2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題05數(shù)列求和(倒序相加法、分組求和法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：倒序相加法 1題型二：通項(xiàng)為型求和 3題型三：通項(xiàng)為型求和 5三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍1、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.2、分組求和法2.1如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2.2如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.二、典型題型題型一：倒序相加法1．（2023高一·全國(guó)·競(jìng)賽）已知，其中是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）．A． B． C． D．2．（2013高一·全國(guó)·競(jìng)賽）函數(shù)，則的值為（

）．A．2012 B． C．2013 D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子．他年幼時(shí)，在的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而生成．此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是．4．（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，.若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.5．（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù).(1)求證為定值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為正整數(shù)，，，，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；題型二：通項(xiàng)為型求和1．（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和為，并求滿足的最小整數(shù)n．2．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意的，都有點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．3．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列，若.(1)設(shè)的二階差數(shù)列為，求的通項(xiàng)公式.(2)在（1）的條件下，設(shè)，求的前n項(xiàng)和為4．（2024·河北唐山·一模）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)n．5．（23-24高二下·河南平頂山·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的最小的正整數(shù)n的值．6．（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．(1)求；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．題型三：通項(xiàng)為型求和1．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在拋物線，數(shù)列中，點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率的直線l上.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，若表示的前n項(xiàng)和，求；(3)若，問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足，求的前2n項(xiàng)和．3．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為.2．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．3．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)滿足，數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.10．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知數(shù)列，______.在①數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；②數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并解答.（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分.在答題前應(yīng)說(shuō)明“我選______”）(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.12．（2024·福建莆田·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．13．（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．（23-24高二上·山東青島·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：倒序相加法 1題型二：通項(xiàng)為型求和 5題型三：通項(xiàng)為型求和 10三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練 16一、必備秘籍1、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.2、分組求和法2.1如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2.2如果一個(gè)數(shù)列可寫(xiě)成的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.二、典型題型題型一：倒序相加法1．（2023高一·全國(guó)·競(jìng)賽）已知，其中是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，從而得到，再利用倒序相加法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，則，即，即，即，所以當(dāng)，則，又，所以，所以，.故選：C．2．（2013高一·全國(guó)·競(jìng)賽）函數(shù)，則的值為（

）．A．2012 B． C．2013 D．【答案】B【分析】由題意可得，再由倒序相加法求解即可.【詳解】由可得：，所以，，所以設(shè)，則兩式相加可得：．故選：B.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子．他年幼時(shí)，在的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而生成．此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】先計(jì)算出的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，利用倒序相加求出，從而得到，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得到，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．因?yàn)?，所以，兩式相加得，所以．由，得，所以．令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.4．（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，.若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.【答案】【分析】由，可得，從而得，然后利用倒序相加法從而可求解.【詳解】由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，，將兩式相加可得?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要是對(duì)求導(dǎo)后得，主要能夠找到的關(guān)系，再根據(jù)倒序相加法從而可求解.5．（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù).(1)求證為定值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為正整數(shù)，，，，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由函數(shù)的解析式得出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后可得為定值；（2）由于，可得，即，倒序相加可得.【詳解】（1）證明：由于函數(shù)，則，所以.（2）由（1）可知，，則，其中為正整數(shù)，，即，且，所以，其中為正整數(shù)，，且，，①變化前項(xiàng)順序后，可得：，②①②得：，因此.題型二：通項(xiàng)為型求和1．（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和為，并求滿足的最小整數(shù)n．【答案】(1)(2)，11【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通向公式，結(jié)合題意建立方程組，可得答案；（2）利用分組求和公式，結(jié)合等比數(shù)列以及等差數(shù)列求和公式，可得答案.【詳解】（1）設(shè)的公比為，則，因?yàn)?，所以，依題意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故.顯然，隨著的增大而增大，，，所以滿足的最小整數(shù).2．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意的，都有點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，可證明數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）分別求出當(dāng)為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，即可求出，再由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）對(duì)于任意的，都有點(diǎn)在直線上．即對(duì)于任意的都有，

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，進(jìn)而得，

當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，

所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且，因此當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，

