154三角形全等的判定AAS（原卷版）

1.5.4三角形全等的判定AAS知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究用AAS判定三角形全等概念兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）【注】：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.題型一：通過(guò)添加條件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2020·江蘇鹽城·八年級(jí)期中）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝DO，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件,能直接利用AAS證全等，使得△AOB≌△DOC．你補(bǔ)充的條件是_____________________________．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法AAS.根據(jù)已知結(jié)合圖形，找到已經(jīng)有的條件，然后結(jié)合判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．特別注意題目要求利用AAS判定全等,需要的是兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.變式訓(xùn)練【變式11】（2020·江蘇蘇州市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠CAB=∠DAB，要利用AAS使，可補(bǔ)充的一個(gè)條件是：______．【變式12】（2019·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級(jí)月考）如圖，∠BAC=∠DAC，若要以AAS證明△ABC≌△ADC，要補(bǔ)充的一個(gè)條件是_________【變式13】（2019·江蘇南京市·八年級(jí)期中）如圖，已知AB＝DC，∠A＝∠D，則補(bǔ)充條件_____可使△ACE≌△DBF（填寫你認(rèn)為合理的一個(gè)條件）．題型二：直接利用AAS證明三角形全等【例題2】（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，交于點(diǎn)E．求證：．【點(diǎn)睛】AAS證明全等需要三個(gè)條件，在此類簡(jiǎn)單的證明題中往往題目中給出兩個(gè)明顯的條件，第三個(gè)條件可能隱藏在公共邊、公共角、對(duì)頂角等；也可能第三個(gè)需要通過(guò)角度的和差或者線段的和差得到；此外還可能需要尋找題目中已知條件或者圖形中隱含條件通過(guò)等量代換達(dá)到證明全等的目的.變式訓(xùn)練【變式21】（2021·重慶彭水·八年級(jí)期末）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，且，于，；求證：≌．【變式22】（2021·廣東大埔·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．求證：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD．

【變式23】（2021·遼寧興城·八年級(jí)期末）如圖，，且，，是上兩點(diǎn)，，．求證：．AAS證明全等的應(yīng)用題型三：全等三角形性質(zhì)與AAS判定的綜合運(yùn)用【例題3】（2020·廣州市協(xié)和中學(xué)）已知，如圖：、、、在一條直線上，，，，求證：．變式訓(xùn)練【變式31】（2020·廣州市育才中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，中，，，是過(guò)點(diǎn)的直線，于，于，，，求的長(zhǎng)．【變式32】（2021·陜西碑林·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）如圖，點(diǎn)A，E，B，D在同一條直線上，已知∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF，AE＝DB，試判斷AC與DF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【變式33】（2021·陜西師大附中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．題型四：AAS的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2020·駐馬店市第一高級(jí)中學(xué)分校七年級(jí)期中）如圖，小明和小華兩家位于A，B兩處，隔河相望．要測(cè)得兩家之間的距離，小明設(shè)計(jì)如下方案：從點(diǎn)B出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取，過(guò)點(diǎn)D作，取點(diǎn)E使E，C，A在同一條直線上，則DE的長(zhǎng)就是A，B之間的距離，說(shuō)明他設(shè)計(jì)的道理．變式訓(xùn)練【變式41】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年級(jí)期末）如圖，小強(qiáng)學(xué)習(xí)全等三角形后，用10塊高度都是5cm的相同長(zhǎng)方體積木，搭了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．題型五：三垂直模型與AAS的綜合運(yùn)用【例題5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．變式訓(xùn)練【變式51】（2019·福建期中）如圖1，將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C置于直線l上，圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．（1）△ACD與△CBE全等嗎？說(shuō)明你的理由．（2）猜想線段AD、BE、DE之間的關(guān)系．（直接寫出答案）【變式52】（2019·河南月考）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E．求證：△AEC≌△CDB．（2）如圖2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S＝．鏈接中考鏈接中考【真題1】（2021·廣西百色·）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【真題2】（2019·湖南益陽(yáng)市·中考真題）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求證：△ABC≌△EAD．【真題3】（2011·江蘇連云港·中考真題）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？【真題4】（2017·江蘇常州·中考真題）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2020·黑龍江齊齊哈爾市·八年級(jí)期中）探究：（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝28°，則∠ACD的度數(shù)是．拓展：（2）如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別存CM、CN上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于點(diǎn)D、E，若AC＝CB，則AD、DE、BE三者間的數(shù)量關(guān)系為．應(yīng)用：（3）如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連結(jié)AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．當(dāng)AC＝BC時(shí)，△≌△；此時(shí)如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，則△ACE的面積是．【答案】（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由見(jiàn)解析（3）ACD；C