高數(shù)復習詳解

極限運算法則兩個重要極限等價無窮小代替連續(xù)性洛必達法則分段函數(shù)分段點極限一元函數(shù)極限極限概念計算計算概念；幾何意義微分學一元函數(shù)微分學導數(shù)微分計算概念；連續(xù)、可導、可微的關(guān)系（公式；法則；隱函數(shù)；對數(shù)法）應用（單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點）換元法；分部法不定積分積分學計算概念一元函數(shù)積分學定積分計算概念（公式；換元；分部；有理函數(shù)）應用性質(zhì)積分上限函數(shù)；微積分基本定理（微元法；面積；體積；弧長）第一章函數(shù)與極限

重要內(nèi)容2.兩個重要極限3.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系1.極限的概念及運算法則、極限存在準則（理解，在求極限時會應用）推論2

有限個無窮小的乘積也是無窮小

性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

性質(zhì)1

有限個無窮小的和也是無窮小

4.無窮小的性質(zhì)推論1

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

如：

（和重要極限區(qū)分）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：a.最大值最小值定理b.介值定理

(零點定理)5.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點函數(shù)在處連續(xù)第二章導數(shù)與微分

基本內(nèi)容1.導數(shù)概念如果存在,在x0

處可導,或稱y=f(x)在x0

處有導數(shù)。該極限值就是f(x)在點x0

處的導數(shù)，記為則稱函數(shù)

y=f(x)可導連續(xù)2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式特別地，3.四則運算法則4.反函數(shù)的求導法則:6.隱函數(shù)的求導法

把方程兩邊分別對x求導數(shù)

然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導數(shù)解出.若x=j(t)和y=y(t)都可導,

則)()(ttdxdyjy￠￠=.

對數(shù)求導法適用于求冪指函數(shù)y

[u(x)]v(x)的導數(shù)及多因子之積和商的導數(shù)

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數(shù)

然后用隱函數(shù)求導法求出y的導數(shù)

對數(shù)求導法

例

求y

xsinx

(x>0)的導數(shù)

上式兩邊對x

求導

得兩邊取對數(shù)

得lny

sinx

lnx

微分的定義函數(shù)f(x)在點x0可微

函數(shù)f(x)在點x0可導，并且函數(shù)在點x0的微分一定是

dy

f

(x0)Dx

可微與可導的關(guān)系y

f(x)在點x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

求函數(shù)值的近似公式

f(x0

Dx)

f(x0)

f

(x0)Dx第三章微分中值定理與導數(shù)應用

重要內(nèi)容1.微分中值定理羅爾定理

如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一點x

(a

b)

使得f

(x)

0

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導

那么在(a

b)內(nèi)至少有一點x

使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

拉格朗日中值定理2.洛必達法則“零比零”型未定式的定值法“無窮比無窮”型未定式的定值法其它類型未定式的定值法例解：原式=方法:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的步驟:其它類型未定式的定值法步驟:例=0.方法:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的其它類型未定式的定值法步驟:其它類型未定式的定值法1.2.例解：取對數(shù)得而所以，原極限3.泰勒公式定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

4.函數(shù)單調(diào)性的判定法只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點.如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.5.拐點

設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)

(x0

b)內(nèi)可導

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.6.極值定理3(第二充分條件)設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

7.最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得.

定義為曲線在點M處的曲率.7.曲率曲率計算公式為曲率半徑1.不定積分的概念

在區(qū)間I上,

函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分,記作第四章不定積分

重要內(nèi)容2.基本積分表湊微分換元計算積分變量還原（湊微分法）3.第一類換元法不定積分的計算方法一第一類換元法（湊微分法）換元法分部積分法如果(1)(2)則有換元公式是單調(diào)可導函數(shù)；易求得，4.第二類換元積分法三角代換

(1)如果被積函數(shù)含有可令進行代換去掉根式；(2)分母的次方較高或比較復雜時,常采用倒代換無理代換和倒代換4.分部積分公式可用分部積分法的積分小結(jié)

(1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積:

(2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積:

(3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積:（先積三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)）（先積冪函數(shù)）（此時，一般要用到循環(huán)積分法）

例解

例定積分的定義1.定積分定義第五章定積分

重要內(nèi)容若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的一個原函數(shù),

則定理3(牛頓

萊布尼茨公式)2.定積分的計算積分上限的函數(shù)及其導數(shù)積分上限的函數(shù)

定理1(積分上限函數(shù)的導數(shù))在[a

b]上可導

并且設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

x

[a,

b],

我們稱為積分上限函數(shù).

思考例如，（一）定積分的換元法假設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

函數(shù)x

(t)滿足條件:

(1)

(a)

a,

(

)

b;

(2)

(t)在[

,

](或[

,

])上具有連續(xù)導數(shù),

且其值域不越出[a,

b],

則有定理——換元公式.注意：1.一定要上限對應上限，下限對應下限；2.不必變量還原.例2

解或提示：提示：換元一定要換積分限

不換元積分限不變

（對應第一類換元法）（二）分部積分法：

解

例8

若f(x)在[

a,

a]上連續(xù)且為偶函數(shù),

則

若f(x)在[-a,

a]上連續(xù)且為奇函數(shù),

則=ò-aadxxf)(0

反常積分的計算

如果F(x)是f(x)的原函數(shù)

則有

一、無窮限的反常積分

二、無界函數(shù)的反常積分反常積分的計算1.f(x)在(a,

b]上的反常積分為無界函數(shù)反常積分的定義

設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點a為f(x)的瑕點.

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為第六章定積分的應用

重要內(nèi)容[f上(x)

f下(x)]dx,1.平面圖形的面積

設平面圖形由上下兩條曲線y

f上(x)與y

f下(x)及左右兩條直線x

a與x

b所圍成.

因此平面圖形的面積為

在點x處面積元素為

討論：

由左右兩條曲線x

j左(y)與x

j右(y)及上下兩條直線y

d與y

c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為

面積元素為[j右(y)

j左(y)]dy,求平面圖形面積的步驟：(1)畫圖；確定在x軸上或y軸上的投影區(qū)間；(3)確定上下曲線或左右曲線；(4)計算積分.

例

計算拋物線y2

x與y

x2所圍成的圖形的面積.

解

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:(4)計算積分[0,1];(1)畫圖;旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y

f(x)、直線x

a、x

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.