13核心考點突破訓(xùn)練二次根式的應(yīng)用（原卷版）

1.3突破訓(xùn)練：二次根式應(yīng)用類型體系類型1：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)八年級期中）若直角三角形的邊長分別是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．鞏固練習(xí)1．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）．A． B． C． D．無法確定2．（2022·上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)八年級期中）已知，則二次根式化簡后的結(jié)果為（

）．A． B． C． D．3．（2022·上海市淞誼中學(xué)八年級期中）當(dāng)時，化簡__________．4．（2022·北京市順義區(qū)第五中學(xué)八年級期中）化簡：______，______．5．（2022·山東棗莊·八年級期中）當(dāng)時，化簡的結(jié)果是______．6．（2022·山東棗莊·八年級期中）如果，則________．7．（2022·四川省蒲江縣蒲江中學(xué)八年級期中）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡_____．8．（2022·重慶市珊瑚初級中學(xué)校八年級期中）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式：的值為_____．9．（2022·河南·鄭州市第四十七初級中學(xué)八年級期中）當(dāng)時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；(3)當(dāng)時，求的值．10．（2022·福建漳州·九年級期中）求代數(shù)式，，如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是正確的；(2)化簡代數(shù)式，（其中）；(3)若，直接寫出的取值范圍．11．（2021·山東·德州市第五中學(xué)八年級期中）閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題化簡∶解∶隱含條件，解得：∴∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知a，b，c為ABC的三邊長．化簡：類型2：二次根式的規(guī)律探究問題典例：（2022·河南平頂山·八年級期中）觀察以下等式：觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式：用含的式子表示，并證明這個結(jié)論？鞏固練習(xí)1．（2022·安徽宿州·七年級期中）圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線段的長為___________

2．（2022·北京市育英中學(xué)八年級期中）小桃桃根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下為小桃桃的探究過程，請補充完整：具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：___________；（2）應(yīng)用運算規(guī)律化簡：___________．3．（2022·山西臨汾·九年級期中）閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：法國數(shù)學(xué)家愛德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗素數(shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問題．“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個數(shù)可以表示為，其中．（說明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）任務(wù)：(1)盧卡斯數(shù)列中的第1個數(shù)___________，第2個數(shù)___________；(2)盧卡斯數(shù)列有一個重要特征：當(dāng)時，滿足．請根據(jù)這一規(guī)律寫出盧卡斯數(shù)列中的第6個數(shù)．4．（2022·福建莆田·八年級期中）閱讀下列解題過程：；；；……解答下列各題：(1)______；(2)觀察上面的解題過程，請計算.(3)利用這一規(guī)律計算：.5．（2022·四川·射洪中學(xué)九年級期中）閱讀材料：像這種兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式運算時，利用有理化因式可以化去分母中的根號．解答下列問題：(1)的有理化因式是；(2)觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，請化簡：6．（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）觀察下列等式，解答后面的問題：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……(1)根據(jù)以上的規(guī)律，寫出第10個等式；(2)利用上面的規(guī)律比較大?。憨仼仯ㄌ睿尽ⅲ蓟颍剑?；(3)計算：++…+．7．（2022·廣東·肇慶市頌德學(xué)校八年級期中）先觀察下列等式，再回答下列問題：①；②；③．(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出一個用n（n為正整數(shù)）表示的等式；(3)請利用上述規(guī)律來計算（仿照上式寫出過程）．8．（2022·湖南永州·八年級期末）觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．9．（2022·北京通州·八年級期中）根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”的經(jīng)驗，通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．以下是探究過程，請補充完整．(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：__________．(3)證明你的猜想．10．（2022·福建省漳州第一中學(xué)八年級期中）觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：；，驗證：；，驗證：(1)仿照上述三個等式的變形，對下列式子進(jìn)行變形：____________，____________．(2)根據(jù)上述規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)且）表示的等式，并加以驗證．11．（2022·北京昌平·八年級期中）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫運算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運算規(guī)律：①化簡：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為____________．12．（2022·安徽宿州·八年級期中）小麗根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是小麗的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例：特例：特例：特例：______填寫一個符合上述運算特征的例子；(2)觀察、歸納，得出猜想.如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運算規(guī)律為：______；(3)證明你的猜想；(4)應(yīng)用運算規(guī)律化簡：______.類型3：應(yīng)用二次根式求面積典例：（2022·陜西·西安市五環(huán)中學(xué)八年級期末）如圖，在中，，，，垂足分別為點、．(1)求的度數(shù)．(2)若的面積為，，求的長．鞏固練習(xí)1．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個小正方形，則留下陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）如圖，在矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4，則圖中陰影部分的面積是______________．3．（2022·山西省運城市實驗中學(xué)九年級期中）如圖，將矩形紙片沿虛線折成3個矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬都等于，中間矩形的寬為4，將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，若底面三角形的面積為8，則圖中的值為__________．4．（2022·福建龍巖·九年級期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長為9的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為_______．5．（2022·上海寶山·八年級期中）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為，，時，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．6．（2022·山東淄博·八年級期末）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長分別為a，b，c，則其中三角形的面積．此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，如果設(shè)，那么其三角形的面積，這個公式便是海倫公式，也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，，則此三角形的面積為______．7．（2022·江西贛州·八年級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個面積分別為和的正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木料的邊長分別為________，________．(2)求剩余木料的面積．(3)如果木工想從剩余的木料中截出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，最多能截出________塊這樣的木條．8．（2022·陜西西安·八年級期中）如圖，在中，，，以為一條邊向三角形外部作正方形，已知正方形的面積是45，求的周長．9．（2022·湖南永州·八年級期末）閱讀：若等邊三角形的邊長為a，則此三角形的面積．(1)運用：現(xiàn)將邊長分別為，，，的等邊三角形的面積分別記作，，，，計算，；(2)推導(dǎo)：邊長為的等邊三角形的面積記作，邊長為的等邊三角形的面積記作，其中n是正整數(shù)，通過計算，可以得出：（用含n的代數(shù)式表示）；(3)拓展：在（2）的條件下，若，求n的值．10．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校八年級期中）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶約約曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為，，，記，那么三角形的面積在中，已知，，．(1)如圖，利用秦九韶公式求的面積；(2)如圖，的兩條角平分線，交于點，求點到邊的距離．11．（2022·福建寧德·八年級期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答下列問題：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；…(1)請你直接寫出______，______；(2)請用含有（為正整數(shù)）的式子填空：______，______；(3)在線段、、、…、中，長度為正整數(shù)的線段共有______條．(4)我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘以，分母就變成了4，請仿照這種方法求的值；類型4：二次根式的混合運算典例：（2022·安徽宿州·八年級期末）計算：(1)；(2)．鞏固練習(xí)1．（2022·廣東·陽江市實驗學(xué)校八年級期中）計算：2．（2022·四川瀘州·八年級期末）計算：．3．（2022·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）計算：．4．（2022·四川瀘州·八年級期末）計算：．5．（2022·廣東·東莞市中堂中學(xué)七年級期中）計算：．6．（2022·上海金山·八年級期末