2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問題 2題型二：證明唯一零點(diǎn)問題 4題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問題1．（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，．(1)求的值;(2)求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．5．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）給定函數(shù).(1)求的極值;(2)討論解的個(gè)數(shù).題型二：證明唯一零點(diǎn)問題1．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．2．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).3．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn).4．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知函數(shù).(1)時(shí)，證明：時(shí)，；(2)討論的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．3．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)?shù)膱D象與軸相切時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)判斷函數(shù)能否有3個(gè)零點(diǎn)？若能，試求出的取值范圍；若不能，請說明理由.5．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，求參數(shù)的取值范圍.7．（23-24高二下·浙江·期中）設(shè)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)若的最小值為0，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：方程在上有解.9．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值．(1)確定的值并求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程至多有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問題 2題型二：證明唯一零點(diǎn)問題 7題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 11三、專項(xiàng)訓(xùn)練 18一、必備秘籍1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問題1．（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．【分析】（1）結(jié)合已知不等式構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可證明；（2）對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理對的范圍進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】（1）證明，令，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增，從而在上，，所以在上單調(diào)遞增，因此在上，，即；（2），，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，，而，，在上無零點(diǎn)，在,上有唯一零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，．(1)求的值;(2)求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）求導(dǎo)，利用可解；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由則又，所以即；（2）由（1）可知設(shè)則，則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，又，，所以在上無零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；從而在上有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理有關(guān)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的主要手段有：（1）分段處理：結(jié)合三角函數(shù)的有界性與各不同區(qū)間的值域分段判斷導(dǎo)函數(shù)符號；（2）高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：討論端點(diǎn)（特殊點(diǎn)）與單調(diào)性的關(guān)系，注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性是關(guān)鍵；（3）關(guān)注三角函數(shù)的有界性與常用不等式放縮．3．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）含參數(shù)的單調(diào)性討論問題，先求導(dǎo)，再分和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來求原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）零點(diǎn)問題即方程根個(gè)數(shù)問題，首先討論特殊情況即當(dāng)時(shí)根的情況；再討論當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分、、時(shí)討論的單調(diào)性和極值情況，然后函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的情況即可得到結(jié)果.【詳解】（1），分當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）令，當(dāng)時(shí)，方程不成立，0不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)沒有交點(diǎn)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).4．（23-24高二下·山東淄博·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，試判斷函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)無交點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）求導(dǎo)可得，分類討論當(dāng)、時(shí)函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)性即可求解；（2）由得，令，利用二次導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，即可下結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當(dāng)時(shí)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），則，令，即，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無實(shí)根，所以函數(shù)與的圖象無交點(diǎn).5．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）給定函數(shù).(1)求的極值;(2)討論解的個(gè)數(shù).【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)答案見解析【分析】（1）對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而求得極值；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性與極值討論函數(shù)的圖像與水平線的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）∵∴，令得，令得，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得極小值為，無極大值.（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取得極小值為，從而得知，當(dāng)時(shí)，圖象恒在軸下方，且當(dāng)時(shí)，，即以軸為漸近線，∴當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解；當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩根.綜上，當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)為0.題型二：證明唯一零點(diǎn)問題1．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析；(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。┯桑?）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，因?yàn)?，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（?。┯桑?）可知．（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒有零點(diǎn)，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．2．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分和討論的單調(diào)性，并保證在內(nèi)有唯一零點(diǎn)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)確定在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，令，則在上，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，且連續(xù)不間斷，所以，解得，由零點(diǎn)存在定理，此時(shí)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以在?nèi)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，且連續(xù)不間斷，所以由零點(diǎn)存在定理，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即在內(nèi)有唯一零點(diǎn).3．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知，函數(shù)，.證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn).【答案】證明見解析【分析】先求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理來證明即可.【詳解】證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，時(shí)，，，，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的定義域?yàn)?，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，令（表示中最大的數(shù)），，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn).4．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．【答案】(1)1(2)證明見詳解【分析】（1）易判斷單調(diào)遞增，令，即可得，令即可求；（2）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)遞增，即可得證.