四年級數(shù)學(xué)上冊 期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講義（知識歸納+典例講解+同步測試）-垂線與平行線 （含詳解）（蘇教版）

2019-2020學(xué)年蘇教版小學(xué)四年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)專題講義垂線與平行線【知識點歸納】1.垂直與平行的特征及性質(zhì)1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．

直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．

2．垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．

性質(zhì)2：連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短．

3．垂直的判定：垂線的定義．

4．平行線的概念：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號“∥，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”．5．平行線的判定方法：（1）平行于同一條直線的兩直線平行．（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．（3）平行線的定義．【典例分析】例1：如果同一平面內(nèi)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（）A、平行

B、互相垂直

C、互相平行

D、相交分析：根據(jù)垂直和平行的特征：兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行；進(jìn)而解答即可．解：如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行；故選：C．點評：此題考查了垂直和平行的特征及性質(zhì)．例2：不相交的兩條直線叫平行線．×．（判斷對錯）分析：根據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．所以說法錯誤．解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，所以本題成立的前提是：在同一平面內(nèi)．故答案為：×．點評：解答此題抓住在同一平面內(nèi)理解兩條直線的位置：平行或相交．2．過直線上或直線外一點作直線的垂線1、以直線外一點為圓心，以大于這點到直線的距離為半徑畫弧交直線于A、B兩點．2、分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧在直線的兩側(cè)相交于兩點．3、連結(jié)這一點和任意一個交點（或連結(jié)兩個交點）的直線就是已知直線的垂線．【典例分析】例1：過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫1條．分析：直線外一點有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．解：過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫1條．故答案為：1．點評：本題考查了學(xué)生對過直線外一點向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．例2：過A點畫已知直線的垂線．分析：用三角板的一條直角邊的已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點重合，過A沿直角邊向已知直線畫直線即可．解：根據(jù)分析畫圖如下：點評：本題考查了學(xué)生過直線外一點向已知直線作垂線的能力．3．過直線外一點作已知直線的平行線1．畫法：設(shè)直線外一點為a，在直線上任取兩點b和c，以a為圓心，以bc為半徑作弧；以b為圓心，以ac為半徑作弧，兩弧交于d點；連接ad作直線，則ad必平行于bc．2．在同一平面內(nèi)，過直線外一點畫已知直線的平行線，只能畫一條．如果沒有在同一平面內(nèi)的限制，過直線外一點畫已知直線的平行線，能畫無數(shù)多條．【典例分析】例1：過直線外的一點，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（）A、1條

