《等比數(shù)列前n項和（第1課時）》教學設計

19/192.5等比數(shù)列前n項和（馬浚）一、教學目標1．核心素養(yǎng)通過對等比數(shù)列前項和的學習，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，并鍛煉數(shù)學抽象能力.2．學習目標（1）能證明等比數(shù)列前項和公式.（2）掌握并運用等比數(shù)列前項和公式解決相應問題.3．學習重點等比數(shù)列前項和公式及其推導過程4．學習難點等比數(shù)列前項和公式的推導過程及公式的運用二、教學設計（一）課前設計1．預習任務任務1閱讀教材，回憶等差數(shù)列前項和公式，思考：等比數(shù)列前項和是否和等差數(shù)列前項和一樣，可用公式計算?公比為1時，怎樣計算?公比不為1時，該怎樣算?任務2能證明等比數(shù)列前項和公式嗎?2.預習自測一、選擇題1．設首項為1,公比為的等比數(shù)列的前項和為,則（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】由題意可得=1×()n?1=()n?1,∴=3-3×()n=,故選D2．已知等比數(shù)列的前n項和是,則A.8B.12C.16D.24答案:C解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】∵故選C.（二）課堂設計1．知識回顧（1）等比數(shù)列概念.（2）等比數(shù)列通項公式及性質(zhì).2．問題探究問題探究一等比數(shù)列前項和與前項和的關系●活動一引經(jīng)據(jù)典,從生活出發(fā)相傳古印度國王為獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他有什么要求,發(fā)明者說:“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,在第2個格子里放上2顆麥粒,在第3個格子里放上4顆麥粒,依次類推,每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍,直到放完64個格子為止.請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求.”你認為國王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎？●活動二迎難而上,列出算式第個格子中要放粒麥粒,.將64個格子中放的麥粒數(shù)記為,,利用等比數(shù)列通項公式得●活動三化繁為簡,簡化計算觀察發(fā)現(xiàn),計算式右邊的每一項的2倍即是其后一項,因此將與兩式相減后得到這個數(shù)超過了,假定千粒麥子的質(zhì)量為40克,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸,國王根本無能力滿足發(fā)明者的要求.問題探究二由特殊到一般,推導等比數(shù)列前項和計算式重點、難點知識★▲●活動一引橋構建,列出計算式等比數(shù)列中,前項和記為,●活動二觀察特點,類比實例將與兩式相減后可得.問題探究三利用等比數(shù)列前項和計算式解決相應問題重點、難點知識★▲●活動一初步運用,夯實基礎例1求等比數(shù)列從第五項到第十項的和.詳解:.所以從第五項到第十項的和為1008.●活動二對比提升,能力提高例2一個等比數(shù)列前項的和為前項之和,求.解:,,故有,知成公比為的等比數(shù)列,故知=3,所以.例3.給出下面的數(shù)表序列:其中表（=1,2,3…）有行,表中每一個數(shù)“兩腳”的兩數(shù)都是此數(shù)的2倍,記表中所有的數(shù)之和為,例如,,.則答案:根據(jù)數(shù)表,易知,表中,有行數(shù)字第一行有1個數(shù)字1,和為；第二行有兩個數(shù)字2,該行的數(shù)字之和為；第三行有3個數(shù)字,該行的數(shù)字之和為;…第行中有個數(shù)字,該行數(shù)字之和為,所以表中所有的數(shù)之和為所以兩式相減可得所以.3．課堂總結(jié)【知識梳理】等比數(shù)列中共有五個量,知道其中3個量就可以求出其余兩個量.用公式表示.【重難點突破】等比數(shù)列前項和的證明過程是在等式兩端乘以公比后做差.求等比數(shù)列前項和時應注意討論公比是否等于1.成公比為的等比數(shù)列.4．隨堂檢測一、選擇題1．設首項為l,公比為的等比數(shù)列的前項和為,則（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】根據(jù)前n項和公式可得2．設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,為其前n項和．已知,則＝（）A.B.C.D.答案:B解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】由知q4=1,=>0,q>0,由此解得=4,q=12.=故選B.3．等比數(shù)列的前n項和為,若＝15,則項數(shù)n為（）A.12B.14C.15D.16答案:D.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】∵等比數(shù)列的前n項和為,∴也成等比數(shù)列,設公比為q,∵=則q=2.∴15=,則項數(shù)n=4×4=16,故選D．4.