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甘肅省武威市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名:___________班級(jí):___________考號(hào):___________一、單選題1.小亮的爸爸記錄了小亮從4歲到10歲的身高,建立了小亮身高與年齡的回歸模型,他用的這個(gè)模型預(yù)測(cè)小亮11歲時(shí)的身高,則下面的敘述正確的是(
)A.小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm左右 B.小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm以下C.小亮11歲時(shí)的身高一定是149.75cm D.小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm以上2.已知平面的一個(gè)法向量為,直線的方向向量為,若,則實(shí)數(shù)(
).A.1 B.2 C.3 D.43.一個(gè)盒子里裝有相同大小的白球?黑球共20個(gè),其中黑球6個(gè),現(xiàn)從盒中隨機(jī)的抽取5個(gè)球,則概率為的事件是(
)A.沒(méi)有白球 B.至多有2個(gè)黑球C.至少有2個(gè)白球 D.至少有2個(gè)黑球4.已知函數(shù),則的極小值點(diǎn)為(
)A. B. C. D.5.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo),現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測(cè)得數(shù)據(jù)列于表中.已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系,且,現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)為,若該數(shù)據(jù)的殘差為0.6,則(
)色差x21232527色度y15181920A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.06.設(shè)甲乘汽車(chē)、動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為0.3、0.5,汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.6、0.8,則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為(
)A.0.62 B.0.64 C.0.58 D.0.687.在平行六面體中,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),且,設(shè),,則(
)A. B. C. D.8.若不等式在上恒成立,則的最小值為(
)A. B. C.1 D.二、多選題9.已知隨機(jī)變量滿足,則下列選項(xiàng)正確的是(
)A. B.C. D.10.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,則(
)A. B.C. D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱11.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是底面上的一點(diǎn),且平面,則下列說(shuō)法正確的是(
)A. B.存在點(diǎn),使得C.的最小值為 D.的最大值為6三、填空題12.為了比較E、F、G、H四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱,某同學(xué)分別計(jì)算了E、F、G、H四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù),求得數(shù)值依次為,,,,則這四組數(shù)據(jù)中線性相關(guān)性最強(qiáng)的是組數(shù)據(jù).13.已知平面的一個(gè)法向量為,點(diǎn)是平面上的一點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為.14.一批小麥種子的發(fā)芽率是0.7,每穴只要有一粒發(fā)芽,就不需補(bǔ)種,否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種粒,才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于97%.(lg3≈0.48)四、解答題15.人們?cè)?jīng)相信,藝術(shù)家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè),但技術(shù)的進(jìn)步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕,這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌,由novalAⅠ,DALL-E2等軟件創(chuàng)作出來(lái)的給畫(huà)作品風(fēng)格各異,乍看之下,已與人類繪畫(huà)作品無(wú)異,AⅠ會(huì)取代人類畫(huà)師嗎?某機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)60人進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為會(huì)取代的有42人,30歲以下認(rèn)為不會(huì)取代的有12人,占30歲以下調(diào)查人數(shù)的.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表:年齡理解情況總計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下1230歲及以上總計(jì)4260(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為年齡與理解情況有關(guān)?并說(shuō)明原因.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式:,其中.16.已知函數(shù).(1)若,求的極值;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.17.如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,,,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
(1)證明:;(2)求平面與平面所成角的余弦值.18.我國(guó)脫貧攻堅(jiān)經(jīng)過(guò)8年奮斗,取得了重大勝利.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果,某項(xiàng)目組對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤,隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品,檢測(cè)結(jié)果均為合格,且質(zhì)量指標(biāo)分值如下:38,70,50,45,48,54,49,57,60,69,已知質(zhì)量指標(biāo)不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.(1)從這10件農(nóng)產(chǎn)品中任意抽取兩件農(nóng)產(chǎn)品,記這兩件農(nóng)產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布,其中近似為樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù),近似為方差,生產(chǎn)合同中規(guī)定,所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%.那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求?請(qǐng)說(shuō)明理由.附:若,則,,.19.已知函數(shù).(1)若恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為(),求證:.參考答案:1.A2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.C9.AD 10.BCD 11.ACD12. 13. 14.315.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析(2)年齡與理解情況無(wú)關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010;理由見(jiàn)解析.【詳解】(1)完成2×2列聯(lián)表如下:年齡理解情況總計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下18123030歲及以上241630總計(jì)421860(2)設(shè)為:年齡與理解情況相互獨(dú)立,即年齡與理解情況無(wú)關(guān),由題意,,所以根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷成立.即認(rèn)為年齡與理解情況無(wú)關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010.16.(1)極小值為,無(wú)極大值(2)答案見(jiàn)解析【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則定義域?yàn)椋?,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,極小值為,無(wú)極大值.(2)由題意知:定義域?yàn)?,;?dāng)時(shí),若,則;若,則;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),若,則;若,則;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.17.(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【詳解】(1)連接,在菱形中,,,所以,在中,,,所以,所以,在中,,,,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以,因?yàn)樗倪呅问橇庑危?,又,,平面,所以平面,又平面,所以?/p>
(2)記,連接,由點(diǎn)是棱的中點(diǎn),且點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,又由(1)知平面,所以平面,則以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
所以,,,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,即,令,解得,,所以平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),且,所以,所以,又,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,所以,即,令,解得,,所以平面的一個(gè)法向量為,由圖可知平面與平面所成角為銳角,所以,故平面與平面所成角的余弦值為.18.(1)分布列答案見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望:(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求,理由見(jiàn)解析【詳解】(1)因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)分值不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,所以優(yōu)質(zhì)品有3件,則,,,所以Y的分布列如下:Y012P故.(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求,理由如下:這10件農(nóng)產(chǎn)品的平均數(shù)為,這10件農(nóng)產(chǎn)品的方差為,由,可令,,這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求,理由如下:記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為X,由題意可知,,可得,有所以有足夠的理由判斷這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求.19.(1)(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】(1)令,其定義域?yàn)?,則,令,則,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;因?yàn)楫?dāng)時(shí),
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