2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.1向量的加法學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE2從位移的合成到向量的加法2．1向量的加法考綱定位重難突破1.理解向量加法的法則及其幾何意義．2.能用法則及其幾何意義，正確作出兩個(gè)向量的和．重點(diǎn)：1.向量的加法法則．2.向量的加法的幾何意義．難點(diǎn)：向量的加法法則的應(yīng)用及對(duì)幾何意義的理解.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第36頁(yè)[自主梳理]向量加法[雙基自測(cè)]1．對(duì)隨意四邊形ABCD，下列式子中不等于eq\o(BC,\s\up6(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))答案：C2．化簡(jiǎn)下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中結(jié)果為0的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由向量加法的運(yùn)算法則①④的結(jié)果為0.答案：B3.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\o(CD,\s\up6(→)) B.eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\o(CO,\s\up6(→))答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第36頁(yè)探究一向量的加法法則應(yīng)用[典例1]若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c.(1)試作出向量a＋b＋c，并求出其模的大??；(2)試作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，并求出其模的大小．[解析](1)依據(jù)平行四邊形法則可知，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).延長(zhǎng)AC，在AC的延長(zhǎng)線上作eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，則a＋b＋c＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))(如圖所示)．∴|a＋b＋c|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(12＋12)＝2eq\r(2).(2)如圖所示，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝BC，連接DE，由于eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2.(1)依據(jù)向量加法的三角形法則，必需平移向量使之首尾相連，那么起點(diǎn)與終點(diǎn)所確定的向量就是兩個(gè)向量的和向量，推廣到向量加法的多邊形法則仍舊適用．(2)向量加法的平行四邊形法則，必需平移向量使之共起點(diǎn)，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，那么共起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向量的和向量．1．已知向量a，b，c，如圖，求作a＋b＋c.解析：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，如圖所示，則由向量加法的三角形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.探究二向量的加法運(yùn)算[典例2]設(shè)A，B，C，D是平面上的隨意四點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)).[解析]依據(jù)向量的加法法則，得(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0＋0＝0.向量加法運(yùn)算口訣：加法口訣：首尾相接，箭頭從始點(diǎn)指向最終一個(gè)終點(diǎn)．2.向量a，b，c，d，e如圖所示，據(jù)圖解答下列問(wèn)題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋d＋e；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－c；(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝e＋a＋b；(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－c－d.探究三向量加法的應(yīng)用[典例3]在長(zhǎng)江某渡口上，江水以2km/h的速度向東流，長(zhǎng)江南岸的一艘渡船的速度為2eq\r(3)km/h，要使渡船渡江的時(shí)間最短，求渡船實(shí)際航行的速度的大小和方向．[解析]要使渡江的時(shí)間最短，渡船應(yīng)向垂直于對(duì)岸的方向行駛，設(shè)渡船速度為v1，水流速度為v2，船實(shí)際航行的速度為v，則v＝v1＋v2，依題意作出平行四邊形，如圖．在Rt△ABC中，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|v1|＝2eq\r(3).|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|v2|＝2，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|v|＝eq\r(|\o(\o(AB,\s\up6(→))|2＋,\s\up6())|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4.tanθ＝eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3).∴θ＝60°.∴渡船實(shí)際航行的速度大小為4km/h，方向?yàn)闁|偏北60°.求解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)先依據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．本題實(shí)際是向量在物理上的一個(gè)簡(jiǎn)潔應(yīng)用．先依據(jù)三個(gè)已知速度(即已知向量)之間的關(guān)系，推斷ABCD為矩形．因此可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．3．雨滴在下落肯定時(shí)間后是勻速運(yùn)動(dòng)的，無(wú)風(fēng)時(shí)雨滴下落的速度為2eq\r(3)m/s，現(xiàn)有東風(fēng)且風(fēng)速為2m/s，那么雨滴將以多大的速度著地？這個(gè)速度的方向怎樣？解析：如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))表示無(wú)風(fēng)時(shí)雨滴的下落速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示東風(fēng)的風(fēng)速．由平行四邊形法則，知有東風(fēng)時(shí)雨滴的下落速度為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)m/s，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2m/s，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4(m/s)，∠BCA＝60°.故雨滴沿向下偏西，與地面成60°角的方向，以4m/s的速度著地．未能正確理解向量加法致誤[典例]小船以10eq\r(3)km/h的靜水速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為10km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為_(kāi)_______km/h.[解析]如圖，設(shè)船在靜水中的速度為|v1|＝10eq\r(3)km/h，河水的流速為|v2|＝10km/h，小船實(shí)際航行速度為v0，則由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10eq\r(3))2＋