高數(shù)復(fù)習(xí)詳解

極限運(yùn)算法則兩個重要極限等價無窮小代替連續(xù)性洛必達(dá)法則分段函數(shù)分段點(diǎn)極限一元函數(shù)極限極限概念計(jì)算計(jì)算概念；幾何意義微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)微分計(jì)算概念；連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（公式；法則；隱函數(shù)；對數(shù)法）應(yīng)用（單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點(diǎn)）換元法；分部法不定積分積分學(xué)計(jì)算概念一元函數(shù)積分學(xué)定積分計(jì)算概念（公式；換元；分部；有理函數(shù)）應(yīng)用性質(zhì)積分上限函數(shù)；微積分基本定理（微元法；面積；體積；弧長）第一章函數(shù)與極限

重要內(nèi)容2.兩個重要極限3.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系1.極限的概念及運(yùn)算法則、極限存在準(zhǔn)則（理解，在求極限時會應(yīng)用）推論2

有限個無窮小的乘積也是無窮小

性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

性質(zhì)1

有限個無窮小的和也是無窮小

4.無窮小的性質(zhì)推論1

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

如：

（和重要極限區(qū)分）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：a.最大值最小值定理b.介值定理

(零點(diǎn)定理)5.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)在處連續(xù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分

基本內(nèi)容1.導(dǎo)數(shù)概念如果存在,在x0

處可導(dǎo),或稱y=f(x)在x0

處有導(dǎo)數(shù)。該極限值就是f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)，記為則稱函數(shù)

y=f(x)可導(dǎo)連續(xù)2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式特別地，3.四則運(yùn)算法則4.反函數(shù)的求導(dǎo)法則:6.隱函數(shù)的求導(dǎo)法

把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)

然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo),

則)()(ttdxdyjy￠￠=.

對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y

[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數(shù)

然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y的導(dǎo)數(shù)

對數(shù)求導(dǎo)法

例

求y

xsinx

(x>0)的導(dǎo)數(shù)

上式兩邊對x

求導(dǎo)

得兩邊取對數(shù)

得lny

sinx

lnx

微分的定義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，并且函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是

dy

f

(x0)Dx

可微與可導(dǎo)的關(guān)系y

f(x)在點(diǎn)x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=ADx

求函數(shù)值的近似公式

f(x0

Dx)

f(x0)

f

(x0)Dx第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

重要內(nèi)容1.微分中值定理羅爾定理

如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一點(diǎn)x

(a

b)

使得f

(x)

0

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

那么在(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

拉格朗日中值定理2.洛必達(dá)法則“零比零”型未定式的定值法“無窮比無窮”型未定式的定值法其它類型未定式的定值法例解：原式=方法:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的步驟:其它類型未定式的定值法步驟:例=0.方法:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的其它類型未定式的定值法步驟:其它類型未定式的定值法1.2.例解：取對數(shù)得而所以，原極限3.泰勒公式定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)增加

(2)如果在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調(diào)減少

4.函數(shù)單調(diào)性的判定法只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐點(diǎn).如果在x0的左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點(diǎn).5.拐點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(a

x0)

(x0

b)內(nèi)可導(dǎo)

(1)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(a

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

b)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(a

x0)及(x0

b)內(nèi)

f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(3)考察在每個駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.6.極值定理3(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當(dāng)f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當(dāng)f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

7.最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得.

定義為曲線在點(diǎn)M處的曲率.7.曲率曲率計(jì)算公式為曲率半徑1.不定積分的概念

在區(qū)間I上,

函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分,記作第四章不定積分

重要內(nèi)容2.基本積分表湊微分換元計(jì)算積分變量還原（湊微分法）3.第一類換元法不定積分的計(jì)算方法一第一類換元法（湊微分法）換元法分部積分法如果(1)(2)則有換元公式是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)；易求得，4.第二類換元積分法三角代換

(1)如果被積函數(shù)含有可令進(jìn)行代換去掉根式；(2)分母的次方較高或比較復(fù)雜時,常采用倒代換無理代換和倒代換4.分部積分公式可用分部積分法的積分小結(jié)

(1)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積:

(2)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的積:

(3)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積:（先積三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)）（先積冪函數(shù)）（此時，一般要用到循環(huán)積分法）

例解

例定積分的定義1.定積分定義第五章定積分

重要內(nèi)容若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的一個原函數(shù),

則定理3(牛頓

萊布尼茨公式)2.定積分的計(jì)算積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限的函數(shù)

定理1(積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))在[a

b]上可導(dǎo)

并且設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

x

[a,

b],

我們稱為積分上限函數(shù).

思考例如，（一）定積分的換元法假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

函數(shù)x

(t)滿足條件:

(1)

(a)

a,

(

)

b;

(2)

(t)在[

,

](或[

,

])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),

且其值域不越出[a,

b],

則有定理——換元公式.注意：1.一定要上限對應(yīng)上限，下限對應(yīng)下限；2.不必變量還原.例2

解或提示：提示：換元一定要換積分限

不換元積分限不變

（對應(yīng)第一類換元法）（二）分部積分法：

解

例8

若f(x)在[

a,

a]上連續(xù)且為偶函數(shù),

則

若f(x)在[-a,

a]上連續(xù)且為奇函數(shù),

則=ò-aadxxf)(0

反常積分的計(jì)算

如果F(x)是f(x)的原函數(shù)

則有

一、無窮限的反常積分

二、無界函數(shù)的反常積分反常積分的計(jì)算1.f(x)在(a,

b]上的反常積分為無界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為第六章定積分的應(yīng)用

重要內(nèi)容[f上(x)

f下(x)]dx,1.平面圖形的面積

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y

f上(x)與y

f下(x)及左右兩條直線x

a與x

b所圍成.

因此平面圖形的面積為

在點(diǎn)x處面積元素為

討論：

由左右兩條曲線x

j左(y)與x

j右(y)及上下兩條直線y

d與y

c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為

面積元素為[j右(y)

j左(y)]dy,求平面圖形面積的步驟：(1)畫圖；確定在x軸上或y軸上的投影區(qū)間；(3)確定上下曲線或左右曲線；(4)計(jì)算積分.

例

計(jì)算拋物線y2

x與y

x2所圍成的圖形的面積.

解

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:(4)計(jì)算積分[0,1];(1)畫圖;旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y

f(x)、直線x

a、x

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.