2025屆高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積教師文檔教案文北師大版

PAGE其次節(jié)空間幾何體的表面積與體積授課提示：對應(yīng)學生用書第123頁[基礎(chǔ)梳理]1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l2.柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3與球有關(guān)的切、接問題中常見的組合模型：(1)正方體與球：①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖所示．設(shè)正方體的棱長為a，則半徑r＝|OJ|＝eq\f(a,2).②與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，則半徑R＝|GO|＝eq\f(\r(2),2)a.③正方體的外接球：截面圖為長方形ACC1A1的外接圓，則半徑R′＝|A1O|＝eq\f(\r(3),2)a.(2)三條側(cè)棱相互垂直(墻角模型)的三棱錐的外接球：①假如三棱錐的三條側(cè)棱相互垂直并且相等，則可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．即三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合．如圖，設(shè)AA1＝a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.②假如三棱錐的三條側(cè)棱相互垂直但不相等，則可以補形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)＝eq\f(l2,4)(l為長方體的體對角線長)．(3)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點為D，連接CD，SE為正四面體的高，在截面三角形SDC內(nèi)作一個與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓．因為正四面體本身的對稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝eq\r(\f(2,3))a，CE＝eq\f(\r(3),3)a，則有R＋r＝eq\r(\f(2,3))a，R2－r2＝|CE|2＝eq\f(a2,3)，解得R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a.[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：幾何體的表面積)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4答案：D2．(基礎(chǔ)點：幾何體的體積)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1 B．2C．3 D．6答案：C3．(基礎(chǔ)點：幾何體的體積)中國的計量單位可以追溯到4000多年前的氏族社會末期，公元前221年，秦王統(tǒng)一六國后，頒布統(tǒng)一度量衡的詔書并制發(fā)了成套的權(quán)衡和容量標準器．如圖是古代的一種度量工具“斗”(無蓋，不計量厚度)的三視圖(其主視圖和左視圖為等腰梯形)，則此“斗”的容積(單位：cm3)為()A．2000 B．2800C．3000 D．6000答案：B4．(易錯點：球的切、接問題)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為____________．答案：14π授課提示：對應(yīng)學生用書第124頁考點一空間幾何體的表面積[例](1)(2024·合肥質(zhì)檢)一個幾何體的三視圖如圖所示(其中主視圖中的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π[解析]由三視圖知，該幾何體由一個正方體的eq\f(3,4)部分與一個圓柱的eq\f(1,4)部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故選A.[答案]A(2)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.[答案]B(3)(2024·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq\r(15).則該圓錐的側(cè)面積為__________．[解析]因為母線SA與圓錐底面所成的角為45°，所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形．設(shè)底面圓的半徑為r，則母線長l＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8).因為△SAB的面積為5eq\r(15)，即eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·eq\r(2)r·eq\r(2)r×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以r2＝40，故圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\r(2)πr2＝40eq\r(2)π.[答案]40eq\r(2)π[破題技法]求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其綻開后求表面積(球除外)，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面綻開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積提示：(1)求組合體的表面積時，要留意各幾何體重疊部分的處理．(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，簡單和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯．考點二空間幾何體的體積[例](1)(干脆法)(2024·高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8[解析]由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，底面面積S＝eq\f(（1＋2）×2,2)＝3，高h＝2，∴V＝Sh＝6.[答案]C(2)(等積法)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-[解析]三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積．∵E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，∴在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，∴VD1-EDF＝VF-DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)(3)(分割法)(2024·山西五校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A．5000立方尺 B．5500立方尺C．6000立方尺 D．6500立方尺[解析]該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCD-EF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和．又可以將三棱柱ADE-GHF割補成高為EF，底面積為S＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)(平方丈)的一個直棱柱，故該楔體的體積V＝eq\f(3,2)×2＋eq\f(1,3)×2×3×1＝5(立方丈)＝5000立方尺．