《簡(jiǎn)單的三角恒等變換（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

17/173.2.3簡(jiǎn)單的三角恒等變換（第2課時(shí)）楊峻峰一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明三角恒等式的要求，掌握化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明三角恒等式的常規(guī)技巧和方法．從中體會(huì)、學(xué)習(xí)換元思想、方程思想及化歸思想．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)能正確地運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值，化簡(jiǎn)與恒等式的證明．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)有關(guān)公式的靈活應(yīng)用及一些常規(guī)技巧的運(yùn)用．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，有從整體上把握變換過程的能力.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)讀一讀：（1）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求：①能求值的應(yīng)求值；②使式子次數(shù)盡量低、項(xiàng)數(shù)盡量少；③使三角函數(shù)的種類盡量少；④盡量使分母及被開方數(shù)不含三角函數(shù)；⑤將高級(jí)運(yùn)算表為低級(jí)運(yùn)算.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的方法：一些常規(guī)技巧：“1”的代換，切割化弦，和積互化，化非特殊角為特殊角，異角化同角，異名函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異次化為同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的證明：三角恒等式的證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形，論證所給等式左、右相等.三角恒等式包括有條件的恒等式和無條件的恒等式．①無條件的等式證明的基本方法是化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更命題等，使等式兩端的“異”化為“同”；②有條件的等式常用方法有：代入法、消去法、綜合法、分析法等．2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）化簡(jiǎn)：__________.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山遣畹恼⒂嘞夜剑窘忸}過程】．【思路點(diǎn)撥】將所求式子通分后化簡(jiǎn)，再逆用兩角差的正、余弦公式．【答案】．（2）若，，則__________.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)公式．【解題過程】，即，兩邊平方，得，即，解得：或，由，得，所以．【思路點(diǎn)撥】將已知式子左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，右邊利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行變形．【答案】．（3）已知，，則的值為__________.【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，誘導(dǎo)公式．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因?yàn)?，，所以．．【思路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求，再利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)．【答案】．(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧 （1）半角公式：①；②；③（有理形式），（無理形式）. （2）積化和差與和差化積公式：①積化和差公式：；；；.②和差化積公式： ；；；.②輔助角公式：，其中.2．問題探究探究一三角函數(shù)的化簡(jiǎn)●活動(dòng)①例1已知為第四象限角，化簡(jiǎn)：.【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的有理化．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以原式．【思路點(diǎn)撥】根式形式的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)常采用有理化或升冪公式．【答案】．同類訓(xùn)練已知，化簡(jiǎn)．【知識(shí)點(diǎn)】升冪公式．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】因?yàn)?，所以．原式．【思路點(diǎn)撥】根式形式的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)常采用有理化或升冪公式．【答案】．●活動(dòng)②例2已知，化簡(jiǎn)：.【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化，半角有理式的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?所以原式因?yàn)?，所以，所以．原式．【思路點(diǎn)撥】涉及半角的正切式與弦函數(shù)的積時(shí)，應(yīng)考慮半角的有理式的應(yīng)用．【答案】．同類訓(xùn)練化簡(jiǎn)．【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化、誘導(dǎo)公式、倍角公式．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】原式．【思路點(diǎn)撥】分子提取配方，分母利用誘導(dǎo)公式將變形為．【答案】．探究二三角恒等式的證明●活動(dòng)①例3求證：.【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化，積化和差、和差化積公式．【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】方法一：．方法二：．【思路點(diǎn)撥】從左往右證，可利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式切化弦，再利用積化和差進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【答案】見解答過程．同類訓(xùn)練證明：．【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化、三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式．【解題過程】．【思路點(diǎn)撥】左邊切化弦再通分，利用基本關(guān)系式、倍角公式推導(dǎo)．【答案】見解答過程．●活動(dòng)②例4證明:.【知識(shí)點(diǎn)】左右歸一．【解題過程】左邊右邊所以左邊＝右邊，等式成立．【思路點(diǎn)撥】等式兩邊結(jié)構(gòu)都較為復(fù)雜，可左右同時(shí)化簡(jiǎn)，采用左右歸一的途徑．【答案】見解答過程．同類訓(xùn)練若，求證：．【知識(shí)點(diǎn)】“消元法”、兩角差的正切公式、倍角公式．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】∵，即，∴又∵∴．【思路點(diǎn)撥】等式左邊式子包含兩個(gè)角，右邊只有一個(gè)，考慮消去一個(gè)角，都用角進(jìn)行表示．【答案】見解題過程．●活動(dòng)③例5在△ABC中，，求證：.【知識(shí)點(diǎn)】降冪公式、兩角和正弦函數(shù)公式．【解題過程】因?yàn)?，所?即.所以，所以.【思路點(diǎn)撥】由降冪公式化簡(jiǎn)已知等式，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式．【答案】見解題過程．同類訓(xùn)練在△ABC中，若，求證：．【知識(shí)點(diǎn)】降次公式、和差化積、三角形內(nèi)角和定理．【解題過程】∵sin2+sin2+sin2=cos2，∴．∴2sin2=(cosA+cosC)又∵sin=cos，∴2cos2=cos·cos，∴2cos=cos．∴．∴故．