《-弧度制》教學(xué)設(shè)計

10/16《弧度制》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)：（一）核心素養(yǎng)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定義，熟練角度制與弧度制的換算，掌握并運(yùn)用弧度制的弧長公式和扇形的面積公式；在類比和數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）教學(xué)目標(biāo)1.“為什么”——為什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定義；3.“如何化”——如何進(jìn)行弧度與角度的轉(zhuǎn)化，掌握弧度與角度之間的相互轉(zhuǎn)化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，學(xué)會使用弧度制下的新的弧長與扇形面積公式求解有關(guān)問題（三）學(xué)習(xí)重點1．理解弧度“是什么”；2．熟練弧度和角度之間“如何化”；3．掌握弧度制來計算弧長和扇形面積“怎么用”；（四）學(xué)習(xí)難點1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合與實數(shù)之間一一對應(yīng)的關(guān)系二、教學(xué)過程（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第6頁至第11頁．（2）想一想：弧度制是如何定義的？弧度制和角度制之間是如何讓轉(zhuǎn)化的？如何將弧度制應(yīng)用于弧長公式和扇形的面積公式中？2．預(yù)習(xí)自測（1）已知圓O的半徑為2，弧AB的長為2，則=____________【答案】1rad．（2）2πrad=（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化為弧度制（）A．50B．C．D．【答案】B．（4）扇形的圓心角為72°，半徑為5，則它的弧長為______，面積為________【答案】；(二)課堂設(shè)計1．知識回顧 （1）角的概念的推廣； （2）終邊相同的角的表示2．問題探究探究一結(jié)合實例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活動結(jié)合實例，引入弧度制有人問：海口到三亞有多遠(yuǎn)時，有人回答約270.4公里，但也有人回答約169英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數(shù)值呢？那是因為所采用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制.他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經(jīng)不再陌生,另外一個就是我們這節(jié)課要研究的角的另外一種度量制弧度制.【設(shè)計意圖】從生活實例到數(shù)學(xué)問題，從特殊到一般，體會概念的提煉、抽象過程．探究二弧度是什么，理解弧度的定義●活動①回顧角度制的定義1．角度制規(guī)定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.【設(shè)計意圖】從1角度過度到1弧度，更加的自然.●活動②探究弧度制的定義弧度制的定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).【設(shè)計意圖】讓學(xué)生掌握弧度制的定義探究三探究如何進(jìn)行弧度與角度的轉(zhuǎn)化●活動①通過具體的數(shù)據(jù)，探究弧度制和角度制之間的關(guān)系如圖,半徑為r的圓的圓心與原點重合,角α的終邊與x軸的正半軸重合,交圓于點A,終邊與圓交于點B.請完成表格.弧AB的長OB旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的度數(shù)πr逆時針方向2πr逆時針方向r12r-2-π0180°360°【答案】弧的長旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的度數(shù)逆時針方向逆時針方向逆時針方向順時針方向順時針方向不旋轉(zhuǎn)逆時針方向逆時針方向我們知道，角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.【設(shè)計意圖】一方面可以讓學(xué)生加深對弧度制的理解，也為接下來推導(dǎo)弧度制和角度制的轉(zhuǎn)化公式做準(zhǔn)備.●活動②在掌握了弧度制定義的基礎(chǔ)上推導(dǎo)弧長，半徑，和圓心角（弧度制）之間的關(guān)系思考：如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l,那么α的弧度數(shù)是多少?角α的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，r是半徑.【設(shè)計意圖】既是對弧度制定義的鞏固強(qiáng)化，加深學(xué)生對于弧長，半徑以及圓心角（弧度數(shù)）三者關(guān)系的理解.●活動③通過活動①中表格的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出弧度制和角度制的轉(zhuǎn)化公式.【設(shè)計意圖】通過已有的數(shù)據(jù)推出角度制和弧度制相互轉(zhuǎn)化的公式更容易被學(xué)生理解和接受.●活動④快速搶答搶答特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表:度弧度【答案】度弧度0【設(shè)計意圖】通過搶答環(huán)節(jié)，讓學(xué)生迅速掌握弧度制和角度制的相互轉(zhuǎn)換，也讓學(xué)生熟悉特殊角對應(yīng)的角度制和弧度制.探究四探究弧度制下的弧長與扇形面積公式求解有關(guān)問題.●活動①回顧初中已學(xué)的用角度制表示的弧長公式和扇形的面積公式.已知扇形的圓心角為n°，半徑為R則弧長，扇形的面積公式為【設(shè)計意圖】通過對已有知識的回顧，對接下來推出弧度制下的弧長與扇形面積公式做準(zhǔn)備.●活動②利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式:(1);(2);(3).其中R是半徑,l是弧長,為圓心角,S是扇形的面積.【設(shè)計意圖】以證明題的形式將弧度制應(yīng)用于弧長和扇形的面積公式，有了推導(dǎo)過程，學(xué)生更容易理解和記憶.●活動③利用計算器比較sin1.5和sin85°的大小.【設(shè)計意圖】弧度制定義的理解與應(yīng)用,以及角度與弧度的區(qū)別.●活動④鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1下列說法不正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1度的角是圓周角的，1弧度的角是圓周角的C． 根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度D．大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大【知識點】考察了弧度制和角度制的相互轉(zhuǎn)換，弧度制的定義，以及弧度制和角度制都是度量角的兩種方式【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)換的思想【解題過程】當(dāng)圓心角一定時，它所對的弧長與半徑的比值是一定的，與所取圓的半徑大小無關(guān)【思路點撥】通過弧度制的定義去判斷【答案】D同類訓(xùn)練若扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也擴(kuò)大到原來的2倍，則（）A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C． 