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲.那時，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？當(dāng)時，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項(xiàng)相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，，…前100項(xiàng)的和的問題.今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前項(xiàng)的和.【探索研究】我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā).人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，…，，…的前項(xiàng)的和：由可知上面這種加法叫“倒序相加法”.請同學(xué)們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和與首項(xiàng)與尾項(xiàng)的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中.這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前項(xiàng)和的.一般地，稱為數(shù)列的前項(xiàng)的和，用表示，即.1.思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和.我們用兩種方法表示：……①……②由①+②，得由此得到等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式.對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前項(xiàng)和了.2.除此之外，等差數(shù)列還有沒有其他方法？當(dāng)然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其他的推導(dǎo)途徑.例如：.這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的.把代入中，就可以得到.引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個內(nèi)在性質(zhì).第二個公式反映了等差數(shù)列的前項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較.這兩個公式的共同點(diǎn)都是知道和，不同點(diǎn)是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式.1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和.⑴；⑵.【例題講評】例1.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”⑴先閱讀題目；⑵引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；⑶寫這個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起各年投入的資金，其中，.那么，到2010年，投入的資金總額為（萬元）答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2．已知一個等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式就是一個關(guān)于、、或者、、的方程.若要確定其前項(xiàng)求和公式，則要確定和的關(guān)系式，從而求得.分析：將已知條件代入等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式后，可得到兩個關(guān)于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前項(xiàng)和的公式.解：由題意知，，將它們代入公式，得到解：這個關(guān)于與的方程組，得到，，所以另解得……①所以…②②-①，得，所以，代入①得，所以有.評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前項(xiàng)和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3.已知數(shù)列的前項(xiàng)為，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：根據(jù)與可知，當(dāng)時，……①當(dāng)時，也滿足①式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由此可知，數(shù)列是一個首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列.這個例題還給出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一個求法.已知前項(xiàng)和，可求出通項(xiàng)用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項(xiàng)表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足已求出的.思考：一般地，如果一個數(shù)列的前項(xiàng)和為其中、、為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前項(xiàng)和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項(xiàng).所以得到：如果一個數(shù)列前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0，且關(guān)于的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得最大的序號的值.分析：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式