【思路點(diǎn)撥】因結(jié)論等式中不含B．故需設(shè)法消去已知等式中的B角，可考慮使用三角形內(nèi)角和定理．【答案】見解題過程．3.課堂總結(jié)（1）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求：①能求值的應(yīng)求值；②使式子次數(shù)盡量低、項(xiàng)數(shù)盡量少；③使三角函數(shù)的種類盡量少；④盡量使分母及被開方數(shù)不含三角函數(shù)；⑤將高級(jí)運(yùn)算表為低級(jí)運(yùn)算.（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的技巧：①變角：通過觀察不同三角函數(shù)式所包含的角的差異，借助于“拆湊角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如異角化同角，復(fù)角化單角等）來減少角的個(gè)數(shù)，消除角與角之間的差異.②變名（即式子中不同函數(shù)之間的變換）：通過觀察角的三角函數(shù)種類的差異，借助于“切化弦”、“弦切互化”等進(jìn)行函數(shù)名稱的變換.③變式（即式子的結(jié)構(gòu)形式的變換）：通過觀察不同的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)形式的差異，借助于一下幾種途徑進(jìn)行變換：1）常值代換，如將“1”代換為“”或“”；2）升降冪公式，如；3）配方與平方，如；等（3）三角恒等式的證明證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形，論證所給等式左、右相等；三角恒等式包括有條件的恒等式和無條件的恒等式．①無條件的等式證明的基本方法是化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更命題等，使等式兩端的“異”化為“同”；②有條件的等式常用方法有：代入法、消去法、綜合法、分析法等．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破 1．已知，，則（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以、同?hào)．因?yàn)?，所以，故選A． 【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用倍角公式，注意分析的正負(fù)． 【答案】A． 2．若，、，則（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】和差化積． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由已知等式得，因?yàn)?，所以，所以，所以?【思路點(diǎn)撥】利用和差化積變形等式，算出的值． 【答案】D． 3． 若，，則的值是（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山遣畹恼泻瘮?shù)公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】因?yàn)椋?，所以，?【思路點(diǎn)撥】把變?yōu)?，再利用兩角差的正切函?shù)公式． 【答案】B．4．已知，則的值為（）A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】積化和差公式、倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】因?yàn)?，所以?【思路點(diǎn)撥】利用積化和差和倍角公式，化出． 【答案】C．5．若，且、滿足關(guān)系式：則的值為（）A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛偷恼泻瘮?shù)公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由題，即，又因?yàn)椋裕?【思路點(diǎn)撥】由兩角和的正切函數(shù)公式得，聯(lián)立已知條件即得． 【答案】A． 6．化簡(jiǎn)＝________． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】因?yàn)?，所以? 【思路點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即得． 【答案】1．能力型師生共研 7．若，則______________． 【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化、倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由，得，解得． 【思路點(diǎn)撥】利用弦切互化、倍角公式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的式子． 【答案】． 8．求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】降冪公式、倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】，．所以等式成立． 【思路點(diǎn)撥】從右邊入手，根據(jù)降冪公式，再利用倍角公式得到左式． 【答案】見解答過程．探究型多維突破 9．求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】弦切互化、兩角差的正弦公式、倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】，． 【思路點(diǎn)撥】從左邊入手，先切化弦，再利用兩角差的正弦公式． 【答案】見解答過程． 10．在△ABC中，設(shè)，求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式變形、倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化的思想． 【解題過程】由條件得而，，而cos(B+C-A)=． 【思路點(diǎn)撥】等式兩邊形式都較復(fù)雜，可考慮“左右歸一”．左邊利用兩角和的正切公式，結(jié)合已知條件化為含的式子，右邊利用弦化切化為含的式子． 【答案】見解答過程．自助餐 1．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛偷恼泄剑?【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】因?yàn)?，所以，即，所以?【思路點(diǎn)撥】利用兩角和的正切公式變形可得． 【答案】B． 2．已知，則的最大值為（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式，三角函數(shù)最值． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值． 【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式與和差化積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再帶入已知條件化簡(jiǎn)函數(shù)． 【答案】B． 3．若，則可化簡(jiǎn)為（） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】倍角公式． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】，由，得，所以，． 【思路點(diǎn)撥】利用倍角公式，結(jié)合的范圍． 【答案】D． 4．已知，則______________． 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛驼夜健⒈督枪?、弦切互化、特殊角的三角函?shù)值． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】，． 【思路點(diǎn)撥】所求式子的分子一、三項(xiàng)結(jié)合，利用倍角公式化簡(jiǎn)，分母用兩角和的正弦公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，最后同時(shí)除以． 【答案】． 5．求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】切化弦、半角公式、倍角公式逆用． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】． 【思路點(diǎn)撥】利用半角公式變化分母，通分，逆用倍角公式即得． 【答案】見解答過程． 6．在△ABC中，、、成等差數(shù)列，求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】和差化積、積化和差． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過程】由條件:2sinB=sin