等比數(shù)列前項和,為等差數(shù)列,,則的值為（）A.7B.8C.15D.16答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】∵成等差數(shù)列∴,∴,即∴q=2∴==15,故選C5．設(n∈N*),則等于（）A.(8n－1)B.(－1)C.(－1)D.(－1)答案:D.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等差數(shù)列前n項和】由題意知,是首項為2,公比為8的等比數(shù)列的前(n+4)項和,所以=．故選D．（三）課后作業(yè)基礎型自主突破一、選擇題1.等比數(shù)列中,則的前項和為（）A.B.C.D.答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】因為,所以,得S4=120,所以答案為B.2.等比數(shù)列中,,則數(shù)列的前8項和等于（）A.6B.5C.4D.3答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,對數(shù)運算性質(zhì)】∵等比數(shù)列{an}中,∴=2×5=10,∴數(shù)列的前8項和==lg（）=lg（）4=4lg（）=4lg10=4,故選C3.公比不為1的等比數(shù)列的前n項和為,且成等差數(shù)列,若＝1,則＝（）A.－5B.0C.5D.7答案:A.解析:【知識點:等差數(shù)列性質(zhì),等比數(shù)列前n項和】等比數(shù)列的基本量的計算:記等比數(shù)列{an}的公比為q,其中q≠1,依題意有－,∴－q＝－2＋q2≠0,即q2＋q－2＝0,又q≠1,因此有q＝－2,＝－5,選A.4.設等比數(shù)列的前項和為,若,則（）A.2B.C.D.答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】設=x,則=3x,根據(jù)條件可知等比數(shù)列的公比不是–1.故,–,–成等比數(shù)列,故–=4x,所以S6=7x,=3x,所以5.若是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,其前項和為,已知且,則（）A.B.C.D.答案:C解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式,等比數(shù)列前n項和】正數(shù)組成的等比數(shù)列,則q＞0,且,∴=1＞0；又S3=7,解得q=,a1=4；∴S5=,故選C．6.等比數(shù)列的前4項和為4,前12項和為28,則它的前8項和是（）A.﹣8B.12C.﹣8或12D.8答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】設等比數(shù)列的公比為q,則q≠1．∵前4項和為4,前12項和為28,∴．則,解得=2．則它的前8項和=4×3=12．故選:B．能力型師生共研一、選擇題1．等比數(shù)列中,已知,則數(shù)列的前16項和為（）A.20B.C.D.答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】設等比數(shù)列的公比為q．由,得（）=10q4=5?q4=12．∴=q8（）+q12（）=（q8+q12）（）=．∴S16=10+5+=．故選:C．2.在等比數(shù)列中,已知其前項和,則b的值為（）A.B.1C.D.2答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】n=1時,,n≥2時,,n=1時,2=b+4,故b=-23.已知數(shù)列滿足a1＝2,且對任意的正整數(shù)m、n,都有,若數(shù)列的前n項和為Sn,則Sn等于（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點:等比關系的確定,等比數(shù)列前n項和；數(shù)學思想:推理論證能力】令m=1則有,則為首項是2、公比是2的等比數(shù)列,由等比數(shù)列求和公式得Sn=.4.已知是首項為32的正項等比數(shù)列,是其前n項和,且,則數(shù)列的前項和為（）A．25B．26C．27D．28答案：A.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】設等比數(shù)列的公比為,則,根據(jù)題意得,因為數(shù)列為正項數(shù)列,所以q=,從而有,所以,所以有,所以數(shù)列的前10項和等于,故選A．探究型多維突破一、選擇題1．設是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,q是其公比,是其前項的積,且,則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.D.與均為的最大值答案:C解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】由于,,,因此,從第8項開始小于1,均為的最大值,,因此.二、填空題1．已知數(shù)列的各項均為正,為其前項和,滿足,數(shù)列為等差數(shù)列,且,則數(shù)列的前項和________.答案:見解析解析:【知識點:等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合；數(shù)學思想:推理論證能力,運算求解能力,應用意識】∵,∴,n≥2,兩式相減,得,∴,n≥2,∴是公比為2的等比數(shù)列,∵,∴,∴．