2024-2025學(xué)年遼寧省大連市名校聯(lián)盟九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省大連市名校聯(lián)盟九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個標(biāo)志，其中為中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+8x+7=0，則配方正確的是(

)A.(x+4)2=9 B.(x?4)2=93.若關(guān)于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠04.拋物線y=?(x+2)2?3的頂點坐標(biāo)是(

)A.(?2,?3) B.(2,?3) C.(2,3) D.(?2,3)5.關(guān)于函數(shù)y=?3(x+1)2?2，下列描述錯誤的是A.開口向下 B.對稱軸是直線x=?1

C.函數(shù)最大值是?2 D.當(dāng)x>?1時，y隨x的增大而增大6.反比例函數(shù)y=?1x的圖象位于(

)A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限7.如圖，點P是反比例函數(shù)y=kx(k≠0,x<0)圖象上一點，過點P作PA⊥y軸于點A點B是點A關(guān)于x軸的對稱點，連接PB，若△PAB的面積為18，則k的值為(

)A.18B.36

C.?18D.?368.如圖，將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若OA=2.將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為(

)A.(3,?1)B.(1,?3)9.如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是(

)A.∠ACD=∠B

B.∠ADC=∠ACB

C.ADAC=CD10.如圖，正方形ABCD，點F在邊AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足為M，且交AD于點E，AC與DF交于點N，延長CB至G，使BG=12BC，連接GM，有如下結(jié)論：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANFA.1個

B.2個

C.3個

D.4個二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.已知函數(shù)y=(m?2)x|m|?3是反比例函數(shù)，則m=______．12.已知點P(a+1,?a2+1)關(guān)于原點的對稱點在第四象限，則a13.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長與闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長與寬各多少步？若設(shè)長為x步，則可列方程是______(方程化為一般形式)．14.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x…?10123…y…105212…則當(dāng)y<5時，x的取值范圍是

．15.如圖，拋物線y=?13x2+13x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，點N在y軸負半軸上，點A繞點N順時針旋轉(zhuǎn)，恰好落在第四象限的拋物線上點M

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．

(1)求證：△ADF∽△DEC；

(2)若AB=8，AD=62，AF=42，求17.(本小題10分)

解方程：

(1)x2?4x?2=0；

(2)218.(本小題8分)

我國快遞行業(yè)迅速發(fā)展，經(jīng)調(diào)查，某快遞公司今年2月份投遞快遞總件數(shù)為20萬件，4月份投遞快遞總件數(shù)33.8萬件，假設(shè)該公司每月投遞快遞總件數(shù)的增長率相同．

(1)求該公司投遞快遞總件數(shù)的月增長率；

(2)若該公司每月投遞快遞總件數(shù)的增長率保持不變，那么5月份投遞快遞總件數(shù)是否達到45萬件？19.(本小題8分)

小明要把一篇文章錄入電腦，完成錄入的時間y(分)與錄入文字的速度x(字/分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)小明在19：20開始錄入，要求完成錄入時不超過19：35，小明每分鐘至少應(yīng)錄入多少個字？20.(本小題8分)

如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y2=mx(m>0)的圖象交于點C(1,2)，D(2,n)．

(1)分別求出兩個函數(shù)的解析式；

21.(本小題8分)

如圖①，橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．

(1)按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；

(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由(假設(shè)船底與水面齊平)．

22.(本小題12分)

綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，老師發(fā)給每位同學(xué)一個直角三角形紙片ABC，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．

問題發(fā)現(xiàn)

奮進小組將三角形紙片ABC進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折痕DE；第二步：然后將△DEC繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG.點E，C的對應(yīng)點分別是點F，G，直線GF與邊AC交于點M(點M不與點A重合)，與邊AB交于點N．

如圖1小明發(fā)現(xiàn)，折痕DE的長很容易求出，并且MF和ME的數(shù)量關(guān)系也能證明．

如圖2小紅發(fā)現(xiàn)，在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GF經(jīng)過點B時或直線GF/?/BC時，AM的長都可求……．

問題提出與解決

奮進小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問題1和問題2，請你解答．

問題1：如圖1，按照如上操作

(1)折痕DE的長為______；

(2)在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系；并證明你的結(jié)論；

問題2：在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，探究下列問題：

①如圖2，當(dāng)直線GF經(jīng)過點B時，AM的長為______；

②如圖3，當(dāng)直線GF/?/BC時，求AM的長；

拓展延伸：

小剛受到探究過程的啟發(fā)，在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，嘗試畫圖，并提出問題3，請你解答．

