2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題08利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題08利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1三、專項訓(xùn)練 3一、必備秘籍1、函數(shù)極值的第二判定定理：若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（1）若則在點處取極大值；（2）若則在點處取極小值2、二次求導(dǎo)使用背景（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負；（2）對函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或3、解題步驟：設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.二、典型題型1．（23-24高二下·福建廈門·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在的單調(diào)區(qū)間：(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．3．（2024·北京石景山·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)當(dāng)時，求證：．4．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對定義域內(nèi)任意的實數(shù)，恒有，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）5．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)求證：對任意的，總有恒成立；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3)當(dāng)時，求證：函數(shù)在區(qū)間上存在極值.三、專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)；5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：在定義域內(nèi)恒成立．6．（23-24高二下·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)．(1)若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：．7．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．8．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，，，求的取值范圍；(2)證明：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．專題08利用二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1三、專項訓(xùn)練 8一、必備秘籍1、函數(shù)極值的第二判定定理：若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（1）若則在點處取極大值；（2）若則在點處取極小值2、二次求導(dǎo)使用背景（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負；（2）對函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或3、解題步驟：設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.二、典型題型1．（23-24高二下·福建廈門·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在的單調(diào)區(qū)間：(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題知對于任意的恒成立，進而分和兩種情況討論即可得解.【詳解】（1）因為，則，且，則，當(dāng)，即，；當(dāng)，即，；所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）因為對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當(dāng)時，則，可知；當(dāng)時，，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立可知在上單調(diào)遞減，則，可得.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.2．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；（2）設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出最小值大于0，可得證.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以．則曲線在點處的切線斜率為．又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即得，．（2）設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又因為，所以，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．又當(dāng)時，，綜上在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即，所以，當(dāng)時，．3．（2024·北京石景山·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)當(dāng)時，求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論和兩種情況求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；（3）首先根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.【詳解】（1），，，所以曲線在點處的切線方程為；（2），當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時，，得，在區(qū)間小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，，，顯然，所以函數(shù)的最大值為，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為；（3）當(dāng)時，，即證明不等式，設(shè)，，，設(shè)，，，所以在單調(diào)遞增，并且，，所以函數(shù)在上存在唯一零點，使，即，則在區(qū)間，，單調(diào)遞減，在區(qū)間，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.4．（2024·浙江麗水·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對定義域內(nèi)任意的實數(shù)，恒有，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可得解；（2）依題意可得在上恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到且，利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，即可求出的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時定義域為，且，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）函數(shù)定義域為，依題意在上恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以使得，即，所以，則當(dāng)時，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，所以，令，則且，所以為增函數(shù)，由，所以，又與均為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，所以實數(shù)的取值范圍為.5．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)求證：對任意的，總有恒成立；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3)當(dāng)時，求證：函數(shù)在區(qū)間上存在極值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）依題意可得對任意的恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得證；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論得到在上的單調(diào)性，再結(jié)合所給區(qū)間，分3種情況討論函數(shù)的最小值；（3）利用導(dǎo)數(shù)說明導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，以及隱零點的思想證明即可.【詳解】（1）依題意對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，即對任意的恒成立；（2）因為，則，①當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時；②當(dāng)則時，時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，所以當(dāng)時在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，則；綜上可得.（3）因為，，則，令，則，因為，所以恒成立，所以即在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，所以，所以使得，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即函數(shù)在區(qū)間上存在極值.三、專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出，再利用直線的點斜式方程，即可求出結(jié)果；（2）令，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的取值范圍，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以，又，由直線的點斜式可得，化簡可得，所以切線方程為.（2）因為函數(shù)，令，可得，設(shè)，則，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極大值，即最大值，，且時，，時，，圖象如圖所示，所以當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)無交點；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點；當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點；綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)令，求在處的切線的方程，并證明的圖象在直線的上方．【答案】(1)增區(qū)間是和的減區(qū)間是(2)，證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號可得其單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可求得切線的方程，構(gòu)造函數(shù)，求出其最值可證明恒成立即可得出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為，則當(dāng)或時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；所以的增區(qū)間是和的減區(qū)間是．（2）由（1）知，則，又，，所以在處的切線方程為.令，則令可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)趨近于時，趨近于，又；故當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；因此當(dāng)時，取得最小值，即恒成立，所以恒成立，所以的圖象在直線的上方．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的最小值為，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可對進行分類討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負求解，（2）將原不等式進行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，從而可構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進行求解.【詳解】（1）由題知的定義域為，．①當(dāng)時，，則，故單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，，且，即．令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以．由題可得在上恒成立．令，則，令，則，可得在上單調(diào)遞減，又，故存在，使得，即，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．易知，由于，故，因此，故，即的取值范圍為．4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】【分析】分離參數(shù)，分兩種情況分析，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解.【詳解】由，得，其中.①當(dāng)時，不等式為，顯然成立，符合題意．②當(dāng)時，得.記，則，令，則，令，則，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，.由得恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．因此，.綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：在定義域內(nèi)恒成立．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點存在性定理先判定時符合題意，再適當(dāng)放縮即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題知，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，設(shè)，則．令，則對任意恒成立，在上單調(diào)遞減，又，，使得，即，則．當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，，即．又，，當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立．6．（23-24高二下·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)．(1)若為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設(shè)，，，其中，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使，即，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時