數(shù)列是等差數(shù)列,,所以公差d=1,所以,∴,∴.自助餐一、選擇題1．一個由正數(shù)組成的等比數(shù)列,它的前項和是前項和的倍,則此數(shù)列的公比為（）A.B.C.D.答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和】根據(jù)題意可知,設公比為q,則q≠1,,,所以解得=4或=1（舍去）,因為q＞0,所以q=2.故選B.2．設等比數(shù)列的公比,前n項和為,則（）A.2B.4C.D.答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式,等比數(shù)列前n項和】由等比數(shù)列的求和公式和通項公式可得:.3．等差數(shù)列的公差不為零,首項=1,是和的等比中項,則數(shù)列的前10項之和是（）A.90B.100C.145D.190答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學思想:推理論證能力】設等差數(shù)列的公差d≠0,∵是和的等比中項,∴=?,∴（+d）2=（+4d）即（1+d）2=1×（1+4d）,解得d=2．則數(shù)列的前10項之和為10+100．4．已知數(shù)列的前n項和為,,則＝（）．A.2n－1B.C.D.答案:B.解析:【知識點:等比關系的確定,等比數(shù)列前n項和；數(shù)學思想:推理論證能力】由,,即,又,所以,則,所以為以1為首項、公比為的等比數(shù)列,所以=5．已知等比數(shù)列,,則使不等式成立的最大自然數(shù)為()A.3B.4C.5D.6答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】由,,則公比可知n＞3時,有得,則有,同理有,得所以不等式成立的最大自然數(shù)為56．如下圖一單位正方體形積木平放于桌面上并且在其上方放置若干個小正方體形積木擺成塔形其中上面正方體中下底面的四個頂點是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8.8,則正方體的個數(shù)至少是（）A.6B.7C.8D.10答案:A解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】依題意,由下往上數(shù),正方體的棱長依次為:1、、、…成等比數(shù)列,公比是.每一層正方體暴露在外的部分都是由四個側(cè)面及上面的四個全等的等腰直角三角形構成.設正方體棱長為,則上面暴露的等腰直角三角形邊長為.該層正方體暴露的面積與棱長的關系是:.若正方體個數(shù)為,則暴露的總面積為:>8.所以.二、填空題1．等比數(shù)列的首項=1,前n項的和為,若,則=_______．答案:32.解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式,等比數(shù)列前n項和；數(shù)學思想:推理論證能力】∵是首項為1的等比數(shù)列,為的前n項和,,∴,解得q=2,∴=25=32．故答案為:32．2．如圖所示:一個邊長為的正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形的邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到255個正方形,則最小正方形的邊長為_________．答案:見解析解析:【知識點:等比數(shù)列前n項和,等比關系的確定,等比數(shù)列的通項公式；數(shù)學思想:推理論證能力】第一次得到的正方形的邊長為,共有1個,第二次得到的正方形邊長為,共有2個,第三次得到的正方形邊長為,共有4個,第四次得到的正方形邊長為,共有8個,…由此可歸納得:依次得到正方形的邊長成對比數(shù)列,公比為,依次得到正方形的個數(shù)成對比數(shù)列,公比為2．設第n次得到的正方形邊長為,第n次得到的正方形個數(shù)為,則．令前n次得到正方形的個數(shù)為,則．令,則n=8．∴.3.將25個數(shù)排成五行五列:已知每一行成等差數(shù)列,而每一列都成等比數(shù)列,且五個公比全相等.若,,,則的值為__________答案:見解析解析:【知識點:等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合；數(shù)學思想:推理論證能力,運算能力,應用意識】可知每一行上的數(shù)都成等差數(shù)列,但這五個等差數(shù)列的公差不一定相等.由,知且公差為6,故,.由,知公比.若,則,,故；若,則,,故.三、解答題1．設等比數(shù)列的前項和為,已知,求和.答案:見解析解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式,等比數(shù)列前n項和】設的公比為q,由題意得:q=6,6+q2=30,解得:=3,q=2或=2,q=3.當=3,q=2時:=3×2n-1,=3×（2n-1）；當=2,q=3時:=2×3n-1,=3n-1．2．已知公比的等比數(shù)列的前項和為,且,數(shù)列中,．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列,求；（2）在（1）的條件下,求數(shù)列的前項和．答案:見解析解析:【知識點:等