2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題13數(shù)列新定義問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題12數(shù)列新定義問題（典型題型歸類訓(xùn)練）1．（2024·甘肅定西·一模）在個數(shù)碼構(gòu)成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計算；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式；(3)設(shè)排列滿足，求，2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”．(1)已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷,是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列的通項公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；3．（23-24高二下·吉林四平·階段練習(xí)）在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得（）恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列1，2，3，7，43是否為“數(shù)列”；(2)若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請說明理由；(3)若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足求數(shù)列的通項公式和的值．4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列，若.(1)設(shè)的二階差數(shù)列為，求的通項公式.(2)在（1）的條件下，設(shè)，求的前n項和為7．（2024·黑龍江·二模）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．8．（2015高二·全國·競賽）設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③.設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.(1)請寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前之和；(3)若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和.9．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）若有窮數(shù)列，是正整數(shù)），滿足，即是正整數(shù)，且，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．例如，數(shù)列1，3，5，5，3，1就是“對稱數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出的每一項；(2)對于確定的正整數(shù)，寫出所有項數(shù)不超過的“對稱數(shù)列”，使得依次是該數(shù)列中連續(xù)的項；當(dāng)時，求其中一個“對稱數(shù)列”前19項的和10．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個以組為單位的序列稱為的一個分群數(shù)列，稱為這個分群數(shù)列的原數(shù)列．如，，…，是的一個分群數(shù)列，其中第k個括號稱為第k群．已知的通項公式為．(1)若的一個分群數(shù)列中每個群都含有3項；該分群數(shù)列第k群的中間一項為，求數(shù)列的通項公式；(2)若的一個分群數(shù)列滿足第k群含有k項，為該分群數(shù)列的第k群所有項構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)，求集合M中所有元素的和．專題12數(shù)列新定義問題（典型題型歸類訓(xùn)練）1．（2024·甘肅定西·一模）在個數(shù)碼構(gòu)成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計算；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項公式；(3)設(shè)排列滿足，求，【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用逆序數(shù)的定義，依次分析排列中的逆序個數(shù)，從而得解；（2）利用逆序數(shù)的定義得到，從而利用構(gòu)造法推得是等比數(shù)列，從而得解；（3）利用逆序數(shù)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得到，再利用裂項相消法即可得解.【詳解】（1）在排列中，與5構(gòu)成逆序的有4個，與1構(gòu)成逆序的有0個，與2構(gòu)成逆序的有0個，與4構(gòu)成逆序的有1個，與3構(gòu)成逆序的有0個，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)?，所以?shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)椋?，所以，所?2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”．(1)已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷,是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列的通項公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；【答案】(1)是“等比源數(shù)列”，不是“等比源數(shù)列”，理由見解析(2)不是“等比源數(shù)列”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等比中項，結(jié)合列舉法即可求解，（2）假設(shè)是“等比源數(shù)列”得，即可根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算，結(jié)合奇偶數(shù)的性質(zhì)得矛盾，即可求解.【詳解】（1）是“等比源數(shù)列”，不是“等比源數(shù)列”．中“1，2，4”構(gòu)成等比數(shù)列，所以是“等比源數(shù)列”；中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能構(gòu)成等比數(shù)列，且這四者的其他次序也不構(gòu)成等比數(shù)列，所以不是“等比源數(shù)列”．（2）不是“等比源數(shù)列”．假設(shè)是“等比源數(shù)列”，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，即中存在的，，三項成等比數(shù)列，也就是，即，，兩邊時除以得，等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)．所以數(shù)列中不存在三項按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列．綜上可得不是“等比源數(shù)列”．3．（23-24高二下·吉林四平·階段練習(xí)）在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得（）恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)判斷數(shù)列1，2，3，7，43是否為“數(shù)列”；(2)若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請說明理由；(3)若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足求數(shù)列的通項公式和的值．