2024高考數(shù)學(xué)考點專項突破平面向量含解析

平面對量單選題1、若，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，則，即.故選：A.2、（2025屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）向量，若，則的值是()A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】B【解析】，故選B.3、已知平面對量a,b的夾角為60°,aA．2B．7C．27D．【答案】D【解析】|a4、（2024年高考全國II卷理數(shù)）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A．?3 B．?2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，則，．故選C．5、（2024年高考北京卷理數(shù)）設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，因為a，b均為單位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C.6、設(shè)為所在平面內(nèi)一點，若，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.7、（2025屆山東省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以,選C.8、（2024年高考全國I卷理數(shù)）已知非零向量a，b滿意，且b，則a與b的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．9、（2025屆山東省德州市高三上期末）已知向量，滿意，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，則，，.故選：C.10、（2024年高考全國III卷理數(shù)）已知向量a，b滿意，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故選：D．11、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，已知，，，，若，（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】建立如圖所以坐標(biāo)系，依據(jù)條件不妨設(shè)，，，則，所以，解得，，所以，故選：C．12、（2024·河南高三期末（文））如圖，在等腰直角中，，分別為斜邊的三等分點（靠近點），過作的垂線，垂足為，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，所以，所以.因為，所以.故選：D13、（2024年新高考全國Ⅰ卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，的模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A．14、在中，點滿意，過點的直線與、所在的直線分別交于點、，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點共線，則.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為，故選：B.15、已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．【答案】D【解析】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.16、（2025屆浙江省之江教化評價聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考）已知，是以為直徑的圓上的動點，且，則的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以圓心為原點，直徑所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，∴，∴，設(shè)，則，即的最大值是2.故選：A.17、（2025屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）定義平面對量之間的一種運算“”如下：對隨意的，，令.下面說法錯誤的是A．若共線，則B．C．對隨意的D．【答案】B【解析】若與共線，則有，故A正確；因為，而，所以有，故選項B錯誤；因為，，所以選項C正確；，所以選項D正確.故選B．二、多選題18、（2024年揚州期末）中，，，，在下列命題中，是真命題的有A．若，則為銳角三角形 B．若．則為直角三角形 C．若，則為等腰三角形 D．若，則為直角三角形【答案】【解析】：中，，，①若，則是鈍角，是鈍角三角形，錯誤；②若，則，為直角三角形，正確；③若，，，，取中點，則，所以，即為等腰三角形，正確，④若，則，即，即，由余弦定理可得：，即，即，即為直角三角形，即正確，綜合①②③④可得：真命題的有，故選：．19、（2024年南通期末）在中，，，若是直角三角形，則的值可以是（）A． B． C． D．【答案】【解析】：中，，，①當(dāng)時，，即，解得；②當(dāng)時，，且；即，解得；③當(dāng)時，，即，整理得，解得或；綜上知，的取值為或或．故選：．20、（2025屆山東試驗中學(xué)高三上期中）關(guān)于平面對量，下列說法中不正確的是（）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．【答案】ACD【解析】對于，若，因為與隨意向量平行，所以不肯定與平行，故錯；對于，向量數(shù)量積滿意安排律，故對；對于，向量數(shù)量積不滿意消去率，故錯；對于，是以為方向的向量，是以為方向的相量，故錯．故選：．21、（2025屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為【答案】BCD【解析】由題E為AB中點，則，以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，設(shè)，∥，所以，解得：，即O是CE中點，，所以選項B正確；，所以選項C正確；因為，，所以選項A錯誤；，，在方向上的投影為，所以選項D正確.故選：BCD22、（2025屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F(xiàn)為AE的中點，則（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法則得，A對；∵，∴，∴，又F為AE的中點，∴，B對；∴，C對；∴，D錯；故選：ABC．三、填空題23、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】因為為單位向量，所以所以，解得：，所以，故答案為：.24、（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期階段考試）已知，是夾角為的兩個單位向量，，，且則的值為_______.【答案】【解析】.解得.故答案為:.25、（2024年高考全國II卷理數(shù)）已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．26、（2025屆江蘇省南通市海門中學(xué)高三上學(xué)期10月檢測）在中，已知D是邊的中點，E是線段的中點若，則的值為______.【答案】；【解析】由題意，，∵∴．故答案為：．27、（2025屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在中，已知，若為中點，且，則____.【答案】.【解析】，解得，，故答案為：.28、（江蘇省南通市西亭高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）在斜三角形中，，是中點，在邊上，，與交與點.若，則_____.【答案】【解析】如下圖所示，過點作交于點，則點為的中點，，為的中點，所以，，，，，，所以，，由，解得.故答案為：.29、（2024年高考天津）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.四、解答題30、（2025屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知平面對量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.【解析】因為，所以，即解得所以（2）若，則所以，，，所以31、（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期階段考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量.（1）若，求的值；（2）求的最大值及取得最大值時的值.【解析】(1)因為所以因為,所以.因為,所以于是或.(2)因為,所以,于是.所以當(dāng),即時,取最大值.32、（2025屆江蘇省南通市海門中學(xué)高三上學(xué)期10月檢測）在邊長為2的等邊中，以O(shè)為圓心、為半徑作弧，點P為弧上一動點.求的取值范圍.【解析】設(shè)的中點為C，則，設(shè)與的夾角為，則，所以，因為，所以，所以，的取值范圍為.33、（2025屆江蘇省七市其次次調(diào)研考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【解析】（1）