第三章 勾股定理（4類壓軸題專練）

第三章勾股定理（壓軸題專練）一、利用勾股定理證明平方關(guān)系1．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上，連接．（1）求證：；（2）探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若，求兩個(gè)三角形重疊部分的面積．2．如圖1，在中，，，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．AIAI(1)填空：______°；(2)求的值；(3)①說法１：如圖2，在AB上截取，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②說法2：如圖2，若平分交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(4)說法3：若平分交于點(diǎn)E，探究三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．在中，，是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)求證：．4．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，垂足分別為，連接．

(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)試判斷線段之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．二、全等等腰勾股綜合5．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，，E為邊上一點(diǎn)（不與A，C重合），連接，作，垂足為F，交于點(diǎn)G，連接．分別記，，為，，．

(1)求的長．(2)當(dāng)時(shí)，求的周長．(3)當(dāng)時(shí)，求的長．6．如圖，在四邊形中，，，，且，則長為______．

7．如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，連接并延長，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接．過點(diǎn)A作于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)H，已知，，則_______．

8．如圖，在中，，，點(diǎn)D為延長線上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)B，使，連接、．過點(diǎn)F作的垂線，過點(diǎn)G作的垂線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)H，兩條垂線相交于點(diǎn)A，連接、、．下列結(jié)論中正確的是______．（請?zhí)顚懶蛱枺?；②?dāng)時(shí)，；③；④；⑤若，，，則．

三、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題9．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為，，．顯然，，．請用，，分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，則它們滿足的關(guān)系式為__________，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．【知識運(yùn)用】如圖2，河道上，兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距160米，，為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為，，米，米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)，使得抽水點(diǎn)到兩個(gè)菜園，的距離和最短，則該最短距離為_______米．【知識遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數(shù)式的最小值．10．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實(shí)數(shù)后，進(jìn)行了如下的問題探索與分析：（1）【提出問題】已知，求的最小值（2）【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為和的線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題．【解決問題】

①如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，則．則線段__________線段__________；②在（1）的條件下，已知，求的最小值；（3）【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求的最大值．11．已知，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為、，計(jì)算結(jié)果為斜邊，同理計(jì)算可以看成直角邊分別為、，結(jié)果為斜邊長度，利用此原理并結(jié)合圖形解決問題：已知，計(jì)算的最小值為____．四、最值問題12．如圖，長方形中，，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為（）

A． B． C． D．13．如圖，在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，滿足，則的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．1314．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少cm？15．如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是_______．16．如圖，在中，，，，是的平分線，若M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．17．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是________cm．18．如圖，三級臺(tái)階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為______dm．19．棱長分別為的兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)，，在同一直線上，頂點(diǎn)在棱上，點(diǎn)是的中點(diǎn)．一只螞蟻要沿著正方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它爬行的最短距離是__________．

第三章勾股定理（壓軸題專練）答案全解全析一、利用勾股定理證明平方關(guān)系1．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上，連接．（1）求證：；（2）探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若，求兩個(gè)三角形重疊部分的面積．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）．【詳解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）由（1），∴，BD=AE，∵，∴，∴，∴△ABD是直角三角形，∴，∴；（3）設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如圖，∵BD=AE，，∴，∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，∴OM=ON，∴，∵，∴，∴，∵，∴．2．如圖1，在中，，，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．AIAI(1)填空：______°；(2)求的值；(3)①說法１：如圖2，在AB上截取，將線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②說法2：如圖2，若平分交于點(diǎn)E，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(4)說法3：若平分交于點(diǎn)E，探究三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)(3)①，②(4)【詳解】（1）解：∵，∴．∴（2）解：如圖，過點(diǎn)A作，垂足為H，設(shè)，中，,∴．中，，∴．∴．中，．∴．∴，解得．∴．∴．AI（3）解：①如圖，中，．∴．過點(diǎn)E作，垂足為F，則．由旋轉(zhuǎn)知，為等腰直角三角形，∴．設(shè)，中，，，∴．如（2），令，則，解得，∴，．∴．∵，，，∴，，．∴．AI②如圖，若平分交于點(diǎn)E，則．同①過點(diǎn)E作，垂足為F，則．同法可得：．AI（4）解：如上圖，同（3）①，求得，，，∴而,∴．3．在中，，是的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，；（2）證明：，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，由（1）得，，；（3）證明：由（2）得：，，，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，，．4．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，垂足分別為，連接．

(1)求證：；(2)求證：是等腰直角三角形；(3)試判斷線段之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【詳解】（1）證明：，，，，，，，又，，；（2）證明：，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，，，即，為等腰直角三角形；（3）解：，理由如下：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

，，，又，，，，，，，即，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：，，．二、全等等腰勾股綜合5．如圖，在中，，，于點(diǎn)D，，E為邊上一點(diǎn)（不與A，C重合），連接，作，垂足為F，交于點(diǎn)G，連接．分別記，，為，，．

