2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1第1課時(shí)根式學(xué)案新人教A版必修第一冊

4.1指數(shù)第1課時(shí)根式學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解n次方根及根式的概念，駕馭根式的性質(zhì)．(重點(diǎn))2．能利用根式的性質(zhì)對根式進(jìn)行運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過學(xué)習(xí)n次方根、根式，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助根式的性質(zhì)對根式進(jìn)行運(yùn)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其學(xué)派中的一個(gè)成員希伯索斯思索了一個(gè)問題：邊長為1的正方形的對角線長度是多少呢？他發(fā)覺這一長度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)來表示，希伯索斯的發(fā)覺使數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)eq\r(2)誕生了．問題：若x2＝3，則這樣的x有幾個(gè)？它們叫做3的什么？如何表示？學(xué)問點(diǎn)1根式及相關(guān)概念(1)a的n次方根定義假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．1.依據(jù)n次方根的定義，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是否對隨意實(shí)數(shù)a都存在n次方根？n為偶數(shù)呢？[提示]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對隨意實(shí)數(shù)a，都存在n次方根，可表示為eq\r(n,a)，但當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)不是，因?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)，a沒有n次方根；當(dāng)a≥0時(shí)，a才有n次方根，可表示為±eq\r(n,a).1.(1)27的立方根是________；(2)已知x6＝2021，則x＝________；(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．(1)3(2)±eq\r(6,2021)(3)[－3，＋∞)[(1)27的立方根是3.(2)因?yàn)閤6＝2021，所以x＝±eq\r(6,2021).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意義，則須要x＋3≥0，即x≥－3.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－3，＋∞)．]學(xué)問點(diǎn)2根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a.(2)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)負(fù)數(shù)沒有偶次方根．2.(eq\r(n,a))n中實(shí)數(shù)a的取值范圍是隨意實(shí)數(shù)嗎？[提示]不肯定，當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，a∈R；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，a≥0.2.思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)實(shí)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)．()(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×3.(1)eq\r(3,－83)＝________；(2)eq\r(4,3－π4)＝________.(1)－8(2)π－3[(1)eq\r(3,－83)＝－8；(2)eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.]類型1由根式的意義求取值范圍【例1】寫出訪下列各式成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．(1)eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)；(2)eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5).[解](1)∵x－3≠0，∴x≠3.即實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|x≠3}．(2)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0,x－5≤0，))∴－5≤x≤5，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|－5≤x≤5}．對于eq\r(n,a)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)留意兩點(diǎn)(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，則必有eq\r(n,a)≥0.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(3,1－3a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))[因?yàn)閑q\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(6,3a－12)＝eq\r(3,\a\vs4\al(|3a－1|))＝eq\r(3,1－3a)，∴1－3a≥0，∴a≤eq\f(1,3).]類型2利用根式的性質(zhì)化簡求值【例2】(對接教材P105例題)化簡下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24).[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，依據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．化簡下列各式：(1)eq\r(4,3a－34)(a≤1)；(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4).[解](1)∵a≤1，∴3a－3≤∴eq\r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3－3a.(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))類型3有限制條件的根式的化簡【例3】(1)若x<0，則x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.](2)[解]eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當(dāng)－3<x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當(dāng)1<x<3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.綜上，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))將本例(2)的條件“－3<x<3”改為“x≤－3[解]原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.因?yàn)閤≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.有條件根式的化簡(1)有條件根式的化簡問題，是指被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式可以通過配方、拆分等方式進(jìn)行化簡．(2)有條件根式的化簡常常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡時(shí)，要考慮被開方數(shù)或被開方的表達(dá)式的正負(fù)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．已知－1<x<2，化簡eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).[解]∵－1<x<2，∴x－2<0，x＋1>0，∴eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x.1．(多選)已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子，其中有意義的是()A.eq\r(4,－22n) B．eq\r(3,－22n＋1)C.eq\r(4,－22n) D．eq\r(3,－a2)BCD[結(jié)合根式的定義可知BCD均有意義，故選BCD.]2．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數(shù)，∴2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．∴m＝±eq\r(10,2).]3．(eq\r(4,2))4運(yùn)算的結(jié)果是()A．2 B．－2C．±2 D．不確定[答案]A4．若x3＝－5，則x＝________.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，則x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]5.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]回顧本節(jié)學(xué)問，自我完成以下問題：1．若xn＝a，則x的值有幾個(gè)，如何表示？[提示]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若xn＝a，則x＝e