扇形的面積擴(kuò)大到原來的2倍D．扇形的圓心角擴(kuò)大到原來的2倍【知識點】扇形的圓心角，弧長，半徑三者之間的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由公式，因此圓心角應(yīng)該不變【思路點撥】所對的弧長與半徑的比值是一定值，則圓心角就不變【答案】B例2：（1）將下列各角化為弧度：=1\*GB3①；=2\*GB3②（2）將下列各弧度化為角度：=1\*GB3①；=2\*GB3②【知識點】弧度制和角度制換算公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】公式的應(yīng)用【答案】，，，同類訓(xùn)練將下列各角度與弧度互化【知識點】弧度制和角度制換算公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】公式的應(yīng)用【答案】；；；例3半徑為1cm，圓心角為的弧長為（）A．B．C． D．【知識點】弧度制在弧長公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】公式的應(yīng)用【答案】D同類訓(xùn)練若的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾扇形的面積是（）A．B．C． D．【知識點】圓中垂徑定理的應(yīng)用和三角函數(shù)以及弧度在扇形面積公式中的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】半徑，【思路點撥】公式的應(yīng)用【答案】C●活動5強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例4與1°角終邊相同的角的集合為（）A．B．C． D．【知識點】終邊相同角的表示，同一個式子中角度制和弧度制不能混用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】，，【思路點撥】將角度制轉(zhuǎn)換為弧度制:【答案】C同類訓(xùn)練第四象限角的集合可寫為（）A．B．C．D．【知識點】第四象限角的表示，同一個式子中角度制和弧度制不能混用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】將角度制轉(zhuǎn)換為弧度制:【答案】D3.課堂總結(jié)知識梳理（1）長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).（2）弧度制和角度制之間的轉(zhuǎn)換公式為：（3）弧度制在扇形相關(guān)公式中的應(yīng)用為：；；.重難點歸納（1）生活實例到數(shù)學(xué)問題，從特殊到一般，體會概念的提煉、抽象過程．（2）當(dāng)圓心角一定時，它所對的弧長與半徑的比值是一定的，與所取圓的半徑大小無關(guān).（3）同一個式子中角度制和弧度制不能混用.（4）在選擇弧長和扇形的面積公式時，一定要理清楚題目所給圓心角是弧度制還是角度制.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．在半徑不相等的兩個圓內(nèi)，1弧度的圓心角（）A．所對的弧長相等B．所對的弦長相等C．所對的弦長等于各自的半徑D．所對的弧長等于各自的半徑【知識點】弧長的定義【解題過程】長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角【思路點撥】1弧度的圓心角所對的弧長始終等于半徑【答案】D2．把化為弧度是（）A．B．C．D．【知識點】角度制和弧度制的相互換算【解題過程】【思路點撥】先將角度的單位化為“°”【答案】D3．若，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【知識點】了解每個象限角對應(yīng)的范圍【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】【思路點撥】【答案】B4．若角與的終邊互相垂直，則與的關(guān)系是（）A．B．C．D．【知識點】對于角的表示【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】B選項忽略了終邊相同應(yīng)該加上圓周角的整數(shù)倍【思路點撥】角與的終邊互相垂直的本質(zhì)是將角的終邊繞著原點順時針或者逆時針旋轉(zhuǎn)90°，即，但要注意終于邊相同要加圓周角的整數(shù)倍【答案】D5．已知一扇形的圓心角，扇形所在圓的半徑，則這個扇形的弧長為____________，該扇形對應(yīng)的弓形的面積為_________．【知識點】弧度制在弧長公式中的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化的思想，將弓形的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積—三角形的面積【解題過程】【思路點撥】弓形的面積=扇形的面積—三角形的面積【答案】；6．在單位圓上有兩個動點，它們同時從出發(fā)沿圓周運(yùn)動，已知點按逆時針方向每秒轉(zhuǎn)，點按順時針方向每秒轉(zhuǎn)，試求它們從出發(fā)后到第五次相遇時各自走過的弧長．【知識點】行程問題中的相遇問題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】【思路點撥】第五次相遇即兩點的路程和恰好是圓周的5倍【答案】能力型師生共研7．已知扇形的周長為6cm，面積為則扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A．1B．4C．1或4D．2或4【知識點】【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】一定要考慮最終求出的圓心角的弧度數(shù)不能超過【答案】A8．集合，則（）A．B．C．D．【知識點】交集的定義【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】集合中的分別取或，或分別和取公共部分【思路點撥】要找出，集合中的只能取和【答案】B探究型多維突破9．圓弧長等于其圓內(nèi)接正方形的邊長，則其所對的圓心角的弧度數(shù)為______【知識點】的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】【思路點撥】有圖有真相【答案】自助餐1．弧度化為角度是（）A．110°B．160°C．108°D．218°【知識點】弧度制化為角度制的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】【思路點撥】【答案】C2．時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．【知識點】分針每走一分鐘，走過的弧度數(shù)為【解題過程】【思路點撥】分針走60分鐘走過的弧度數(shù)為【答案】B3．角的集合與集合之間的關(guān)系為_____________【知識點】根據(jù)集合看角的終邊所處的位置【解題過程】，集合表示的都是終邊在軸上的角【思路點撥】注意“”和“”的區(qū)別【答案】4．若角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對稱，且，則_______【知識點】軸對稱的特征以及終邊相等的角的特征【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】在中與角的終邊關(guān)于直線對稱的是在中與角終邊相同的角是在中與角終邊相同的角是在中與角終邊相同