問題3：在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，連接AF，當(dāng)AF取最小值時，請直接寫出△AMD的面積．23.(本小題13分)

【定義】若連接拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點形成線段，若其中一段線段與坐標(biāo)軸夾角為45度，則圖象稱為美感拋物線.如圖，拋物線y=12x2+x?4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．

(1)請判斷拋物線是否為美感拋物線；

(2)如圖，拋物線上存在一動點D橫坐標(biāo)是m(?4<m<2)，過點D作直線DE⊥x軸于點E，與直線AC交于點F.當(dāng)D，E，F(xiàn)形成的線段中，某兩段線段長度相等時，求線段DF的長；

(3)若點N、點M、點P分別為在坐標(biāo)平面內(nèi)、在拋物線對稱軸上、在拋物線上(不與頂點重合)的動點，是否可以形成鄰邊之比為1：2的矩形CMPN，請直接寫出點P參考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.C

9.C

10.C

11.?2

12.a<?1

13.x214.0<x<4

15.(5,?816.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AB//CD，

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC=AB=8．

∵△ADF∽△DEC，

∴ADDE=AFDC，

即62DE=428，

∴DE=12．

∵AD/?/BC，AE⊥BC，

∴AE⊥AD．

在Rt△ADE中，∠EAD=90°，DE=12，AD=617.解：(1)x2?4x=2，

∴x2?4x+(?42)2=2+(?42)2，即x2?4x+4=6，

∴(x?2)2=6，

∴x?2=±6，18.解：(1)設(shè)該公司投遞快遞總件數(shù)的月增長率為x，

依題意得：20(1+x)2=33.8，

解得：x1=0.3=30%，x2=?2.3(不符合題意，舍去)．

答：該公司投遞快遞總件數(shù)的月增長率為30%．

(2)33.8×(1+30%)=43.94(萬件)，

∵43.94<45，

19.解：(1)設(shè)y=kx，

把(150,10)代入y=kx得，10=k150，

∴k=1500，

∴y與x的函數(shù)表達式為y=1500x；

(2)∵當(dāng)y=35?20=15時，x=100，

∵k>0，

在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

∴小明錄入文字的速度至少為10020.解：(1)由y2=mx過點C(1,2)和D(2,n)可得：

2=m1n=m2，

解得：m=2n=1，

故y2=2x，D(2,1)

又由y1=kx+b過點C(1,2)和D(2,1)可得：

k+b=22k+b=1，

解得k=?1b=3，

故y1=?x+3．

(2)由21.解：(1)如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m，

結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點B

(4,4)，點O

(0,0)，

設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a(x?4)2+4，

將點O

(0,0)代入函數(shù)表達式，

解得：a=?14，

∴二次函數(shù)的表達式為y=?14(x?4)2+4，

即y=?14x2+2x

(0≤x≤8)；

(2)工人不會碰到頭，理由如下：

∵小船距O點0.4m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，

由題意得：工人距O點距離為0.4+12×1.2=122.23.解：(1)拋物線y=12x2+x?4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．

∴令y=0，則0=12x2+x?4，

解得x1=?4，x2=2，

∴A(?4,0)，B(2,0)，

令x=0，則y=?4；

∴點C(0,?4)，

∴AO=OC=4，

∵∠AOC=90°，

∴∠CAO=12×(180°?90°)=45°，

∴拋物線是美感拋物線；

(2)設(shè)直線AC的表達式為y=kx+m(k≠0)，把點A(?4,0)、C(0,?4)的坐標(biāo)代入得：

0=?4k+m?4=m，

解得k=?1m=?4，

∴直線AC的表達式為y=?x?4，

拋物線上存在一動點D橫坐標(biāo)是m(?4<m<2)，直線DE⊥x軸于點E，與直線AC交于點F，

∴點E(m,0)，點F(m,?m?4)，

∴點D(m,12m2+m?4)，

∴DF=|?m?4?12m2?m+4|=|12m2+2m|，

當(dāng)點E在OA之間時，存在點F是DE的中點，

則?m?4=12(0+12m2+m?4)，

解得：m=?4(舍去)或?2，

則DF=|12m2+2m|=2；

當(dāng)點E在OB之間時，

同理可得：12m2+m?4=12(0?m?4)，

解得：m=?4(舍去)或1，

則DF=|12m2+2m|=52，

綜上，DF=2.5或2；

(3)可以形成鄰邊之比為1：2的矩形CMPN；理由如下：

若點N、點M、點P分別為在坐標(biāo)平面內(nèi)、在拋物線對稱軸上、在