(1)求的長．(2)當(dāng)時(shí)，求的周長．(3)當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)4(3)【詳解】（1）解：∵，，∴是等腰直角三角形，∵于點(diǎn)D，，∴，∴在中，由勾股定理得：；（2）解：∵，垂足為F，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分．∵在和中，∴，∴，，∴所在直線是線段的垂直平分線，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴的周長；（3）解：如圖所示，作交的延長線于H點(diǎn)，

∵，，∴，，∴，∴在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴在和中，∴，∴，又∵∴．6．如圖，在四邊形中，，，，且，則長為______．

【答案】5【詳解】以為邊向上作等邊，連接，如圖，

在等邊中，，，∵，∴是等邊三角形，∴在等邊中，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∵，，∴，，∴在中，，∴，故答案為：5．7．如圖，在中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，連接并延長，在延長線上取一點(diǎn)，使，連接．過點(diǎn)A作于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)H，已知，，則_______．

【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，

∵，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，，∵，，∴；故答案為：．8．如圖，在中，，，點(diǎn)D為延長線上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)B，使，連接、．過點(diǎn)F作的垂線，過點(diǎn)G作的垂線交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)H，兩條垂線相交于點(diǎn)A，連接、、．下列結(jié)論中正確的是______．（請?zhí)顚懶蛱枺?；②?dāng)時(shí)，；③；④；⑤若，，，則．

【答案】①②④【詳解】∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故①正確；∵，，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故④正確；∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①②④．三、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題9．【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為，，．顯然，，．請用，，分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，則它們滿足的關(guān)系式為__________，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．【知識運(yùn)用】如圖2，河道上，兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距160米，，為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為，，米，米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)，使得抽水點(diǎn)到兩個(gè)菜園，的距離和最短，則該最短距離為__________米．【知識遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數(shù)式的最小值．【答案】（小試牛刀），，，；（知識運(yùn)用）200；（知識遷移）15【詳解】解：（小試牛刀）；；，滿足的關(guān)系式為：．（知識運(yùn)用）作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，如下圖：由題意可得：，，則的最小值，即為的最小值，由三角形三邊關(guān)系可得：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，∴的最小值為，作交延長線于點(diǎn)F，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴米，故答案為：；（知識遷移）如下圖，，，、，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，∴，由上可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，距離最小，最小為，作交延長線于點(diǎn)F，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴．∴代數(shù)式的最小值為15．10．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實(shí)數(shù)后，進(jìn)行了如下的問題探索與分析：（1）【提出問題】已知，求的最小值（2）【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為和的線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題．【解決問題】

①如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形，P為邊上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，則．則線段__________線段__________；②在（1）的條件下，已知，求的最小值；（3）【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求的最大值．【答案】[解決問題]①、；②；[應(yīng)用拓展]【詳解】[解決問題]①解：由題意得，，故答案為：、；

②如圖，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)P，

此時(shí)，最小，即和最小，由題意得：，，則，即的最小值為：；

[應(yīng)用拓展]如圖，在矩形的基礎(chǔ)上，構(gòu)建，連接、，設(shè)，，，，

則，，當(dāng)、、共線時(shí)，最大，即最大，且的最大值，即的最大值為：．11．已知，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為、，計(jì)算結(jié)果為斜邊，同理計(jì)算可以看成直角邊分別為、，結(jié)果為斜邊長度，利用此原理并結(jié)合圖形解決問題：已知，計(jì)算的最小值為____．【答案】【詳解】構(gòu)造兩直角三角形如圖，

，，，，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，則：，，，由圖可知：，∴的最小值為線段的長，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．四、最值問題12．如圖，長方形中，，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：將沿著向左平移使與重合，得到，如圖所示：

由平移性質(zhì)得到，，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，如圖所示：

由對稱性得到，，由圖可知，，此時(shí)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，為線段長，，，在長方形中，，，由矩形性質(zhì)可得，，是的中點(diǎn)，，與關(guān)于的對稱，，在長方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故選：C．13．如圖，在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，滿足，則的最小值是（）A．5 B．6 C．8 D．13【答案】C【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接．，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長為直徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，最短，此時(shí)為最短．在中，，，則，，即的最小值是8．故選：．14．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為多少cm？【答案】15cm【詳解】把圓柱沿螞蟻所在的高剪開并展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)矩形，作A點(diǎn)關(guān)于DF的對稱點(diǎn)B，分別連接BD、BC，過點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，如圖所示則DB=AD=4cm由題意及輔助線作法知，M與N分別為GH與DF的中點(diǎn)，且四邊形CMHE為長方形∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm∴DE=DH－EH=12－4=8(cm)∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)在Rt△BEC中，由勾股定理得：即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm15．如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是_______．【答案】52cm【詳解】

由圖可知，彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達(dá)頂端的B處，將易拉罐表面切開展開呈長方形，則螺旋線長為四個(gè)長方形并排后的長方形的對角線長，設(shè)彩帶最短長度為，則易拉罐底面周長是12，高是20∴解得：∴彩帶最短是52cm故答案為：52cm．16．如圖，在中，，，，是的平分線，若M、N分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，