【詳解】（1）由易判斷在單調(diào)遞增，且，，所以可令，得，所以，由題意，即，所以；（2），則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，結(jié)合（1）可得存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題（1）的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出；（2）的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性.題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知函數(shù).(1)時(shí)，證明：時(shí)，；(2)討論的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）直接由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（2）先求導(dǎo)函數(shù)，分類討論求單調(diào)性即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論先得，再利用其最小值小于零結(jié)合的單調(diào)性計(jì)算得，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理驗(yàn)證即可.【詳解】（1）由知，易知其R上單調(diào)遞減，所以時(shí)，有，得證；（2）易知，顯然時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞減；若，則時(shí)，，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：時(shí)，在R上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）由上可知時(shí)，在R上單調(diào)遞減，不存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即，令要滿足題意需，易知在上單調(diào)遞增，且所以，取，則，取，則，令，則時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，即，則在及上分別有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然符合題意，故.2．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先求解所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值；(2)結(jié)合（1）可知，只需求解計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）,當(dāng)時(shí)，即，則，當(dāng)時(shí)，即，則，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，為增，在處取最小值，∴.（2）由（1）可知，，由有兩個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，時(shí)，，所以，，即，解得：.∴的取值范圍為.3．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)?shù)膱D象與軸相切時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意設(shè)切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，即可得解；（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間及極值，作出大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）由題意設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，所以；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，所以.4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)判斷函數(shù)能否有3個(gè)零點(diǎn)？若能，試求出的取值范圍；若不能，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)不能有3個(gè)零點(diǎn)，利用見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，即可根據(jù)的分類，確定的正負(fù)，即可求解單調(diào)性，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得必有或，結(jié)合函數(shù)的極值，即可求解.【詳解】（1）由，所以，當(dāng)時(shí)，，令，則，此時(shí)單調(diào)遞增，令，則，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則或，此時(shí)單調(diào)遞增，令，則，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則或，此時(shí)單調(diào)遞增，令，則，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令恒成立，此時(shí)在單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（2）若有3個(gè)零點(diǎn)，則由（1）知必有或，若，則在處取極大值，在處取極小值，，令，則，令則，故在單調(diào)遞增，，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，因此在上恒成立，故不可能有3個(gè)零點(diǎn)，若，則在處取極小值，在處取極大值，且，故不可能有3個(gè)零點(diǎn)，綜上可得不可能有3個(gè)零點(diǎn)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．5．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對求導(dǎo)后，由已知列方程組，求出，再由導(dǎo)數(shù)的意義得到切線的斜率和點(diǎn)代入曲線方程，得到，最后由點(diǎn)斜式得到直線方程；（2）先求出的單調(diào)區(qū)間和極值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），由題意得，解得，所以，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由（1）得，令，解得或，所以00遞增遞減遞增所以，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值，所以得圖像大致如下：若有3個(gè)不同的根，則直線與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，所以.6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）由，可得為的一個(gè)根，所以有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當(dāng)時(shí)且，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，令得或當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），所以為的一個(gè)根，故有兩個(gè)不同于的實(shí)根，令，則，①當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以若要滿足題意，只需且，因?yàn)椋?，又，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，，令，則，解得，令，則，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則.令，其中，則.令，解得，令，解得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.又，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解；（2）利用轉(zhuǎn)化的思想將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可證明.【詳解】（1）由題意可得，由切線方程可知其斜率為，所以，解得；（2）由可得，所以．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，，0，所以，．由零點(diǎn)存在定理可得使得，使得，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．3．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線在軸上的截距為．(1)求的值；(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助函數(shù)與方程的關(guān)系，可將有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根，構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及值域即可得.【詳解】（1），，，則函數(shù)在處的切線為：，即，令，則有，即；（2）由，即，若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根，令，則，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，即有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).4．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線斜率為(1)求的值；(2)求證：有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(3)求證：方程無解．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值.（2）由（1）的結(jié)論，探討導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推理即得.（3）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，再分析判斷函數(shù)值情況得證.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由曲線在點(diǎn)處切線斜率為，得，解得，所以.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，而，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（3）令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，且，由（2）可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，從而時(shí)，恒成立，所以函數(shù)無零點(diǎn)，即方程無解．5．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線的平行于x軸的切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)；(2)證明曲線與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)．【答案】(1)，(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令，求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，依題意若曲線的切線平行于x軸，則切線的斜率為，令，即，解得或，又，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）由（1）可知時(shí)或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又有，，而對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，所以只存在，使得；存在，使得，即曲線與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，求參數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)