2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪教師用書第4章第2節(jié)　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示[考綱](教師用書獨(dú)具)1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．(對應(yīng)學(xué)生用書第71頁)[基礎(chǔ)知識填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.[知識拓展]1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．()(2)在△ABC中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC．()(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示．()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(6)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于()A．5 B．eq\r(13)C．eq\r(17) D．13B[因?yàn)閍＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).]3．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________.0[假設(shè)λ1≠0，由λ1e1＋λ2e2＝0，得e1＝－eq\f(λ2,λ1)e2，∴e1與e2共線，這與e1，e2是平面內(nèi)一組基底矛盾，故λ1＝0，同理，λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0.]4．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.－6[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]5．(教材改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．(1,5)[設(shè)D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))](對應(yīng)學(xué)生用書第72頁)平面向量基本定理及其應(yīng)用(1)如圖4-2-1，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝()圖4-2-1A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b(2)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.(1)D(2)eq\f(4,3)[(1)∵在三角形ABC中，BE是AC邊上的中線，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵O是BE邊的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.(2)選擇eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作為平面向量的一組基底，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))∴λ＋μ＝eq\f(4,3).][規(guī)律方法]平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路1應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.2用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.[跟蹤訓(xùn)練]如圖4-2-2，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).圖4-2-2[解]∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號：97190151】[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．[規(guī)律方法]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧1利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).2解題過程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程組進(jìn)行求解.[跟蹤訓(xùn)練](1)已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)(2)在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)(1)A(2)B[(1)設(shè)D(x，y)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))故選A．(2)∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．∵Q是AC的中點(diǎn)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))，又eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3[eq\o(PA,\s\up6(→))＋2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→)))]＝(－6,21)．]平面向量共線的坐標(biāo)表示已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．[解](1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝eq\