2.1復變函數(shù)的概念、極限和連續(xù)

第二章解析函數(shù)§2.3函數(shù)可導與解析的充要條件§2.2解析函數(shù)的概念§2.1復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性§2.4初等函數(shù)第二章解析函數(shù)復變函數(shù)是自變量與因變量都取復數(shù)值的函數(shù),而解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有特殊性質的可導函數(shù),它在理論研究和實際問題中有著廣泛的應用.本章首先介紹復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性,然后討論函數(shù)解析的概念和判別方法,最后把我們所熟知的初等函數(shù)推廣到復數(shù)域上來,并說明它們的解析性.§2.1復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性1.復變函數(shù)的概念定義2.1

設E為一復數(shù)集.若對E中的每一個復數(shù),按照某種法則f有確定的一個或幾個復數(shù)與之對應,那么稱f是復變數(shù)z的函數(shù)（簡稱復變函數(shù)）,記作

.

若z的一個值對應著w的一個值,則稱復變函數(shù)f(z)是單值的,若z的一個值對應著w的兩個或兩個以上的值,則稱復變函數(shù)f(z)是多值的.通常也稱w=f(z)為定義在E上的復變函數(shù),其中E稱為定義域,E中所有的z對應的一切w值構成的集合稱為f(z)的值域,記作f(E)或G.

復數(shù)z=x+iy與w=u+iv分別對應實數(shù)對(x,y)和(u,v),對于函數(shù)w=f(z),u,v為x,y

的二元實函數(shù)u(x,y)和v(x,y),所以w=f(z)又常寫成w=u(x,y)+iv(x,y),從而對復變函數(shù)f(z)的討論可相應地轉化為對兩個實函數(shù)u(x,y)和v(x,y)的討論.

考察函數(shù)w=z2+1.令z=x+iy,w=u+iv,那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,從而w=z2+1對應于兩個實函數(shù)u=x2-y2+1和v=2xy.

對于復變函數(shù)w=f(z)即(u+iv=f(x+iy)),可以理解為兩個復平面上的點集之間的映射.具體地說,復變函數(shù)w=f(z)給出了z平面上的點集E到w平面上的點集f(E)(或G)之間的一個對應關系：其中w稱為z的像,z稱為w的原像,如圖2.1所示.圖2.12.解仍是線段.練習：習題2P38：22.解仍是扇形域.練習：習題2P38：2解:①

當x2-y2=k時,u=k,所以將雙曲線映成直線.②

當2xy

=k時,v=k,所以將雙曲線映成直線.解z平面上的直線x=1對應于w平面上的曲線：設則又例2.1

函數(shù)將z平面上的直線x=1映射成w

平面上的何種曲線？即所以將z平面上的直線x=1映射成了w

平面上的一個以為中心、為半徑的圓周（見圖2.2）.圖2.22.復變函數(shù)的極限

定義2.2

設函數(shù)w=f(z)定義在點z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內,若存在常數(shù)A,對于任意給定的

＞0,都存在一正數(shù)

(0<

r),使得當0<|z-z0|<r時,有

或.則稱函數(shù)f(z)當z

z0時的極限存在,常數(shù)A為其極限值,記作圖2.3若極限存在則必唯一.

定義中z

z0的方式是任意的定理2.2

(極限運算法則)若

若兩個函數(shù)f(z)和g(z)在點z0處有極限,則其和、差、積、商(要求分母不為零)在點z0處的極限仍存在,并且極限值等于f(z)、g(z)在點z0處的極限值的和、差、積、商.

則練習：習題2P38：3練習：習題2P38：33.求下列極限.定理2.1

設f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib,則(1)設z=x+iy,則根據定理2.1,有可得又解例2.2

判斷下列函數(shù)在原點處的極限是否存在,若存在,試求出極限值：(2)方法一設z=x+iy,則讓z沿直線y=kx趨向于0,有顯然它隨k值的不同而不同,所以不存在,

從而于是可得雖然,根據定理2.1,不存在.例如當時,

;當時,所以不存在.方法二

則設讓z沿不同射線趨向于0時,f(z)趨向于不同的值.3.復變函數(shù)的連續(xù)性定義2.3

若,則稱函數(shù)f(z)在點z0

處連續(xù).定理2.3

若f(z),g(z)在點z0處連續(xù),則其和、差、積、商（要求分母不為零）在點z0處連續(xù).(1)多項式在整個復平面上連續(xù);如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D

內每一點都連續(xù),那么稱函數(shù)f(z)在區(qū)域D內連續(xù).(2)任何一個有理分式函數(shù)在復平面上除去使分母為零的點外處處連續(xù).定理2.4

若函數(shù)h=g(z)在點z0處連續(xù),函數(shù)

=f(h)在點h0=g(z0)處連續(xù),則復合函數(shù)

=f(g(z))在點z0處連續(xù).定理2.5

設函數(shù),則f(z)在點z0處連續(xù)的充分必要條件是u(x,y),

v(x,y)均在點(x0,y0)處連續(xù).

例2.3

討論函數(shù)argz的連續(xù)性.解當z=0時,argz無定義,因而不連續(xù).當z0為負實軸上的點時,即z0=x0<0,則所以argz在負實軸上不連續(xù).若z0=x0+iy0不是原點也不是負實軸及虛軸上的點時,這時有

因為,所以故argz在除去原點和負實軸及虛軸的復平面上連續(xù).當z0為正、負虛軸上的點z0=iy0(y0≠0)時,有

即argz在虛軸上也連續(xù).因此argz在復平面上除了原點和負實軸外連續(xù).即證明--不要求例2.3

討論函數(shù)argz的連續(xù)性.答案：argz在復平面上除了原點和負實軸外連續(xù).