B、2條

C、無數(shù)條分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點作已知直線的平行線，能作且只能作一條．解：過直線外的一點，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．故選：A．點評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)．例2：過A點畫出已知直線的平行線．分析：用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動三角板使另一條直角邊和A點重合，用直尺靠緊和A點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過A點畫直線即可．解：用三角板的一條直角邊和已知直線重合，移動三角板使另一條直角邊和A點重合，用直尺沿和A點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過A點畫直線．點評：本題考查學(xué)生利用三角板和直尺來作平行線的能力，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。同步測試一．選擇題（共8小題）1．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定（）A．平行 B．垂直 C．不平行也不垂直2．作已知直線L的垂線，可以作（）條．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)3．過直線外的一點，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（）A．1條 B．2條 C．無數(shù)條4．直線外一點到直線L的所有線段中，最短的是（）A．平行線 B．線段 C．垂線段5．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察一幅道路圖（如圖）．下面敘述一定不正確的是（）A．道路1和道路2互相平行 B．道路3和道路4互相平行 C．道路3和道路5互相垂直 D．道路1和道路5互相垂直6．觀察圖，找出正方形中互相垂直的線段有（）組．A．2 B．3 C．4 D．57．在下面圖中，經(jīng)過A點、B點分別作出直線的垂線，想一想這兩條垂線之間的關(guān)系是（）A．互相垂直 B．互相平行 C．無法確定8．下面是幾位同學(xué)過P點做的∠A兩條邊的平行線，正確的是（）A． B． C．二．填空題（共8小題）9．公路上有三條小路通往小明家，它們的長度分別是172米、305米、148米，其中一條小路與公路是垂直的，那么這條小路的長度為米．10．過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫條．11．過線段AB外的一點C，可以畫條與線段AB平行的直線．12．在下圖的正方形中，互相垂直的線段有對，互相平行的線段有對．13．圖中，直線c和直線d的位置關(guān)系是互相，直線c是直線的垂線．直線d是直線的垂線．14．在平面內(nèi)的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線．15．兩條直線相交成時，這兩條直線就．16．過點A分別作直線a的平行線和直線b的垂線．點A到直線a的距離是cm．三．判斷題（共5小題）17．在同一平面內(nèi)，過直線L外一點P只能畫一條平行線與L平行．（判斷對錯）18．過直線外一點可以向這條直線畫無數(shù)條垂線．．（判斷對錯）19．直角三角形的兩條直角邊是互相垂直的（判斷對錯）20．在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a與b互相平行、b與c互相平行，則a∥c．（判斷對錯）21．過直線外一點A，向已知直線作垂線，只能作一條．（判斷對錯）四．操作題（共3小題）22．經(jīng)過P點做已知直線m的垂線．23．在點子圖上任意畫出一組平行線．24．如圖所示是城東街區(qū)部分平面示意圖．①步行街經(jīng)過休閑廣場，并與惠民路平行．請在圖中畫出示意圖．②蓮花小區(qū)計劃安裝天然氣管道，主管道在惠民路上，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣安裝？請在圖中畫出示意圖．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據(jù)平行的含義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；進(jìn)行解答即可．【解答】解：由分析可知：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定互相平行．故選：A．【點評】此題考查了平行的含義，注意關(guān)鍵詞“同一平面”、“不相交”．2．【分析】在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點的垂線．【解答】解：在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點的垂線．所以可以畫無數(shù)條已知直線的垂線．故選：D．【點評】本題主要考查了學(xué)生在直線上有無數(shù)條過已知直線上的點的垂線知識的掌握情況．3．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點作已知直線的平行線，能作且只能作一條．【解答】解：過直線外的一點，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．故選：A．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．4．【分析】根據(jù)點到直線的距離的含義：從直線外的一點向這條直線所畫的垂直線段的長度，叫做這點到直線的距離；從直線外一點到這條直線所畫的垂線段最短．【解答】解：根據(jù)分析可得：直線外一點到直線L的所有線段中，最短的是垂線段；故選：C．【點評】此題考查了點到直線的距離的含義．5．【分析】根據(jù)平行線和垂線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；當(dāng)兩條直線相交成90度時，這兩條直線就互相垂直；據(jù)此解答即可．【解答】解：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察一幅道路圖（如圖）．下面敘述一定不正確的是：道路3和道路5互相垂直；故選：C．【點評】此題考查了平行和垂直的定義的靈活應(yīng)用．6．【分析】依據(jù)正方形的特征及性質(zhì)可知：正方形有兩組互相平行的線段，有四組互相垂直的線段，另外兩條對角線也互相垂直，所以互相垂直的有5組；有8個直角；據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖正方形中，互相垂直的線段有5組，有8個直角；故選：D．