【答案】(1)是(2)不是，理由見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義判斷（2）根據(jù)已知條件求出即可判斷；（3）根據(jù)數(shù)列為“數(shù)列”，化為，進(jìn)而求得，作差有，根據(jù)已知條件化為，解得，由此求出，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）由題意可得，，，，所以1，2，3，7，43是“數(shù)列”；（2）數(shù)列不是“數(shù)列”，理由如下：（），則（），又（），所以（），因?yàn)椴皇浅?shù)，所以數(shù)列不是“數(shù)列”．（3）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，由（），有（）①，所以（）②，兩式作差得（），又因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以（），設(shè)數(shù)列的公比為，所以（），即對成立，則，又，，得，所以，．4．（23-24高二下·四川南充·階段練習(xí)）給定數(shù)列，稱為的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列的差數(shù)列為的二階差數(shù)列，若.(1)設(shè)的二階差數(shù)列為，求的通項公式.(2)在（1）的條件下，設(shè)，求的前n項和為【答案】(1)(2)【分析】（1）借助定義計算即可得；（2）借助等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式計算即可得.【詳解】（1），則；（2），則.5．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）定義：若對恒成立，則稱數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請說明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當(dāng)時，．（?。┤魯?shù)列為的前項和，證明：；（ⅱ）對于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．【答案】(1)是，證明見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合“上凸數(shù)列”定義判定即可；（2）（?。├谩吧贤箶?shù)列”定義及倒序相加法證明即可；令，利用條件及數(shù)列求和適當(dāng)放縮計算即可.【詳解】（1）是“上凸數(shù)列”，理由如下：因?yàn)?，令，則．當(dāng)時，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是“上凸數(shù)列”．（2）（ⅰ）證明：因?yàn)槭恰吧贤箶?shù)列”，由題意可得對任意，，所以，所以．（ⅱ）解：令，由（1）可得當(dāng)時，是“上凸數(shù)列”，由題意可知，當(dāng)時，．因?yàn)椋矗?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以．綜上所述，的最小值為．6．（2024·江西南昌·一模）對于各項均不為零的數(shù)列，我們定義：數(shù)列為數(shù)列的“比分?jǐn)?shù)列”.已知數(shù)列滿足，且的“比分?jǐn)?shù)列”與的“2-比分?jǐn)?shù)列”是同一個數(shù)列.(1)若是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和；(2)若是公差為2的等差數(shù)列，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用已知求出通項公式，再求前項和即可.（2）利用累乘法求通項公式即可.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)椋沂枪葹?的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以?shù)列首項為1，公比為4的等比數(shù)列，所以；（2）因?yàn)椋沂枪顬?的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?7．（2024·黑龍江·二模）如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)不是“型數(shù)列”，理由見解析；(2)【分析】（1）計算得出數(shù)列前兩項驗(yàn)證即可得出結(jié)論，并證明即可；（2）利用為“型數(shù)列”和是等比數(shù)列，且不是“型數(shù)列”可求得的公比為，即可求出數(shù)列的通項公式為.【詳解】（1）易知當(dāng)時，可得，即；而當(dāng)時，，可得；此時，不滿足“型數(shù)列”定義，猜想：數(shù)列不是“型數(shù)列”，證明如下：由可得，當(dāng)時，，兩式相減可得，可得，此時從第二項起，每一項與它前一項的比為，因此不是“型數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，易知，又因?yàn)閿?shù)列不是“型數(shù)列”，可得可得，即得；又?jǐn)?shù)列為“型數(shù)列”，可得；易知“型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當(dāng)趨近于正無窮大時，趨近于，即可得；綜上可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列；即可得，可得；所以數(shù)列的通項公式為.8．（2015高二·全國·競賽）設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③.設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.(1)請寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前之和；(3)若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和.【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3(2)50(3)【分析】（1）由數(shù)列的新定義直接寫出即可；（2）由數(shù)列的新定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求出即可；（3）先由求出，再由數(shù)列新定義求出，再分為奇數(shù)和偶數(shù)時分別求出.【詳解】（1）數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算對）（2）由，得∴當(dāng)時，

【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案見解析【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計算結(jié)合對稱數(shù)列的定義即可求解；（2）由該特殊對稱數(shù)列的定義結(jié)合等邊數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，數(shù)列為2，5，8，11，8，5，2．（2）若依次是該數(shù)列中連續(xù)的項，且是對稱數(shù)列，則至少有項，從而所有項數(shù)不超過的“對稱數(shù)列”有：，，，，共有4個這樣的數(shù)列（2個項的，2個項的）；當(dāng)時，求數(shù)列的前項，則.10．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個以組為單位的序列稱為的一個分群數(shù)列，稱為這個分群數(shù)列的原數(shù)列．如，，…，是的一個分群數(shù)列，其中第k個括號稱為第k群．已知的通項公式為．(1)若的一個分群數(shù)列中每個群都含有3項；該分群數(shù)列第k群的中間一項為，求數(shù)列的通項公式；(2)若的一個分群數(shù)列滿足第k