因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

因此的前20項(xiàng)和：.3．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列，若.(1)設(shè)的二階差數(shù)列為，求的通項(xiàng)公式.(2)在（1）的條件下，設(shè)，求的前n項(xiàng)和為【答案】(1)(2)【分析】（1）借助定義計(jì)算即可得；（2）借助等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得.【詳解】（1），則；（2），則.4．（2024·河北唐山·一模）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)n．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組解出公比，從而可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后用分組求和法即可求，分別計(jì)算和，即可確定的值.【詳解】（1）設(shè)的公比為，則，因?yàn)?，所以，依題意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故顯然，隨著的增大而增大，，，所以滿足的最大整數(shù).5．（23-24高二下·河南平頂山·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的最小的正整數(shù)n的值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由題意，列出關(guān)于公差與公比的方程組，求解方程組，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；（2）由（1）可得，利用分組求和法及等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由，可得，由題意，，整理得，解得或（舍去），則，所以，；（2）由（1）可得：，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以可得：，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足的最小的正整數(shù)n的值為.6．（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．(1)求；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及指數(shù)的運(yùn)算，利用分組求和法、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即.（2）由（1）知，，，，,,.題型三：通項(xiàng)為型求和1．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，點(diǎn)在拋物線，數(shù)列中，點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率的直線l上.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，若表示的前n項(xiàng)和，求；(3)若，問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)(3)存在，【分析】（1）將代入拋物線方程得數(shù)列是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，求出直線方程后可得；（2）分類討論，按n的奇偶分類討論，然后利用數(shù)列的分組求和可得（3）分類討論，按k的奇偶分類討論即可求解；【詳解】（1）將代入拋物線方程得，，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又直線在經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率，所以直線方程為，因?yàn)樵谥本€l上，所以（2）由題意得，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令,所以，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令，所以，所以（3）由，①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，，即，②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，，即，（舍去），故存在唯一的符合條件.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足，求的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）利用分組求和法和并項(xiàng)求和法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的為，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.3．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）由（1）可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，兩式相減得：，整理得，且為正項(xiàng)數(shù)列，可知，可得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)，則，可得，所以.4．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）對(duì)遞推式變形得，利用等差數(shù)列定義即可證明，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先利用（1）知，然后利用分組求和思想求解即可.【詳解】（1）顯然，將兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，所的.（2）由已知得，那么數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故.5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）利用分組求和法求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為．因?yàn)?，所以，解得，所以；?）由（1）可得，所以．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求解，（2）根據(jù)并項(xiàng)求和即可求解.【詳解】（1）由題意可知，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為．可轉(zhuǎn)化為，即，即，，即，，．（2）由題可得，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述,三、專題05數(shù)列求和（倒序相加法、分組求和法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為.【答案】1009【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，求出，再利用倒序相加法求和作答.【詳解】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得，所以所求值為1009.故答案為：10092．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．【答案】【分析】計(jì)算出，，倒序相加得到答案.【詳解】，，因?yàn)棰?，所以②，兩式相加得，所?故答案為：3．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)滿足，數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用倒序相加法可求得；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，由已知條件結(jié)合參變量分離法可得出，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：函數(shù)滿足，數(shù)列滿足，則，所以，，故.（2）解：由（1）可得，則，所以，，上式下式可得，所以，，則，所以，，由可得，則，因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接計(jì)算可得答案；（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)時(shí)，利用倒序相加法可得答案.【詳解】（1）；（2）由題知，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相加得，所以，又不符合，所以.5．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由，運(yùn)用倒序相加求和，可得所求通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得，再由參數(shù)分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?由①,則②,所以可得：，故，.（2）由（1）知，，則時(shí)，，所以

.又由對(duì)一切恒成立,可得恒成立,即有對(duì)一切恒成立.當(dāng)時(shí),取得最大值，所以；故實(shí)數(shù)的取值范圍是.6．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意可得：，由即可求解；（2）求出的表達(dá)式，由指數(shù)的運(yùn)算即可求解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.（2）因?yàn)?，所以，所?（3）由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)椋谝驗(yàn)?，所以①②，得，所?7．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）給式子兩邊同時(shí)加，化簡(jiǎn)證明即可；（2）分為兩組，一組等差數(shù)列，一組等比數(shù)列，利用等差等比數(shù)列的前項(xiàng)公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.8．（2024·廣西賀州·一模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．設(shè)是遞增的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，__________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（注：若選擇多個(gè)解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)；(2).【分析】（1）選擇條件①②③，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和列出方程，求出首項(xiàng)、公比即可得解.（2）利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由是遞增的等比數(shù)列，，得數(shù)列的公比，且，選擇條件①，，則，即，于是，所以的通項(xiàng)公式是.選擇條件②，，即，由，解得，所以的通項(xiàng)公式是.選擇條件③，，則，而，解得，即有，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為（），根據(jù)等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可得結(jié)果.（2）求出，代入求出，再分組求和，利用裂項(xiàng)求和方法和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.10．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)