【點評】此題主要考查正方形的特征及性質(zhì)．7．【分析】用三角板的一條直角邊的已知直線l重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直角邊和A點（B點）重合，過A點（B點）沿直角邊向已知直線畫直線即可；然后觀察所畫圖形即可判斷三條直線的關(guān)系．【解答】解：畫圖如下：觀圖可知：這兩條垂線之間的關(guān)系是：互相平行；故選：B．【點評】本題主要考查了學(xué)生過直線外一點作已知直線垂線的畫圖能力以及判斷兩條直線之間的位置關(guān)系．8．【分析】作平行線的方法是：把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊畫直線即可，據(jù)此即可判斷．【解答】解：觀察圖A：只有一條直線與其中一條邊平行，另一條不平行，所以A不對；觀察圖B，兩條直線和邊都不平行；所以B不對；觀察圖C，兩條直線分別和兩條邊平行；所以C對；故選：C．【點評】本題考查了學(xué)生平行線的作法，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．二．填空題（共8小題）9．【分析】利用點到直線的所有連接線段中，垂直線段最短的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)可知：公路上有三條小路通往小明家，它們的長度分別是172米、305米、148米，其中一條小路與公路是垂直的，那么這條小路的長度為148米；故答案為：148．【點評】此題考查了垂直線段最短的性質(zhì)的在解決實際問題中的靈活應(yīng)用．10．【分析】直線外一點有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．【解答】解：過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫一條．故答案為：一．【點評】本題考查了學(xué)生對過直線外一點向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．11．【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)：過直線外一點，畫已知直線的平行線，只能畫一條；據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)平行的性質(zhì)可知：過線段AB外的一點C，可以畫1條與線段AB平行的直線．故答案為：1．【點評】此題考查了平行的性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識的積累和運用．12．【分析】根據(jù)垂直和平行的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，不相交的兩條直線叫做平行線；據(jù)此解答即可．【解答】解：在下圖的正方形中，互相垂直的線段有8對，互相平行的線段有4對．故答案為：8，4．【點評】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)，根據(jù)意義解答即可．13．【分析】兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足；據(jù)此解答．【解答】解：直線c和直線d的位置關(guān)系是互相垂直，直線c是直線d的垂線．直線d是直線c的垂線．故答案為：垂直，d，c．【點評】此題考查對互相垂直的認(rèn)識和判斷．14．【分析】在同一個平面內(nèi)兩條不相交的直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行．據(jù)此解答．【解答】解：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行；故答案為：同一，不相交，互相平行．【點評】本題的關(guān)鍵是理解平行線的含義，應(yīng)注意前提是在“同一平面內(nèi)”．15．【分析】根據(jù)垂直的定義：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一個條直線的垂線；據(jù)此判斷即可．【解答】解：兩條直線相交成直角時，這兩條直線就互相垂直．故答案為：直角，互相垂直．【點評】此題考查了垂直的含義，熟練掌握其含義是解題的關(guān)鍵．16．【分析】（1）把三角板的一條直角邊與已知直線a重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊畫直線即可；（2）把三角板的一條直角邊與已知直線b重合，沿直線移動三角板，使三角板的另一條直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊，向已知直線畫直線即可；（3）先過點A作直線a的垂線，點A和垂足之間的線段的長就是點A到直線a的距離，用刻度尺測量即可．【解答】解：作圖如下：量得點A到直線a的距離是1.9cm．故答案為：1.9．【點評】本題考查了學(xué)生利用直尺和三角板作垂線和作平行線的能力．也考查了點到直線的距離．三．判斷題（共5小題）17．【分析】過直線外一點作已知直線的平行線，能作且只能作一條，由此判斷．【解答】解：根據(jù)平行公理可知：在同一平面內(nèi)，過直線L外一點P只能畫一條平行線與L平行；所以原題說法正確．故答案為：√．【點評】本題主要考查了平行公理，準(zhǔn)確理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．【分析】過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此解答．【解答】解：據(jù)以上分析知：過直線外一點只有一條直線和這條直線垂直．故答案為：×．【點評】本題考查了學(xué)生對過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線垂直知識的掌握情況．19．【分析】根據(jù)平行線和垂線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；當(dāng)兩條直線相交成90度時，這兩條直線就互相垂直；據(jù)此解答即可．【解答】解：直角三角形的兩條直角邊是互相垂直的；故答案為：√．【點評】此題考查了平行和垂直的定義．20．【分析】據(jù)平行線的定義，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，在同一平面內(nèi)與一條直線互相平行的兩條直線互相平行；據(jù)此解答．【解答】解：在同一平面內(nèi)有三條直線a、b、c，已知a與b互相平行、b與c互相平行，則a∥c．原題說法正確．故答案為：√．【點評】此題考查了垂直于平行的特征及性質(zhì)，應(yīng)注意基礎(chǔ)知識的積累．21．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過直線外一點作已知直線的垂線，能作且只能作1條；據(jù)此判斷即可．【解答