2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何素養(yǎng)專題五立體幾何問題的奇法妙解教師文檔教案文北師大版

PAGE第七章素養(yǎng)專題(五)立體幾何問題的奇法妙解授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第147頁法1模型法一、模型法推斷空間位置關(guān)系在進(jìn)行空間線面位置關(guān)系的分析推斷時，借助幾何體模型能起到特別直觀的作用，提高解題的精確率．[例1]已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真命題的序號是()若lα，mα，l∥β，m∥β，則α∥β；②若lα，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；③若l∥α，α∥β，則l∥β；④若l⊥α，l∥m，α∥β，則m⊥β.A．①④B．①③C．②④ D．②③[思路點撥]長方體中存在各種平行、垂直關(guān)系，以長方體為模型，結(jié)合選項，考慮線面位置的各種可能，作出推斷．[解析]命題①，如圖(1)，明顯不正確，解除選項A，B，依據(jù)選項C，D，可知②肯定正確，對于命題③，如圖(2)，有直線l在平面β內(nèi)的可能，所以命題③不正確．綜上可知，選C.[答案]C二、模型法還原幾何體空間幾何體均可以看作一個更大范圍的幾何體的一個部分，依據(jù)題目的實際狀況，推斷其可能是哪個幾何體的一個部分，利用該幾何體為模型，可以較為便利地推斷出三視圖表示的空間幾何體．[例2]已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[思路點撥]依據(jù)三視圖可以推斷該空間幾何體是正方體的一部分，先畫出正方體，再依據(jù)三視圖確定空間幾何體．[解析]該幾何體的直觀圖如圖，其體積為正方體體積的eq\f(1,6)，即該幾何體的體積為eq\f(1,6)×1×1×1＝eq\f(1,6)，故選A.[答案]A法2割補(bǔ)法一、分割法求空間幾何體的體積把一個不規(guī)則的幾何體分割成幾個規(guī)則的幾何體，求出每個規(guī)則幾何體的體積，然后進(jìn)行體積求和即可．[例3]如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上隨意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．[思路點撥]該幾何體為不規(guī)則幾何體，可將其分割為規(guī)則幾何體后求體積．[解析]法一：如圖(1)，連接EB，EC，則該多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC.V四棱錐E-ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.連接AC，有V三棱錐F-EBC＝V三棱錐C-EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD＝4.故該多面體的體積V＝V四棱錐E-ABCD＋V三棱錐F-EBC＝16＋4＝20.法二：如圖(2)，設(shè)點G，H分別為AB，DC的中點，連接EG，EH，HG，則EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，得三棱柱EGH-FBC和四棱錐E-AGHD.由題意得V四棱錐E-AGHD＝eq\f(1,3)S矩形AGHD×3＝eq\f(1,3)×4×2×3＝8.連接CE，BE，BH，則V三棱柱EGH-FBC＝3V三棱錐E-BGH＝3×eq\f(1,2)V四棱錐E-GBCH＝eq\f(3,2)V四棱錐E-AGHD＝eq\f(3,2)×8＝12.故該多面體的體積V＝V四棱錐E-AGHD＋V三棱柱EGH-FBC＝8＋12＝20.二、補(bǔ)形法求空間幾何體的體積當(dāng)求某些幾何體的體積較困難時，可以將它放置在我們熟識的幾何體中，如正方體、長方體等對稱性比較好的幾何體，以此來求幾何體的體積．常見狀況如下：①將正四面體補(bǔ)為正方體，如圖所示．②將對棱長相等的三棱錐補(bǔ)成長方體，如圖所示．③將三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體，如圖所示，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC.④將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體，如圖(1)(2)所示．⑤將三棱柱補(bǔ)成平行六面體，如圖所示．⑥將臺體補(bǔ)成錐體，如圖所示．法3綻開法涉及空間幾何體表面上折線、曲線長度之和的最值問題時，把空間幾何體的表面綻開．[例4]如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若點D為線段AC的中點，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；(3)若BC＝eq\r(2)，點E在線段PB上，求CE＋OE的最小值．[思路點撥](1)eq\x(欲證線面垂直)→eq\x(找線線垂直)(2)eq\x(欲使三棱錐P-ABC的體積最大)→eq\x(因為高為定值|PO|，所以只需△ABC的面積最大)→eq\x(推斷點C位置求最值)→eq\x(求體積最值)(3)eq\x(利用平面綻開圖)→eq\x(求其最值)[解析](1)證明：在△AOC中，因為OA＝OC，點D為AC的中點，所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC.因為DO∩PO＝O，DO平面PDO，PO平面PDO，所以AC⊥平面PDO.(2)因為點C在圓O上，所以當(dāng)CO⊥AB時，C到AB的距離最大，且最大值為1.又AB＝2，所以△ABC面積的最大值為eq\f(1,2)×2×1＝1.又因為三棱錐P-ABC的高PO＝1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3).(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).同理，PC＝eq\r(2)，所以PB＝PC＝BC.在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖所示．當(dāng)O，E，C′共線時，CE＋OE取得最小值．又因為OP＝OB，C′P＝C′B，所以O(shè)C′垂直平分PB，即E為PB中點．從而OC′＝OE＋EC′＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)，亦即CE＋OE的最小值為eq\f(\r(2)＋\r(6),2).法4函數(shù)法涉及空間幾何體的體積、面積的最值問題時，常利用函數(shù)法求解，將求最值的量表示為某變量的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求最值，特殊要留意變量的取值范圍，避開求解錯誤．[例5]如圖，在四面體ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，求四邊形EFGH面積的最大值．[解析]∵直線AB∥平面EFGH，AB平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝GH，∴HG∥AB.同理，EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，∴FG∥EH，EF∥HG，故四邊形EFGH為平行四邊形．利用AD＝BD，AC＝BC，易證得AB⊥CD，∴EF⊥FG，所以四邊形EFGH為矩形．設(shè)BF∶BD＝BG∶BC＝FG∶CD＝x(0≤x≤1)，則FG＝2x，HG＝2(1－x)，∴S四邊形EFGH＝FG×HG＝4x(1－x)＝－4eq