故選A.[答案]A(4)(補形法)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π[解析]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.[答案]B[破題技法]1．(2024·湖南兩市調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D．4解析：如圖所示，三棱錐P-ABC即為所求．則VP-ABC＝eq\f(1,3)×S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故選B.答案：B2．由一個長方體和兩個eq\f(1,4)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________．解析：由題意知該幾何體是由一個長方體和兩個eq\f(1,4)圓柱體構(gòu)成，其中長方體的體積V1＝2×1×1＝2，兩個eq\f(1,4)圓柱體的體積之和V2＝eq\f(1,4)×π×12×1×2＝eq\f(π,2)，∴該幾何體的體積V＝V1＋V2＝2＋eq\f(π,2).答案：2＋eq\f(π,2)3．如圖所示，已知多面體ABC-DEFG中，AB，AC，AD兩兩相互垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．解析：法一：(分割法)幾何體有兩對相對面相互平行，如圖所示，過點C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABC-DEFG＝2＋2＝4.法二：(補形法)∵幾何體有兩對相對面相互平行，如圖所示，將多面體補成棱長為2的正方體，明顯所求多面體的體積即為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABC-DEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.答案：4考點三與球有關(guān)的切、接問題挖掘1內(nèi)切球的問題/自主練透[例1](1)如圖，在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)[解析]若球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切，球的半徑為eq\f(6＋8－10,2)＝2，此時球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球不符合題意．若與直三棱柱的上、下底面相切，球的半徑為eq\f(3,2).∴球的半徑的最大值是eq\f(3,2)，此時球的體積是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，故選B.[答案]B(2)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．[解析]設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)[破題技法]與球相關(guān)的“切”的處理解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體或旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．若內(nèi)切的是多面體，則多取多面體過球心的對角面；若內(nèi)切的是旋轉(zhuǎn)體，則多取其軸截面．挖掘2外接球的問題/自主練透[例2](1)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8π B．12πC．20π D．24π[解析]法一：將三棱錐P-ABC放入長方體中，如圖①，三棱錐P-ABC的外接球就是長方體的外接球．圖①因為PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC為直角三角形，所以BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).設(shè)外接球的半徑為R，由題意可得(2R)2＝22＋22＋(2eq\r(3))2＝20，故R2＝5，則球O的表面積為4πR2＝20π，故選C.法二：利用鱉臑的特點求解，如圖②，因為四個面都是直角三角形，所以PC的中點到每一個頂點的距離都相等，即PC的中點為球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以球O的表面積為4πR2＝20π，故選C.圖②[答案]C(2)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．[解析]如圖，連接AO，OB，∵SC為球O的直徑，∴點O為SC的中點，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS－ABC＝VA－SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.[答案]36π[破題技法]與球相關(guān)的“接”的處理把一個多面體的頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．假如無需確定球心，可通過補形構(gòu)造垂直模型，構(gòu)造或找有三條兩兩垂直的線段的特別幾何體，干脆用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)，求出R.對稱幾何體的外接球、三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球等特別幾何體的外接球問題常補成長(正)方體來理解，如正四面體就是正方體內(nèi)幾條面對角線構(gòu)成的特別棱錐．1．(2024·泉州質(zhì)檢)如圖，在正方形網(wǎng)格紙上，實線畫出的是某多面體的三視圖及其部分尺寸．若該多面體的頂點在同一球面上，則該球的表面積等于()A．8π B．18πC．24π D．8eq\r(6)π解析：設(shè)球的半徑為R.多面體是兩個正四棱錐的組合體(底面重合)．兩頂點之間的距離為2R，底面是邊長為eq\r(2)R的正方形，則有R2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)R,2)))eq\s\up12(2)＝32，解得R2＝6，故該球的表面積S＝4πR2＝24π.選C.答案：C2．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得AC＝1，AB＝eq\f(1,2)，結(jié)合勾股定理，得底面半徑r＝BC＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是V＝πr2h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3,4)π，故選B.答案：B考點四求表面積與體積中的數(shù)學文化問題[例](1)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就．書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該陽馬的外接球的體積為()A．100πcm3 B.eq\f(500π,3)cm3C．400πcm3 D.eq\f(4000π,3)cm3[解析]由三視圖可得，在長、寬、高分別為6cm，2eq\r(7)cm，6cm的長方體中，該幾何體為如圖所示的四棱錐E-ABCD，設(shè)該幾何體外接球的半徑為Rcm，由題意有(2R)2＝(2eq\r(7))2＋62＋62，解得R＝5，則該陽馬的外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．[答案]B(2)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛 B．22斛C．